第3课时 平行四边形性质与判定的综合运用
平行四边形性质与判定的综合运用
1.如图,在 ABCD 中,点E、F分别在BC、AD上,要使四边形 AFCE 为平行四边形,需添加一个条件,这个条件不可以是 ( )
A.AF=CE
B.AE=CF
C.∠BAE=∠FCD
D.∠BEA=∠FCE
2.如图,剪两张对边平行的纸条,随意交叉叠放在一起,转动其中一张纸条,重合的部分构成了一个四边形ABCD,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定成立的是 ( )
A.AD=AB B.AD=BC C.∠DAC=∠ACD D.AO=AB
3.如图,在四边形ABCD 中,对角线AC、BD相交于点O,将△BOC平移至△AED的位置,则四边形AEDO是 ( )
A.任意四边形
B.对角线相等的四边形
C.对角线垂直的四边形
D.平行四边形
4.已知在四边形 ABCD 中,AB∥CD,AB=CD,周长为40 cm,两邻边的长度比是3∶2,则较长边的长度是 .
5.在四边形ABCD中,AC、BD交于点O,且OA=OC,OB=OD,∠ABC=80°,则∠ADC= °.
6.如图,已知D是△ABC的边AB上一点,CE∥AB,DE交AC于点O,且OA=OC,猜想线段CD与线段AE的数量关系和位置关系,并说明理由.
7.如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E、F在对角线BD上,且BE=EF=FD,连结AE、EC、CF、FA.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形.
(2)若△ABE的面积等于2,求△CFO的面积.
1.(2024辽宁中考)如图, ABCD的对角线AC、BD 相交于点O,DE∥AC,CE∥BD,若AC=3,BD=5,则四边形OCED的周长为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.16
2.如图,等边三角形ABC是一块周长为12的草坪,点P是草坪内的任意一点,过点P有三条小路PD、PE、PF,且满足PD∥AC,PE∥AB,PF∥BC,则三条小路的总长度为 ( )
A.12 B.8 C.4 D.3
3.如图,在 ABCD中,BC的垂直平分线EO交AD于点E,交BC于点O,连结BE、CE,过点C作CF∥BE,交EO的延长线于点F,连结BF.若AD=8,CE=5,则四边形BFCE的面积为 .
4.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=4,AC=6,点D、E分别是BC、AD的中点,AF∥BC 交CE的延长线于点F,则四边形AFBD的面积为 .
5.如图,延长 ABCD的边AD到点F,使DF=DC,延长 CB 到点E,使BE=BA,连结AE、CF.
求证:AE=CF.
6.(推理能力)如图,△ABC为等边三角形,D、F分别为BC、AB上的点,且CD=BF,以AD为边作等边三角形ADE.
(1)求证:△ACD≌△CBF.
(2)点D在线段BC上何处时,四边形CDEF是平行四边形且∠DEF=30°,请说明理由.
【详解答案】
课堂达标
1.B 2.B 3.D 4.12 cm 5.80
6.解:CDAE.
理由:∵CE∥AB,
∴∠DAO=∠ECO.
在△AOD和△COE中,
∴△AOD≌△COE,
∴OD=OE,
∴四边形ADCE是平行四边形.
∴CDAE.
7.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵BE=FD,
∴OB-BE=OD-FD.
∴OE=OF.
又∵OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)∵S△ABE=2,BE=EF,
∴S△AEF=S△ABE=2.
∵四边形AECF是平行四边形,
∴S△CFO=S△CEF=S△AEF=×2=1.
课后提升
1.C 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OC=AC=,OD=BD=.∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形,∴四边形OCED的周长=2(OC+OD)=2×=8.故选C.
2.C 解析:如图,延长FP交AB于点G,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC=4,∠A=∠B=∠C=60°.
∵PF∥BC,∴∠AFG=∠C=60°,∠AGF=∠B=60°.
∵PD∥AC,∴∠PDB=∠A=60°,∠DPG=∠AFG=60°.
∴∠PDG=∠DGP=∠DPG=60°.
∴△DGP是等边三角形.
∴DP=PG.
∴PD+PF=PG+PF=FG.
∵∠A=∠AFG=∠AGF=60°,
∴△AFG是等边三角形.∴FG=AG.
∵FG∥BC,PE∥AB,
∴四边形BGPE是平行四边形.
∴PE=BG,
∴PD+PF+PE=AG+BG=AB=4.故选C.
3.24 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,AD=8,
∴BC=AD=8.
∵EF是线段BC的垂直平分线,
∴EF⊥BC,OB=OC=BC=4.
∵CE=5,∴OE===3.
