19.2　菱形 2.菱形的判定 同步练（含答案）2024-2025学年数学华东师大版八年级下册

2.菱形的判定
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1.如图,要使 ABCD 为菱形,则需添加的一个条件是 (　　)
A.AC=AD B.BA=BC C.∠ABC=90° D.AC=BD
2.如图,在 ABCD中,点G为BC边上一点,DG=DC,延长DG交AB的延长线于点E,过点A作AF∥ED交CD的延长线于点F.
求证:四边形AEDF是菱形.
四条边都相等的四边形是菱形
3.用直尺和圆规作一个菱形,如图所示,能得到四边形ABCD是菱形的依据是 (　　)
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.四条边都相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,点E在DA的延长线上,连结BE,过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F,连结BF、CE.
求证:四边形BECF是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
5.下列条件中,能判定 ABCD是菱形的是 (　　)
A.AC=BD B.AB⊥BC C.AD=BD D.AC⊥BD
6.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD的顶点坐标分别是A(-3,0)、B(0,2)、C(3,0)、D(0,-2),则四边形ABCD是 (　　)
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形
7.如图所示, ABCD的对角线AC的垂直平分线交AD 于E,交BC于F,交AC于O,则四边形 AECF是菱形吗 为什么
1.(2024通辽中考)如图, ABCD的对角线AC、BD交于点O,以下条件不能证明 ABCD是菱形的是 (　　)
A.∠BAC=∠BCA B.∠ABD=∠CBD C.OA2+OD2=AD2 D.AD2+OA2=OD2
2.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC.若BD=6,则四边形CODE的周长是 (　　)
A.10 B.12 C.18 D.24
3.如图,在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形.甲、乙两人的作法如下:
甲:连结AC,作AC的垂直平分线MN分别交AD、AC、BC于点M、O、N,连结接AN、CM,则四边形ANCM是菱形.
乙:分别作∠A、∠B的平分线AE、BF,分别交BC、AD于点E、F,连结EF,则四边形ABEF是菱形.
对于甲、乙两人的作法,可判断甲　　　　,乙　　　　.(填“正确”或“错误”)
4.(分类讨论思想)平面直角坐标系中,点A、B、C、D的坐标分别是A(m,-1)、B(0,-4)、C(0,1)、D(m,a),且m>0,若以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形,则点D的坐标为　　　　　.
5.如图,过 ABCD的对角线AC与BD 的交点E作两条互相垂直的直线,分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N.
(1)求证:△PBE≌△QDE.
(2)顺次连结点P、M、Q、N,求证:四边形PMQN是菱形.
6.(推理能力)如图1,△ABC为等腰三角形,AB=AC=6,P点是底边BC上的一个动点.PD∥AC,PE∥AB.
(1)求四边形ADPE的周长.
(2)当点P运动到什么位置时,四边形ADPE是菱形 并说明理由.
(3)如果△ABC不是等腰三角形(如图2),其他条件不变,当点P运动到什么位置时,四边形ADPE是菱形 并说明理由.
【详解答案】
课堂达标
1.B
2.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BAD=∠C,AD∥BC,AB∥CD.
∵AF∥ED,∴四边形AEDF是平行四边形.
∵AD∥BC,∴∠DGC=∠ADE.
∵DG=DC,∴∠DGC=∠C.
∴∠BAD=∠ADE.
∴AE=DE.∴四边形AEDF是菱形.
3.B
4.证明:AB=AC,AD是BC边上的中线,
∴AD垂直平分BC,
∴EB=EC,FB=FC,
∵CF∥BE,
∴∠BED=∠CFD,∠EBD=∠FCD.
∵DB=CD,
∴△EBD≌△FCD(A.A.S.),
∴BE=FC,
∴EB=BF=FC=EC,
∴四边形BECF是菱形.
5.D　6.B
7.解:四边形AECF是菱形,理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE∥CF,
∴∠EAO=∠FCO.
又∵EF垂直平分AC,∴AO=CO,
在Rt△AOE与Rt△COF中,∠EAO=∠FCO,AO=CO,∠EOA=∠FOC.
