19.1 矩形 2.矩形的判定 同步练（含答案）2024-2025学年数学华东师大版八年级下册

2.矩形的判定
有三个角是直角的四边形是矩形
1.在四边形 ABCD中,∠A=∠B=∠C,∠D=90°,则四边形ABCD是　　　　.
2.如图,直角∠AOB内的任意一点P到这个角的两边的距离之和为6,则图中的四边形的周长为　　　　.
3.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点 D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E.
求证:四边形ADCE 为矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形
4.已知平行四边形ABCD中,下列条件:①AB=BC;②AC=BD;③AC⊥BD;④AC平分∠BAD,其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是 (　　)
A.① B.② C.③ D.④
5.要检验一个四边形的桌面是否为矩形,可行的测量方案是 (　　)
A.测量两条对角线是否相等
B.度量两个角是否是90°
C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D.测量两组对边是否分别相等
6.在一组对边平行的四边形中,添加下列条件中的哪一个,可判定这个四边形是矩形 (　　)
A.另一组对边相等,对角线相等
B.另一组对边相等,对角线互相垂直
C.另一组对边平行,对角线相等
D.另一组对边平行,对角线互相垂直
7.如图,在四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,AD∥BC,∠BAD=∠BCD,OB=OC.
求证:四边形ABCD是矩形.
1.(2024泸州中考)已知四边形ABCD是平行四边形,下列条件中,不能判定 ABCD为矩形的是 (　　)
A.∠A=90° B.∠B=∠C
C.AC=BD D.AC⊥BD
2.如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连结EB、EC、DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是 (　　)
A.AB=BE B.BE⊥DC
C.∠ADB=90° D.CE⊥DE
3.如图,在矩形ABCD中,点M为AD的中点,点P为BC上一点,PE⊥MC于点E,PF⊥MB于点F,当AB、BC满足条件　　　　　　时,四边形PEMF为矩形.
4.如图,MN∥PQ,直线EF与MN和PQ分别相交于A、C两点,过A、C两点分别作两组内错角的平分线,交于B、D两点,则四边形ABCD的形状是　　　　.
5.(分类讨论思想、方程思想)如图,在平面直角坐标系中,有点A(3,0),点B(3,5),射线AO上的动点C,y轴上的动点D,平面上的一个动点E,若∠CBA=∠CBD,以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形,则AC的长为　　　　　 .
6.如图,在平行四边形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,F是CD边上一点,且AE=CF,连结AF、BF.
(1)求证:四边形BFDE是矩形.
(2)若AF平分∠DAB,CF=6,AD=10,求BF的长.
7.(推理能力)如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AC=20 cm,BD=12 cm,两动点E、F同时分别以2 cm/s的速度从点A、C出发在线段AC上相对运动,当点E到达点C,点F到达点A时停止运动.
(1)求证:当E、F运动过程中不与点O重合时,四边形BEDF一定为平行四边形.
(2)当E、F运动时间t(s)为何值时,四边形BEDF为矩形
【详解答案】
课堂达标
1.矩形　2.12
3.证明:∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD.
又∵AN平分∠MAC,
∴∠MAN=∠CAN,
∴∠DAN=∠CAD+∠CAN=∠BAC+∠MAC=(∠BAC+∠MAC)=×180°=90°.
又∵AD⊥BC,CE⊥AN,
∴∠ADC=∠AEC=90°,
∴四边形ADCE为矩形.
4.B　5.C　6.C
7.证明:∵AD∥BC,
∴∠BAD+∠ABC=180°.
∵∠BAD=∠BCD,
∴∠ABC+∠BCD=180°,
∴AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AO=OC,BO=OD.
∵OB=OC,
∴AO=OB=OC=OD,
∴AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形.
课后提升
1.D　解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴当∠A=90°, ABCD是矩形,∴选项A可以判定 ABCD为矩形,故选项A不符合题意;∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠B+∠C=180°,当∠B=∠C时,则∠B=∠C=90°,此时 ABCD为矩形,故选项B可以判定 ABCD为矩形,故选项B不符合题意;∵四边形ABCD是平行四边形,当AC=BD时, ABCD是矩形,∴选项C可以判定 ABCD为矩形,故选项C不符合题意;∵四边形ABCD是平行四边形,当AC⊥BD时,设AC与BD相交于点O(图略),∴OB=OD,∵∠AOB=∠AOD=90°,AO=AO,∴△AOB≌△AOD,AB=AD.∴ ABCD是邻边相等的平行四边形,∴选项D不能判定 ABCD为矩形,故选项D符合题意.故选D.