∵CF∥BE,∴∠OCF=∠OBE,
在△OCF与△OBE中,
∴△OCF≌△OBE,
∴OF=OE=3,
∴S四边形BFCE=S△BCE+S△BFC=BC·OE+BC·OF=×8×3+×8×3=12+12=24.
4.12 解析:∵AF∥BC,∴∠AFC=∠FCD.
∵E为AD的中点,
∴AE=DE.
在△AEF与△DEC中,
∴△AEF≌△DEC(A.A.S.),
∴AF=DC.
∵D是BC的中点,
∴BD=DC,∴AF=BD,∴四边形AFBD是平行四边形,
∴S四边形AFBD=2S△ABD.
又BD=DC,∴S△ABC=2S△ABD,
∴S四边形AFBD=S△ABC.
∵∠BAC=90°,AB=4,AC=6,
∴S△ABC=AB·AC=×4×6=12,
∴S四边形AFBD=12.
5.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AB=CD,AD∥BC.
∴AF∥EC.
∵DF=DC,BE=BA.
∴DF=BE,
∴AD+DF=BC+BE,即AF=EC.
∴四边形AECF是平行四边形,
∴AE=CF.
6.解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC,∠FBC=∠DCA=60°.
在△ACD和△CBF中,
∴△ACD≌△CBF(S.A.S.).
(2)当点D是线段BC的中点时,四边形CDEF是平行四边形且∠DEF=30°.
理由:连结BE,如图,由题易知AB=AC,AE=AD,∠ABC=∠BAC=∠EAD=60°.
∴∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=60°,
∴∠EAB=∠DAC,
∴△AEB≌△ADC.
又∵△ACD≌△CBF,
∴△AEB≌△ADC≌△CFB.
∴EB=DC=FB,∠EBA=∠ABC=60°,
∴△EFB为等边三角形,
∴EF=FB=CD,∠EFB=60°.
∵∠EFB=∠ABC=60°,
∴EF∥BC,
∴四边形CDEF为平行四边形,
∴∠DEF=∠FCD.
由D是线段BC的中点,易知F是线段AB的中点,
∴∠FCD=×60°=30°,
∴∠DEF=∠FCD=30°.18.2 平行四边形的判定
第1课时 利用边判定平行四边形
从两组对边的角度判定平行四边形
1.如图,能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是 ( )
A.AB=AD,CB=CD
B.∠A=∠B,∠C=∠D
C.AB∥CD,∠B+∠C=180°
D.AB=CD,AD=BC
2.在四边形ABCD 中,AD∥BC,当满足下列哪个条件时,四边形ABCD是平行四边形 ( )
A.∠A+∠C=180°
B.∠B+∠D=180°
C.∠A+∠B=180°
D.∠A+∠D=180°
3.已知四边形ABCD的四条边长顺次为a、b、c、d,且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd.求证:四边形ABCD是平行四边形.
从一组对边的角度判定平行四边形
4.依据所标数据,下列一定为平行四边形的是 ( )
A B C D
5.如图,在四边形ABCD中,CE平分∠BCD交AD于点E,DE=CD,添加下列一个条件后,一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( )
A.AD=BC
B.AB=CD
C.CE=BC
D.∠A=∠D
6.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,AB=8 cm,DC=10 cm,E是DC上一点,且DE=3 cm,点P从点A出发,以1 cm/s的速度向点B运动,同时点Q从点D出发,以2 cm/s的速度向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止,设运动时间为t s,当t= 时,以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形.
7.如图,在 ABCD中,点E、F分别是边AB、CD的中点.
求证:AF=CE.
1.以不在同一条直线上的三点为顶点作平行四边形,最多能作 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.如图,点E、F分别是 ABCD边AD、BC的中点,G、H是对角线BD上的两点,且BG=DH.则下列结论中不正确的是 ( )
A.EH⊥BD
B.四边形EGFH是平行四边形
C.EG=FH
D.GF=EH
3.如图,将一条长2 cm的线段AB向右平移3 cm后,连结对应点得到的图形是 形,它的周长是 cm.
4.如图,在 ABCD中,∠BAD、∠BCD的平分线 AF、CE分别交DC、BA的延长线于点F、E,又分别交BC、AD于点G、H,则图中共有 个平行四边形,它们是 .
5.如图,在平行四边形ABCD中,AB=8 cm,AD=12 cm,点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动,点Q在BC边上以每秒4 cm的速度从点C出发,在CB间往返运动,点P与点Q同时出发,当点P到达点D时停止运动,同时点Q也停止运动,在开始运动以后,当以点P、D、Q、B为顶点的四边形为平行四边形时,运动的时间为 .
6.(2024庆阳师大附中月考)如图,点G在边BC上,△ABC和△AGF都是等边三角形,点E在边AC上,FE∥BC,EF和AB交于点D.
