宜兴市实验中学2023~2024学年第一学期
期中考试初三年级数学试卷
一.选择题：(本大题共 10 小题，每小题3分，共30 分。每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上相应的答案标号涂黑。)
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A.x-2=0 D.xy+1=0
2.如果两个相似三角形对应边之比是 1：3，那么它们的对应中线之比是( )
A.1: 3 B.1: 4 C.1: 6 D.1: 9
3.已知⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是( )
A.点A在⊙O内 B.点A在⊙O外
C.点A在⊙O上 D.无法确定
4.用配方法解一元二次方程 下列配方正确的是( )
D.(x-2) =1
5.下列说法错误的是( )
A.等弧所对的圆心角相等
B.弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数
C.经过三点可以作一个圆
D.三角形的外心到三角形各顶点距离相等
6. 如图, 不能说明△ABC∽△ACD的一组条件是 ( )
A.∠B=∠ACD B.∠ADC=∠ACB
7.如图,△ABC,AB=12,AC=15,D为AB上一点,且在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于( )
B.10 或10 D.以上答案都不对
8.关于x的一元二次方程 有实数根，则k满足( )
A.k≥0 B.k≤0且k≠-1 C.k<0且 k≠-1 D. k≤0
9.如图,在半径为3的⊙O中,AB是直径,AC是弦,D是AC的中点, AC与BD交于点E.若E是BD的中点，则AC的长是( )
10.定义: 在平面直角坐标系中,对于点P(x , y ),当点Q(x , y ) 满足时, 称点Q(x , y ) 是点P(x , y ) 的“倍增点”.已知点P (1,0),有下列结论:
①点Q (3, 8),Q (-2,-2) 都是点P 的“倍增点”;
②若直线y=x+2上的点A是点 P 的“倍增点”,则点A的坐标为(2, 4);
③反比例函数上存在两个点是点P 的“倍增点”；
④若点B是点P 的“倍增点”，则P B的最小值是
其中，正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题： (本大题共8题，每小题3分，共24分，请把结果填写在答卷纸的横线上)
11.如果-1是方程.的一个根，那么m的值为 .
12.一棵高3 米的小树影长为4米，同时临近它的一座楼房的影长是24米，那么这座楼房高 米.
13.若x ，x 是一元二次方程的两个根,则x +x = .
14.已知△ABC的三边长分别是6,8,10,则△ABC外接圆的直径是 .
15.如图,AB为⊙O的直径,点C、D在⊙O上,若∠CBA=70°,则∠D的度数是 .
16.如图, 四边形ABCD 内接于⊙O,F是上一点，连接CF并延长交AD的延长线于点 E,连接AC,若∠ABC=115°,∠BAC=30°,则∠E的度数为 .
17.如图,矩形ABCD中,F是DC上一点,BF⊥AC,垂足为E,面积为S ,△AEB的面积为S ,则的值等于
18.如图,在△ABC中,BC=6,BC 边上的高为4,在△ABC 的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线 EG长的最小值为 .
三、解答题(本大题共9题，共96分，请在答卷纸相应位置作答)
19. 解方程(每题4分, 共16分):
(4)5x(x-3) =2 (x-3).
20.(本小题满分10分)已知关于x的方程
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根.
(2)设此方程的两个根分别为x ，x ，若x >x 且满足3x =x -2,求m的值.
21.(本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系中，已知 三个顶点的坐标分别是A(2,2), B(4,0),C(4,-4).
(1)△ABC外接圆的圆心坐标为 ，外接圆⊙P 的半径是 .
(2)以点 O 为位似中心，将△ABC缩小为原来的得到，请在y轴左侧画出△A B C ;
(3)点P(a,b)为△ABC内的一点,则点P在△A B C 内部的对应点 的坐标为 .
22.(本小题满分10分)如图,在 ABCD中,点E在BC上,
(1)求证:△ADE∽△DEC;
(2)若AD=6, DE=4, 求BE的长.
23.(本小题满分10分)如图,在△ABC中,点O是外心,和 的平分线交于点 E，延长AE交△ABC的外接圆于点 D，连接BD.
(1)求证: BD=DE;
(2)若∠BAC=90°,DE=4cm,求△ABC的外接圆的半径.
