高中数学人教A版（2019）选必修2 4.4数学归纳法(第2课时)同步课件（18页ppt）

(共18张PPT)
高中数学 人民教育出版社 A版 选择性必修 第二册
第四章 数列
4.4 数学归纳法（第二课时）
问题1
什么时候需要应用数学归纳法？
数学归纳法一般被用于证明与正整数n有关的命题.
证明对任意的正整数n，等式 恒成立.
不必应用数学归纳法
难以应用数学归纳法
证明 (n∈N*)的单调性.
问题导入
追问1
追问2
即n=k+1时等式成立.
所以等式对一切自然数 均成立.
思考1：甲同学猜想 用数学归纳法证明步骤如下：
证明：假设n=k时等式成立，即
那么n=k+1时
上述证法是正确的吗？为什么？
问题导入
问题导入
上述证明是错误的，事实上命题
本身是错误的
当n=1时，左边=1，右边=0
左边≠右边
第一步是递推的基础
思考2：乙同学用数学归纳法证明
如采用下面证法，对吗？为什么？
问题导入
第二步证明n=k+1时，必须用归纳假设
第二步要证命题“若P(k)（k∈N*，k≥n0）为真
则P(k＋1)也为真”.
方法归纳
问题2
怎样正确地使用数学归纳法？
不能缺少第一步的验证；
用上假设，递推才真
合作探究
例2 用数学归纳法证明：
①
例2 用数学归纳法证明：
①
证明：
（1）当n=1时，①式的左边=，
右边=，所以①式成立.
（2）假设当时，①式成立，即
，
在上式两边同时加上，有
即当n=k+1时，①式也成立.
由（1）（2）可知，①式对任何都成立.
例题讲解
目标
例3 已知数列满足 ，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
由 ，可得
由 可得
同理可得
归纳上述结果，猜想
①
解：
例题讲解
例3 已知数列满足 ，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1）当n=1时，
①式的左边= ，右边=，猜想成立.
（2）假设当时， ①式成立，即
那么
即当n=k+1时，猜想也成立.
由（1）（2）可知，猜想对任何 都成立.
例题讲解
①
例4 设 x 为正实数，n为大于1的正整数，若数列
1，1+x，，…，，…的前n项和为，
试比较与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
例题讲解
例4 设 x 为正实数，n为大于1的正整数，若数列
1，1+x，，…，，…
的前n项和为，试观察比较与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
解法一：
由已知可得
当n=3时，，
由，可得 .
由此，我们猜想，当且时，
例题讲解
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1）当n=2时，由上述过程知，不等式成立.
（2）假设当 时， 不等式成立，即
由，可得 ，所以
于是
所以，当n=k+1时，不等式也成立
由（1）（2）可知，不等式 对于任何大于1的正整数n都成立.
例题讲解
当且时，
解法一：
例4 设 x 为正实数，n为大于1的正整数，若数列
1，1+x，，…，，…
的前n项和为，试比较与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
解法二：
显然，所给数列是等比数列，公比为1+x，于是
当n=2时， ，由，可得 ；
当n=3时， ，由，可得 .
由此，我们猜想，当且时，
例题讲解
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1）当n=2时，由上述过程知，不等式成立.
（2）假设当时， 不等式成立，即
,
所以
于是
所以，当n=k+1时，不等式也成立.
由（1）（2）可知，不等式对于任何大于1的正整数n都成立.
例题讲解
当且时，
由，可得 ，所以
问题3
通过本节课，你有哪些收获？
什么时候需要应用数学归纳法
怎样正确地应用数学归纳法
课堂小结
作业布置
课后作业
1.用数学归纳法证明：-1+2-5+...(
2.若数列，，，...，，...的前n项和为,计算
由次推测计算的公式，并用数学归纳法进行证明。
谢谢！