求证:(1)四边形BCEF是平行四边形.
(2)四边形CDFG是平行四边形.
7.(推理能力)如图,以△ABC的三边为边,在BC的同侧作等边三角形ABD,等边三角形BCE,等边三角形ACF.
求证:四边形ADEF是平行四边形.
【详解答案】
课堂达标
1.D 2.D
3.证明:∵a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,
∴(a2+c2-2ac)+(b2+d2-2bd)=0.
∴(a-c)2+(b-d)2=0.
∴a=c,b=d.
∴四边形ABCD是平行四边形.
4.D 5.A 6.1或3
7.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∵点E、F分别是边AB、CD的中点,
∴AE=BE=CF=DF.
∴四边形AECF是平行四边形.
∴AF=CE.
课后提升
1.B 解析:如图,以A、B、C为顶点作平行四边形,最多可作3个.故选B.
2.A 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,AD=BC.∴∠GBF=∠HDE.∵点E、F分别是 ABCD边AD、BC的中点,∴BF=DE.在△GBF和△HDE中,
∴△GBF≌△HDE(S.A.S.).∴GF=EH,∠BGF=∠DHE.∴∠FGH=∠EHG.∴GF∥EH.∴四边形EGFH是平行四边形.∴EG=FH.故B、C、D正确.∵∠EHG不一定等于90°,∴EH⊥BD不正确.故选A.
3.平行四边 10 解析:经过平移,对应点所连的线段平行且相等,则连结对应点得到的图形是平行四边形,它的周长为2+2+3+3=10(cm).
4.3 AFCE, AGCH, ABCD
解析:∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠BAD=∠BCD,AD∥BC,AB∥CD,AD=BC,AB=CD.∵∠BAD、∠BCD的平分线AF、CE分别交DC、BA的延长线于点F、E,∴∠BAG=∠DAG=∠BCH=∠DCH.∵AD∥BC,∴∠DAG=∠AGB,∴∠BAG=∠BGA,∴AB=BG,同理可得出CD=HD,∴HD=BG,∴AH=CG.又∵AH∥CG,∴四边形AGCH是平行四边形,∴AG∥CH.∵AE∥CF,∴四边形AFCE是平行四边形,∴图中共有3个平行四边形,它们是 AFCE, AGCH, ABCD.
5.4.8 s或8 s或9.6 s 解析:设t s时,以点P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形,由题意可知,06.证明:(1)∵△ABC和△AGF都是等边三角形,
∴∠FAG=∠BAC=60°,∠ABC=∠ACB=60°,AC=AB,AF=AG,
∴∠FAG-∠BAG=∠BAC-∠BAG,
∴∠FAB=∠GAC,
在△AFB和△AGC中,
∴△AFB≌△AGC(S.A.S.),
∴∠FBA=∠ACB=60°,
∴∠FBC+∠ACB=180°,∴FB∥EC.
∵FE∥BC,
∴四边形BCEF是平行四边形.
(2)∵△AFB≌△AGC,∴FB=CG.
∵DF∥CB,∴∠ABC=∠FDB=60°.
∵∠ABF=60°,∴△FDB是等边三角形,∴FB=FD,∴FD=CG,∴四边形CDFG是平行四边形.
7.证明:∵△ABD,△BCE,△ACF是等边三角形,
∴BA=BD=AD,BC=BE=EC,CA=CF=AF,∠DBA=∠EBC=∠BCE=∠ACF=60°.
∴∠DBE=∠ABC,∠ACB=∠FCE.
在△ABC和△DBE中,
∴△ABC≌△DBE(S.A.S.),
∴AC=DE.
在△ABC和△FEC中,
∴△ABC≌△FEC(S.A.S.).
∴AB=FE.
∴DE=AC=AF,FE=AB=AD.
∴四边形ADEF是平行四边形.第2课时 利用对角线判定平行四边形
利用对角线判定平行四边形
1.如图,在 ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E、F是对角线AC上的两点.给出下列4个条件:①OE=OF;②DE=BF;③∠ADE=∠CBF;④∠ABE=∠CDF,其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有 ( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
2.(2024济宁中考)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OA=OC,请补充一个条件 ,使四边形ABCD是平行四边形.
3.如图,在△ABC中,DE∥BC,AE=EC,延长DE到点F,使EF=DE,连结AF、FC、CD,则图中四边形ADCF的形状是 .
4.如图,在 ABCD中,点E、F在对角线AC上,且AE=CF.
求证:四边形BEDF为平行四边形.
5.如图,在四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,O是AC的中点,AD∥BC.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形.
(2)若AC⊥BD,AC=8,BD=6,则 ABCD的面积为 .