∴△AOE≌△COF(A.S.A.).
∴OE=OF.
又∵OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形.
又∵AC⊥EF,∴四边形AECF是菱形.
课后提升
1.D　解析:A.∵∠BAC=∠BCA,∴AB=BC.∵四边形ABCD是平行四边形,∴ ABCD是菱形,故本选项不符合题意;B.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD.∵∠ABD=∠CBD,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,∴ ABCD是菱形,故本选项不符合题意;C.∵OA2+OD2=AD2,∴∠AOD=90°,即AC⊥BD.∵四边形ABCD是平行四边形,∴ ABCD是菱形,故本选项不符合题意;D.∵AD2+OA2=OD2,∴∠OAD=90°,无法得到 ABCD是菱形,故本选项符合题意.故选D.
2.B　解析:∵CE∥BD,DE∥AC,∴四边形CODE是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形,∴OC=AC,OD=BD,AC =BD=6.∴OC=OD=3.∴四边形CODE是菱形.∴DE=OC=OD=CE=3.∴四边形CODE的周长=4×3=12.故选B.
3.正确　正确　解析:甲的作法正确.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAC=∠ACN.∵MN是AC的垂直平分线,∴AO=CO.在△AOM和△CON中,∠MAO=∠NCO,AO=CO,∠AOM=∠CON,∴△AOM≌△CON(A.S.A.),∴MO=NO,∴四边形ANCM是平行四边形.∵AC⊥MN,∴四边形ANCM是菱形.乙的作法正确.如图,∵AD∥BC,∴∠1=∠2,∠6=∠4.∵BF平分∠ABC,AE平分∠BAD,∴∠2=∠3,∠5=∠6,∴∠1=∠3,∠5=∠4,∴AB=AF,AB=BE,∴AF=BE.∵AF∥BE,且AF=BE,∴四边形ABEF是平行四边形.∵AB=AF,∴平行四边形ABEF是菱形.
4.(,-6)或(4,4)　解析:∵A(m,-1)、B(0,-4)、C(0,1)、D(m,a),∴AD∥BC,BC=5.如图1,当点D在点A下方时,过点A作AE⊥BC于点E.∵点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形,∴AC=BC=AD=5.∵A(m,-1)、C(0,1),∴CE=2,∴AE===,∴D(,-6).如图2,当点D在点A的上方时,过点A作AE⊥BC于点E.∵点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形,∴AB=AD=BC=5.∵A(m,-1)、B(0,-4),∴BE=3,∴AE===4,∴D(4,4).综上所述,点D的坐标为(,-6)或(4,4).
5.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴EB=ED,AB∥CD,
∴∠EBP=∠EDQ,
在△PBE和△QDE中,
∴△PBE≌△QDE(A.S.A.).
(2)∵△PBE≌△QDE,∴EP=EQ,
同理:△BME≌△DNE,∴EM=EN,
∴四边形PMQN是平行四边形.
∵PQ⊥MN,∴四边形PMQN是菱形.
6.解:(1)∵PD∥AC,PE∥AB,∴∠DPB=∠C,∠EPC=∠B.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B=∠DPB,
∠C=∠EPC,∴DB=DP,PE=EC,∴四边形ADPE的周长是AD+DP+PE+AE=AB+AC=6×2=12.
(2)当点P运动到BC中点时,四边形ADPE是菱形.理由如下:
∵PD∥AC,PE∥AB,∴四边形ADPE是平行四边形,∴PD=AE,PE=AD.∵点P是BC的中点,∴PB=PC.在△DBP和△ECP中,∠B=∠C,BP=CP,∠DPB=∠EPC,∴△DBP≌△ECP(A.S.A.),∴DP=PE,∴平行四边形ADPE是菱形.
(3)如图,点P运动到∠A的平分线上时,四边形ADPE是菱形.理由如下:
∵PD∥AC,PE∥AB,∴四边形ADPE是平行四边形.∵AP平分∠BAC,∴∠1=∠2.∵AB∥EP,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴AE=EP,∴平行四边形ADPE是菱形.