19.2 菱形 1.菱形的性质 同步练（含答案） 2024-2025学年数学华东师大版八年级下册
文档属性
| 名称 | 19.2 菱形 1.菱形的性质 同步练（含答案） 2024-2025学年数学华东师大版八年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 234.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-16 13:57:25 | ||
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文档简介
19.2 菱形
1.菱形的性质
菱形的定义以及对称性
1.(开放性试题)如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,添加一个条件使四边形ABCD是菱形,那么所添加的条件可以是 .(写出一个即可)
2.如图,在菱形OABC中,点B在x轴上,点A的坐标为(2,3),则点C的坐标为 .
菱形的四条边相等
3.如图,菱形ABCD的周长是8 cm,∠ABC=60°,那么这个菱形的对角线AC的长是 ( )
A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
4.(2024福建中考)如图,在菱形ABCD中,点E、F分别在边BC和CD上,且∠AEB=∠AFD.
求证:BE=DF.
菱形的对角线互相垂直
5.菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )
A.对角线互相平分
B.对角线相等
C.两组对角分别相等
D.对角线互相垂直
6.在菱形ABCD中,AB=15,∠ADC=120°,则B、D两点之间的距离为 .
7.如图所示,在菱形ABCD 中,∠ABC=60°,DE∥AC且DE交BC的延长线于点E.
求证:DE=BE.
1.(2024绥化中考)如图,四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是 ( )
A. B.6 C. D.12
2.(2024临夏州中考)如图,O是坐标原点,菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上,顶点C的坐标为(3,4),则顶点A的坐标为 ( )
A.(-4,2) B.(-,4)
C.(-2,4) D.(-4,)
3.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=80°,点E在对角线BD上,且BE=BA,则∠BAE的度数为 ( )
A.70° B.40° C.75° D.30°
4.如图,已知菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8,M、N分别是边BC、CD的中点,P是对角线BD上一点,则PM+PN的最小值是 .
5.如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连结OE.
求证:OE=BC.
6.(推理能力)在菱形ABCD中,∠ABC=60°,点E是对角线AC上任意一点,点F是线段BC延长线上一点,且CF=AE,连结BE、EF.如图1,当点E是线段AC的中点时,易证BE=EF.
(1)如图2,当点E不是线段AC的中点,其他条件不变时,结论BE=EF (填“成立”或“不成立”).
(2)如图3,当点E是线段AC延长线上的任意一点,其他条件不变时,结论BE=EF是否成立 若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
图1 图2 图3
【详解答案】
课堂达标
1.AB=AD(答案不唯一) 2.(2,-3)
3.A
4.证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D.
在△ABE和△ADF中,
∴△ABE≌△ADF(A.A.S.),
∴BE=DF.
5.D 6.15
7.证明:∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴AB∥CD,AD∥BE,∴∠DCE=60°,BC=DC=AD.
∵DE∥AC,∴四边形ACED为平行四边形.∴AD=CE,∴DC=CE=BC.∵∠DCE=60°,∴△DCE为等边三角形,∴DE=CE=BC.
∴DE=BE.
课后提升
1.A 解析:∵四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,∴BC=CD=5,BO=DO=4,OA=OC,AC⊥BD,∴∠BOC=90°,在Rt△OBC中,由勾股定理得OC===3,∴AC=2OC=6,∵菱形ABCD的面积=AE·BC=BD×AC= OB·AC,∴AE===.故选A.
2.C 解析:如图,∵点C的坐标为(3,4),∴OC==5.∵四边形ABOC为菱形,∴AC=OC=5,∴AD=AC-CD=AC-xC=5-3=2,∴顶点A的坐标为(-2,4).故选C.
3.A 解析:∵四边形ABCD为菱形,∠ABC=80°,∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=40°.
又∵BE=BA,∴∠BAE=∠BEA=(180°-∠ABE)=70°.故选A.
4.5 解析:如图,作点M关于BD的对称点Q,连结NQ,交BD于点P,连结MP,此时MP+NP的值最小,连结AC.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∠QBP=∠MBP,即点Q在AB上.∵MQ⊥BD,∴AC∥MQ.∵M为BC中点,∴Q为AB中点.∵N为CD中点,四边形ABCD是菱形,∴BQ∥CD,BQ=CN,∴四边形BQNC是平行四边形,∴NQ=BC.∵四边形ABCD是菱形,不妨设AC=6,BD=8.∴CP=AC=3,BP=BD=4.在Rt△BPC中,由勾股定理得BC=5,即NQ=5.∴MP+NP=QP+NP=QN=5,即PM+PN的最小值是5.
5.证明:∵DE∥AC,CE∥BD,
∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=CD,AC⊥BD,
∴∠BOC=90°,
∴四边形OCED是矩形,
∴OE=CD,∴OE=BC.
6.解:(1)成立
(2)结论BE=EF成立.证明如下:
如图,过点E作EG∥BC交AB的延长线于点G.
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=BC.
又∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形.∴AB=AC,∠ACB=60°.
∵EG∥BC,∴∠AGE=∠ABC=60°.
又∵∠BAC=60°,∴△AGE是等边三角形.
∴AG=AE=GE.
又∵AB=AC,∴BG=CE.