1.(2024河北中考)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程:
已知:如图,△ABC中,AB=AC,AE平分△ABC的外角∠CAN,点M是AC的中点,连结BM并延长交AE于点D,连结CD. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:∵AB=AC, ∴∠ABC=∠3. ∵∠CAN=∠ABC+∠3,∠CAN=∠1+∠2,∠1=∠2, ∴ ① . 又∵∠4=∠5,MA=MC, ∴△MAD≌△MCB( ② ). ∴MD=MB,∴四边形ABCD是平行四边形.
以上解答过程正确,①②应分别为 ( )
A.∠1=∠3,A.A.S.
B.∠1=∠3,A.S.A.
C.∠2=∠3,A.A.S.
D.∠2=∠3,A.S.A.
2.如图,在 ABCD中,两对角线交于点O,点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点,那么以图中的点为顶点的平行四边形共有 个.
3.如图, ABCD的对角线交于点O,点M、N、P、Q分别是 ABCD四条边上不重合的点.下列条件能判定四边形MNPQ是平行四边形的有 (填序号).
①AQ=CN,AM=CP;
②MP、NQ均经过点O;
③NQ经过点O,AQ=CN.
4.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD.点E、F是四边形ABCD对角线AC上的两点,且AF=CE.连结BE、DE、BF、DF.
求证:四边形BEDF是平行四边形.
5.如图, ABCD的对角线AC、BD交于点O,E、F在AC上,G、H在BD上,且AF=CE,BH=DG.
求证:四边形EGFH是平行四边形.
6.(推理能力)如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别在OA、OC上.
(1)给出以下条件:①OB=OD;②∠1=∠2;③OE=OF,请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO.
(2)在(1)的条件中你所选条件的前提下,添加AE=CF,求证:四边形ABCD是平行四边形.
【详解答案】
课堂达标
1.B
2.OB=OD(答案不唯一)
3.平行四边形
4.证明:如图,连结BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BO=DO,AO=CO.
∵AE=CF,
∴EO=FO.
∴四边形BEDF是平行四边形.
5.解:(1)证明:∵O是AC的中点,
∴OA=OC.
∵AD∥BC,
∴∠ADO=∠CBO.
∵在△AOD和△COB中,
∴△AOD≌△COB.
∴OD=OB.
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)24
课后提升
1.D 解析: ∵AB=AC,∴∠ABC=∠3.∵∠CAN=∠ABC+∠3,
∠CAN=∠1+∠2,∠1=∠2,∴∠2=∠3.又∵∠4=∠5,MA=MC,
∴△MAD≌△MCB(A.S.A.),∴MD=MB,∴四边形ABCD是平行四边形,∴①②分别为∠2=∠3,A.S.A..故选D.
2.4 解析:根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,可判定四边形EFGH是平行四边形;根据边角边可分别证明△AHD≌△CFB,△AFB≌△CHD,可得AH=CF,AF=CH,∴四边形AHCF是平行四边形;同理可得四边形BGDE是平行四边形,则以图中的点为顶点的平行四边形是 EFGH、 ABCD、 AHCF、 BGDE,共有4个.
3.①② 解析:四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,AD∥BC,AD=BC,OB=OD,OA=OC,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC.①∵AQ=CN,AM=CP,∴DQ=BN,BM=DP,∴△AMQ≌△CPN,△BMN≌△DPQ,∴MQ=NP,MN=PQ,∴四边形MNPQ是平行四边形,故①能判定四边形MNPQ是平行四边形;②∵ ABCD的对角线交于点O,MP、NQ均经过点O,易证OQ=ON,OP=OM,∴四边形MNPQ是平行四边形,故②能判定四边形MNPQ是平行四边形;③NQ经过点O,AQ=CN,易证OQ=ON.∵M、P的位置未知,∴OM不一定等于OP,故③不能判定四边形MNPQ是平行四边形.综上,能判定四边形MNPQ是平行四边形的有①②.
4.证明:如图,连结BD,交AC于点O.
∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵AF=CE,
∴AF-EF=CE-EF,即AE=CF,
∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF.
又∵OB=OD,
∴四边形BEDF是平行四边形.
5.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
又∵AF=CE,BH=DG,
∴AF-OA=CE-OC,BH-OB=DG-OD,
即OF=OE,OH=OG.
∴四边形EGFH是平行四边形.
6.解:(1)选取①②,证明:在△BEO和△DFO中,
∴△BEO≌△DFO(A.S.A.).(答案不唯一)
(2)证明:由(1)得△BEO≌△DFO.
∴EO=FO,BO=DO.
∵AE=CF,
∴AE+EO=FC+OF,即AO=CO.∴四边形ABCD是平行四边形.
