高中数学人教A版（2019）选必修2 4.3.2等比数列的前n项和（第2课时）同步课件（21页ppt）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选必修2 4.3.2等比数列的前n项和（第2课时）同步课件（21页ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-16 10:10:06 | ||
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文档简介
(共21张PPT)
高中数学 人民教育出版社 A版 选择性必修 第二册
第四章 数列
4.3.2 等比数列的前n项和（第二课时）
问题1 推导等比数列前n项和公式的方法是什么？
错位相减法
引入新课
问题2 等比数列的前n项和公式是什么？
引入新课
问题3：设{an}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{nan}的
前n项和.
解析：
引入新课
(1)
(2)
由题意知，
(1)-(2)：
解答：设正方形ABCD的面积为a1，后续各正方形的面积依次为a2，a3，…，an
则a1＝25，
由于第k＋1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，
如图，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中点
E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点
I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．
（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
典例 1
引入新课
几何应用
如图，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中点E，
F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，
J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．
（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
设 的前项和为Sn，
所以，前10个正方形的面积之和为 cm2．
典例 1
引入新课
几何应用
Sn将趋近于50．
如图，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中点E，
F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，
J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．
（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50．
典例 1
引入新课
几何应用
总结：与用等差数列的前n项和公式解决问题类似，
用等比数列的前n项和公式解决问题时：
先发现问题情境中呈等比关系变化的量，
并构造一个等比数列来刻画它，
然后把求这个量的和的问题转化为求等比数列和的问题
去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）．
典例 2
引入新课
几何应用
实际应用
Sn＝（a1－b1）＋（a2－b2）＋ ＋（an－bn）
当n＝5时，S5≈63.5，
＝（a1＋a2＋ ＋an）－（b1＋b2＋ ＋bn）
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨．
解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{bn}，每年以填埋方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{an - bn} ，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn（单位：万吨），
依题知：an＝20(1＋5%)n，bn＝6＋1.5n，
引入新课
几何应用
实际应用
总结：若数列{an} 是公比为q的等比数列，数列{bn} 是公差为d 的等差数列，数列{an＋bn}的前n项和Sn为：
Sn＝（a1＋b1）＋（a2＋b2）＋ ＋（an＋bn）
＝（a1＋a2＋ ＋an）＋（b1＋b2＋ ＋bn）
分组求和法
某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，
c2，c3，…
（1）写出一个递推公式，表示cn＋1与cn之间的关系；
解答：（1）由题意，得c1＝1200，并且cn＋1＝1.08cn－100．①
典例 3
引入新课
几何应用
实际应用
某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，
c2，c3，…
（2）将（1）中的递推公式表示成cn＋1－k＝r（cn－k）的形式，其中k，r为常数；
（2）将cn＋1－k＝r（cn－k）化成cn＋1＝rcn－rk＋k．②
解这个方程组，得
所以（1）中的递推公式可以化为cn＋1－1250＝1.08（cn－1250）
典例 3
引入新课
几何应用
实际应用
某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，
c2，c3，…
（3）求S10＝c1＋c2＋c3＋ ＋c10的值（精确到1）
（3）由（2）可知，数列{cn－1250}是以－50为首项，1.08为公比的等比数列，
则：
（c1－1250）＋（c2－1250）＋（c3－1250）＋ ＋（c10－1250）
所以S10＝c1＋c2＋c3＋ ＋c10≈1250×10－724.8＝11775.7≈11776
典例 3
引入新课
几何应用
实际应用
总结：在解决实际问题时，有时不容易发现呈等差关系或等比关系变化的量，
但可以发现某些量的递推关系．
这时，往往可以先构建一个用递推关系表达的数列，再尝试通过代数变换，把这个数列转化为等差数列或等比数列，或等差数列与等比数列的线性组合．
对于数列{cn} 满足：cn＋1＝rcn＋m，先通过引入参数，建立一个含cn＋1与cn的等比关系，再求出其中的参数，这实际上是待定系数法，
即：cn＋1－k＝r（cn－k），先求出数列{cn－k} 的通项公式，进而求得数列{cn} 的通项公式．
引入新课
几何应用
实际应用
巩固练习
一个乒乓球从100cm高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的0.61倍.
（1）当它第6次着地时，经过的总路程是多少（精确到1cm）？
（2）至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到400cm？
1.采用错位相减法求等比数列前n项和
2.等比数列前n项和在几何中的应用
3.等比数列前n项和在实际生活中的应用
引入新课
几何应用
实际应用
巩固练习
课堂小结
引入新课
几何应用
实际应用
巩固练习
课堂小结
布置作业
基础型作业
引入新课
几何应用
实际应用
巩固练习
课堂小结
布置作业
引入新课
几何应用
实际应用
巩固练习
课堂小结
布置作业
拓展型作业
4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地……”，则该人最后一天走的路程为( )
A.24里 B.12里 C.6里 D.3里
安徽省教育科学研究院 安徽省电化教育馆
宣城市教育体育局 广德市区教育体育局
联合摄制
2023年9月
高中数学 人民教育出版社 A版 选择性必修 第二册
第四章 数列
4.3.2 等比数列的前n项和（第二课时）
问题1 推导等比数列前n项和公式的方法是什么？
错位相减法
引入新课
问题2 等比数列的前n项和公式是什么？
引入新课
问题3：设{an}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{nan}的
前n项和.