24.(本小题满分10分)已知，如图，四边形ABCD 是矩形，
(1)E为DC中点,画圆O,使该圆O过点A、B、E(保留作图痕迹);
(2)若AB=2,AD=3,则(1)中所画圆O的半径为 .
25.(本小题满分10分)公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个
26.(本小题满分10分).如图,AB是⊙O的直径, 弦于点E,G 是弧AC上一点,AG、DC的延长线交于点F,连接AD,GD,GC.
(1)求证:
(2)已知CD=16, BE=4
①求⊙O的半径长.
②若点G是AF的中点，求与的面积之比.
27.(本小题满分10分)已知: 矩形ABCD中,点 M、N分别在边AB、CD上,直线MN交矩形对角线AC于点 E,将沿直线 MN 翻折，点A落在点 P 处,且点 P 在射线 CB上.
(1)如图1,当EP⊥BC时, 求CN的长;
(2)如图2,当EP⊥AC时, 求AM的长;
(3)请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时 MN的长.九年级数学参考答案
一.选择题：(本大题共 10 小题，每小题3分，共30 分。每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上相应的答案标号涂黑。)
1.B 2.A 3.A 4.B 5.C 6.D 7.C 8.B 9.D 10.C
二、填空题： (本大题共8题，每小题3分，共24分，请把结果填写在答卷纸的横线上)
11、0 12、18 13、9 14、10
15、20°16、25° 17、 18、
三、解答题(本大题共9题，共96分，请在答卷纸相应位置作答)
19. 解方程(每题4分, 共16分):
（1）x(x+6)=0,
∴x=0或x+6=0,
∴y-1=±2,
∵a=2, b=﹣5, c=1,
(4)5x(x﹣3)=2(x﹣3),
5x(x﹣3)﹣2(x﹣3)=0,
(x﹣3)(5x﹣2)=0,
∴x﹣3=0或5x﹣2=0,
20.(本小题满分10分)
∴方程有两个不相等的实数根；
即
解得：
3（3m+3）=3m-3-2
∴m=
21.(本小题满分10分)
(1)如图,⊙P即为,的外接圆，
故答案为：
(2)如图, 即为所求，
22.(本小题满分10分)
(1)证明: 中
又·
又
23.(本小题满分10分)
(1)证明: ∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∵∠DBC=∠CAD,
∴∠DBC=∠BAD,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE,
∵∠BED=∠BAD+∠ABE,∠DBE=∠DBC+∠CBE,
∴∠DBE=∠DEB,
∴DB=DE;
(2)∵∠BAC=90°,
∴BC是⊙O的直径,
连接CD,
∴∠BDC=90°,
∵∠BAD=∠CAD,
∴BD=CD,
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵DE=4cm,
∴BD=CD=4cm,
∴△ABC的外接圆的半径为
24.(本小题满分10分)
(1) 如图, ⊙O即为所求.
(2) 连接OB .
， 四边形ABCD是矩形，
∴AB的垂直平分线GH经过点E，设GH交AB于L，则
设
在 .中， 则有
解得
25.(本小题满分10分)
(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：
解得： (不合题意，舍去)。
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%.
(2)设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意， 得： (
整理， 得：
解得： (不合题意，舍去)，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元.
26.(本小题满分10分)
（1）求证略。
（2）①半径为10
②与的面积之比为
27.(本小题满分10分)
解: (1) ∵△AME沿直线MN翻折, 点A 落在点 P 处,
∴△AME≌△PME.∴∠AEM=∠PEM, AE=PE.
∵ABCD是矩形, ∴AB⊥BC.
∵EP⊥BC, ∴AB∥EP.
∴∠AME=∠PEM.∴∠AEM=∠AME.∴AM=AE.
∵ABCD是矩形,
设CN=CE=x.
∵ABCD是矩形, AB=4, BC=3, ∴AC=5.∴PE=AE=5-x.
∵EP⊥BC, ∴EPE=sin∠ACB=45∴= .
即
(2) ∵△AME沿直线MN翻折, 点A 落在点 P 处,
∴△AME≌△PME.∴AE=PE, AM=PM.
在Rt△PMB中,
(3) 0≤CP≤5,当CP 最大时