2.B　解析:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.又∵AD=DE,∴DE∥BC,且DE=BC,∴四边形BCED为平行四边形.A.∵AB=BE,DE=AD,∴BD⊥AE,∴ DBCE为矩形,故本选项不符合题意;B.当BE⊥DC时,设BE与DC相交于点O(图略),∵四边形BCED为平行四边形,∴OC=OD,∵∠EOC=∠EOD=90°,EO=EO,∴△EOC≌△EOD,EC=ED,∴ DBCE是邻边相等的平行四边形,不一定为矩形,故本选项符合题意;C.∵∠ADB=90°,∴∠EDB=90°,∴ DBCE为矩形,故本选项不符合题意;D.∵CE⊥DE,∴∠CED=90°,∴ DBCE为矩形,故本选项不符合题意.故选B.
3.AB=BC　解析:当AB、BC满足AB=BC时,四边形PEMF为矩形.∵四边形ABCD是矩形,M为AD的中点,AB=BC,∴AB=DC=AM=MD,∠A=∠D=90°.∴∠AMB=∠DMC=45°.∴∠BMC=90°.∵PE⊥MC,PF⊥MB,∴∠PEM=∠PFM=∠BMC=90°.∴四边形PEMF是矩形.
4.矩形　解析:∵AB平分∠MAC,AD平分∠NAC,
∴∠BAC=∠MAC,∠DAC=∠NAC.又∵∠MAC+∠NAC=180°,∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=90°,同理可得∠BCD=90°.
∵MN∥PQ,∴∠MAC+∠PCA=180°.又∵AB平分∠MAC,CB平分∠PCA,∴∠BAC+∠BCA=90°.∴∠B=180°-∠BAC-∠BCA=90°.由三个角是直角的四边形是矩形得四边形ABCD是矩形.
5.或或15　解析:存在三种情况:如图1,延长BA和DC交于点F.∵点A(3,0),点B(3,5),∴AB⊥x轴,OA=3.∵四边形DCBE是矩形,∴∠DCB=90°,∴∠BCF=∠DCB=90°.∵∠CBD=∠CBF,∴∠BDC=∠BFC,∴BD=BF,∴CD=CF.在△DCO和△FCA中,∠DOC=∠FAC=90°,∠DCO=∠ACF,DC=FC,∴△DCO≌△FCA(A.A.S.),∴OC=AC.∵AC=OA=.如图2,过点B作BM⊥y轴于点M,则∠BMD=90°.∵四边形CDBE是矩形,∴∠CDB=90°.∵∠CBA=∠CBD,∠CAB=90°,∴BD=BA=5,AC=CD.∵BM=3,∴DM=4,∴OD=5-4=1.设AC=x,则OC=3-x,CD=x.由勾股定理得CD2=OD2+OC2,即x2=12+(3-x)2,解得x=,∴AC=.如图3,过点D作NL∥x轴,交AB的延长线于点L,过点C作CN⊥NL于点N,则∠N=∠L=90°.∵∠CDB=∠CAB=90°,∠CBA=∠CBD,∴CD=AC.设AC=b,则CD=b,OC=DN=b-3.∵AB=BD=5,DL=3,易得BL=4,∴CN=AL=5+4=9,由勾股定理得CN2+DN2=CD2,即92+(b-3)2=b2,解得b=15.综上所述,AC的长为或或15.
6.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB,DC=AB,
∵CF=AE,
∴DC-CF=AB-AE,
即DF=BE,
∴四边形BFDE是平行四边形,
又∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°,
∴四边形BFDE是矩形.
(2)∵AF平分∠DAB,
∴∠DAF=∠BAF,
∵DC∥AB,
∴∠DFA=∠BAF,
∵∠DFA=∠DAF,
∴AD=DF=10,
∵CF=6,
∴AB=CD=16,AE=6,
在Rt△AED中,由勾股定理得DE===8,
∵四边形BFDE是矩形,
∴BF=DE=8.
7.解:(1)证明:如图,连结DE、EB、BF、FD.
∵两动点E、F同时分别以2 cm/s的速度从点A、C出发在线段AC上相对运动,∴AE=CF.
∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,
∴OD=OB,OA=OC,
∴两点相遇前,OA- AE=OC-CF,两点相遇后,AE-OA=CF-OC,即OE=OF.
又∵BO=DO,
∴四边形BEDF为平行四边形.
(2)当点E在OA上,点F在OC上,EF=BD=12 cm时,四边形BEDF为矩形,
∵运动时间为t,
∴AE=CF=2t,∴EF=20-4t=12,∴t=2,
当点E在OC上,点F在OA上,EF=BD=12 cm时,四边形BEDF为矩形,此时EF=4t-20=12,
∴t=8.
综上所述,当t为2 s或8 s时,四边形BEDF为矩形.