解析：
引入新课
(1)
(2)
由题意知，
(1)-(2)：
解答：设正方形ABCD的面积为a1，后续各正方形的面积依次为a2，a3，…，an
则a1＝25，
由于第k＋1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，
如图，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中点
E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点
I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．
（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
典例 1
引入新课
几何应用
如图，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中点E，
F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，
J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．
（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
设 的前项和为Sn，
所以，前10个正方形的面积之和为 cm2．
典例 1
引入新课
几何应用
Sn将趋近于50．
如图，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中点E，
F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，
J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．
（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50．
典例 1
引入新课
几何应用
总结：与用等差数列的前n项和公式解决问题类似，
用等比数列的前n项和公式解决问题时：
先发现问题情境中呈等比关系变化的量，
并构造一个等比数列来刻画它，
然后把求这个量的和的问题转化为求等比数列和的问题
去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）．
典例 2
引入新课
几何应用
实际应用
Sn＝（a1－b1）＋（a2－b2）＋ ＋（an－bn）
当n＝5时，S5≈63.5，
＝（a1＋a2＋ ＋an）－（b1＋b2＋ ＋bn）
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨．
解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{bn}，每年以填埋方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{an - bn} ，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn（单位：万吨），
依题知：an＝20(1＋5%)n，bn＝6＋1.5n，
引入新课
几何应用
实际应用
总结：若数列{an} 是公比为q的等比数列，数列{bn} 是公差为d 的等差数列，数列{an＋bn}的前n项和Sn为：
Sn＝（a1＋b1）＋（a2＋b2）＋ ＋（an＋bn）
＝（a1＋a2＋ ＋an）＋（b1＋b2＋ ＋bn）
分组求和法
某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，
c2，c3，…
（1）写出一个递推公式，表示cn＋1与cn之间的关系；
解答：（1）由题意，得c1＝1200，并且cn＋1＝1.08cn－100．①
典例 3
引入新课
几何应用
实际应用
某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，
c2，c3，…
（2）将（1）中的递推公式表示成cn＋1－k＝r（cn－k）的形式，其中k，r为常数；
（2）将cn＋1－k＝r（cn－k）化成cn＋1＝rcn－rk＋k．②
解这个方程组，得
所以（1）中的递推公式可以化为cn＋1－1250＝1.08（cn－1250）
典例 3
引入新课
几何应用
实际应用
某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，
c2，c3，…
（3）求S10＝c1＋c2＋c3＋ ＋c10的值（精确到1）
（3）由（2）可知，数列{cn－1250}是以－50为首项，1.08为公比的等比数列，
则：
（c1－1250）＋（c2－1250）＋（c3－1250）＋ ＋（c10－1250）
所以S10＝c1＋c2＋c3＋ ＋c10≈1250×10－724.8＝11775.7≈11776
典例 3
引入新课
几何应用
实际应用
总结：在解决实际问题时，有时不容易发现呈等差关系或等比关系变化的量，
但可以发现某些量的递推关系．
这时，往往可以先构建一个用递推关系表达的数列，再尝试通过代数变换，把这个数列转化为等差数列或等比数列，或等差数列与等比数列的线性组合．
对于数列{cn} 满足：cn＋1＝rcn＋m，先通过引入参数，建立一个含cn＋1与cn的等比关系，再求出其中的参数，这实际上是待定系数法，
即：cn＋1－k＝r（cn－k），先求出数列{cn－k} 的通项公式，进而求得数列{cn} 的通项公式．
引入新课
几何应用
实际应用
巩固练习
一个乒乓球从100cm高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的0.61倍.
（1）当它第6次着地时，经过的总路程是多少（精确到1cm）？
（2）至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到400cm？
1.采用错位相减法求等比数列前n项和
2.等比数列前n项和在几何中的应用
3.等比数列前n项和在实际生活中的应用
引入新课
几何应用
实际应用
巩固练习
课堂小结
引入新课
几何应用
实际应用
巩固练习
课堂小结
布置作业
基础型作业
引入新课
几何应用
实际应用
巩固练习
课堂小结
布置作业
引入新课
几何应用
实际应用
巩固练习
课堂小结
布置作业
拓展型作业
4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地……”，则该人最后一天走的路程为( )
A.24里 B.12里 C.6里 D.3里
安徽省教育科学研究院 安徽省电化教育馆
宣城市教育体育局 广德市区教育体育局
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2023年9月