∵CF=AE,GE=AE,∴GE=CF.
∵BG=EC,∠BGE=∠ECF=60°,GE=CF,
∴△BGE≌△ECF.∴BE= EF.
1.菱形的性质
菱形的定义以及对称性
1.(开放性试题)如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,添加一个条件使四边形ABCD是菱形,那么所添加的条件可以是 .(写出一个即可)
2.如图,在菱形OABC中,点B在x轴上,点A的坐标为(2,3),则点C的坐标为 .
菱形的四条边相等
3.如图,菱形ABCD的周长是8 cm,∠ABC=60°,那么这个菱形的对角线AC的长是 ( )
A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
4.(2024福建中考)如图,在菱形ABCD中,点E、F分别在边BC和CD上,且∠AEB=∠AFD.
求证:BE=DF.
菱形的对角线互相垂直
5.菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )
A.对角线互相平分
B.对角线相等
C.两组对角分别相等
D.对角线互相垂直
6.在菱形ABCD中,AB=15,∠ADC=120°,则B、D两点之间的距离为 .
7.如图所示,在菱形ABCD 中,∠ABC=60°,DE∥AC且DE交BC的延长线于点E.
求证:DE=BE.
1.(2024绥化中考)如图,四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是 ( )
A. B.6 C. D.12
2.(2024临夏州中考)如图,O是坐标原点,菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上,顶点C的坐标为(3,4),则顶点A的坐标为 ( )
A.(-4,2) B.(-,4)
C.(-2,4) D.(-4,)
3.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=80°,点E在对角线BD上,且BE=BA,则∠BAE的度数为 ( )
A.70° B.40° C.75° D.30°
4.如图,已知菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8,M、N分别是边BC、CD的中点,P是对角线BD上一点,则PM+PN的最小值是 .
5.如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连结OE.
求证:OE=BC.
6.(推理能力)在菱形ABCD中,∠ABC=60°,点E是对角线AC上任意一点,点F是线段BC延长线上一点,且CF=AE,连结BE、EF.如图1,当点E是线段AC的中点时,易证BE=EF.
(1)如图2,当点E不是线段AC的中点,其他条件不变时,结论BE=EF (填“成立”或“不成立”).
(2)如图3,当点E是线段AC延长线上的任意一点,其他条件不变时,结论BE=EF是否成立 若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
图1 图2 图3
【详解答案】
课堂达标
1.AB=AD(答案不唯一) 2.(2,-3)
3.A
4.证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D.
在△ABE和△ADF中,
∴△ABE≌△ADF(A.A.S.),
∴BE=DF.
5.D 6.15
7.证明:∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴AB∥CD,AD∥BE,∴∠DCE=60°,BC=DC=AD.
∵DE∥AC,∴四边形ACED为平行四边形.∴AD=CE,∴DC=CE=BC.∵∠DCE=60°,∴△DCE为等边三角形,∴DE=CE=BC.
∴DE=BE.
课后提升
1.A 解析:∵四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,∴BC=CD=5,BO=DO=4,OA=OC,AC⊥BD,∴∠BOC=90°,在Rt△OBC中,由勾股定理得OC===3,∴AC=2OC=6,∵菱形ABCD的面积=AE·BC=BD×AC= OB·AC,∴AE===.故选A.
2.C 解析:如图,∵点C的坐标为(3,4),∴OC==5.∵四边形ABOC为菱形,∴AC=OC=5,∴AD=AC-CD=AC-xC=5-3=2,∴顶点A的坐标为(-2,4).故选C.
3.A 解析:∵四边形ABCD为菱形,∠ABC=80°,∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=40°.
又∵BE=BA,∴∠BAE=∠BEA=(180°-∠ABE)=70°.故选A.
4.5 解析:如图,作点M关于BD的对称点Q,连结NQ,交BD于点P,连结MP,此时MP+NP的值最小,连结AC.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∠QBP=∠MBP,即点Q在AB上.∵MQ⊥BD,∴AC∥MQ.∵M为BC中点,∴Q为AB中点.∵N为CD中点,四边形ABCD是菱形,∴BQ∥CD,BQ=CN,∴四边形BQNC是平行四边形,∴NQ=BC.∵四边形ABCD是菱形,不妨设AC=6,BD=8.∴CP=AC=3,BP=BD=4.在Rt△BPC中,由勾股定理得BC=5,即NQ=5.∴MP+NP=QP+NP=QN=5,即PM+PN的最小值是5.
5.证明:∵DE∥AC,CE∥BD,
∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=CD,AC⊥BD,
∴∠BOC=90°,
∴四边形OCED是矩形,
∴OE=CD,∴OE=BC.
6.解:(1)成立
(2)结论BE=EF成立.证明如下:
如图,过点E作EG∥BC交AB的延长线于点G.
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=BC.
又∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形.∴AB=AC,∠ACB=60°.
∵EG∥BC,∴∠AGE=∠ABC=60°.
又∵∠BAC=60°,∴△AGE是等边三角形.
∴AG=AE=GE.
又∵AB=AC,∴BG=CE.
∵CF=AE,GE=AE,∴GE=CF.
∵BG=EC,∠BGE=∠ECF=60°,GE=CF,
∴△BGE≌△ECF.∴BE= EF.