专题训练七　平行四边形中的计算与证明 （含答案）2024-2025学年数学华东师大版八年级下册

专题训练七　平行四边形中的计算与证明
利用性质与判定探究线段间的关系
1.如图,在平行四边形ABCD中,点E、F分别在AB、CD上,AE=CF,连结AF、BF、DE、CE,分别相交于H、G,连结 EF、HG.
求证:(1)四边形 AECF是平行四边形.
(2)EF与GH互相平分.
2.如图,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,已知O是AC的中点,AE=CF,DF∥BE.
求证:(1)△BOE≌△DOF.
(2)四边形ABCD是平行四边形.
利用性质与判定解决折叠问题
3.如图,把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠,点C落在C'处,BC'与AD相交于点E.
(1) 求证:EB=ED.
(2)连结AC',求证:AC'∥BD.
4.如图,在 ABCD中,E为边AD的中点,把△ABE沿直线BE翻折,得到△FBE,连结DF并延长,交BC于点G.
(1)求证:四边形 BEDG为平行四边形.
(2)若BE=AD=10,且 ABCD的面积为60,求 FG的长.
5.如图,将 ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D'处,折痕l交CD边于点E,连结BE.
(1)求证:四边形BCED'是平行四边形.
(2)若BE平分∠ABC,求证:AB2=AE2+BE2.
利用性质与判定解决动点问题
6.如图,在四边形ABCD 中,AD∥CB,∠BCD=90°,BC=16,DC=12,AD=21,动点P从点D出发,沿线段DA的方向以每秒2个单位的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位的速度向点B运动,点P、Q分别从点D、C同时出发,当点P运动到点A时,点Q随之停止运动,设运动的时间为t(s).
(1)当t=2 s时,求△BPQ的面积.
(2)当四边形ABQP为平行四边形时,求运动时间.
7.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC且AD=9 cm,BC=6 cm,点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以1 cm/s的速度由A向D运动,点Q以2 cm/s的速度由C向B运动.几秒后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形
8.如图,在 ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AB⊥AC,AB=3 cm,BC=5 cm.点P从A点出发沿AD方向匀速运动,速度为1 cm/s.连结PO并延长交BC于点Q,设运动时间为t s(0【详解答案】
1.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD.
∵AE=CF,
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)由(1)得四边形AECF是平行四边形,
∴AF∥CE.
在 ABCD中,AB∥CD,AB=CD.
又∵AE=CF,
∴BE=DF.
∴四边形BFDE是平行四边形,
∴BF∥DE.
∴四边形EGFH是平行四边形,
∴EF与GH互相平分.
2.证明:(1)∵DF∥BE,
∴∠FDO=∠EBO,∠DFO=∠BEO.
∵O为AC的中点,∴OA=OC.
∵AE=CF,∴OA-AE=OC-CF.
即OE=OF.在△BOE和△DOF中,
∴△BOE≌△DOF(A.A.S.).
(2)∵△BOE≌△DOF,
∴OB=OD.∵O是AC的中点,∴OA=OC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
3.证明:(1)由折叠可知∠CBD=∠EBD,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠CBD=∠EDB,
∴∠EBD=∠EDB,
∴EB=ED.
(2)如图.
∵AD=BC=BC',EB=ED.
∴AE=C'E,
∴∠EAC'=∠EC'A.
∵∠AEC'=∠BED,
∴∠AC'B=∠C'BD=(180°-∠BED),
∴AC'∥BD.
4.解:(1)证明:由折叠的性质得AE=EF,∠AEB=∠FEB.
∴∠AEB=(180°-∠DEF).
∵E为边AD的中点,
∴AE=DE,∴DE=EF.
∴∠EDF=∠EFD,
∴∠EDF=(180°-∠DEF).
∴∠AEB=∠EDF,∴BE∥DG.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴DE∥BG.
∴四边形BEDG为平行四边形.
(2)∵四边形BEDG为平行四边形,
∴DE=BG,DG=BE=10.
∵四边形ABCD是平行四边形,AE=DE, ABCD的面积为60,
∴S△ABE=S ABCD=15.
如图,连结AF交BE于点H,则易得AH⊥BE,AH=HF.
∵BE=10,S△ABE=BE·AH=15,∴AH=3.∴AF=6.
∵BE∥DG,∴AF⊥DG.
∴在Rt△ADF中,DF==8,
∴FG=DG-DF=2.
5.证明:(1)将 ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D'处,
∴∠DAE=∠D'AE,∠DEA=∠D'EA,DE=D'E,DA=D'A.
∵DE∥AD',∴∠DEA=∠EAD'.
∴∠DAE=∠EAD'=∠DEA=∠D'EA.
∴DE=DA=AD'=D'E.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AB=DC.
∴CE∥D'B,CE=D'B.
∴四边形BCED'是平行四边形.
(2)∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠EBA.
∵AD∥BC,∴∠DAB+∠CBA=180°.
∵∠DAE=∠BAE,∴∠EAB+∠EBA=90°.
∴∠AEB=90°.∴AB2=AE2+BE2.
6.解:(1)∵t=2 s,
∴BQ=16-2×1=14,
∴S△BPQ=×14×12=84.
(2)当AP=BQ,即21-2t=16-t时,四边形ABQP为平行四边形,解得t=5,即运动时间为5 s.
7.解:设点P、Q运动的时间为t s,
依题意,得CQ=2t cm,AP=t cm,
则BQ=(6-2t)cm,PD=(9-t)cm.
①当BQ=AP时,四边形APQB是平行四边形,即6-2t=t,解得t=2;
②当CQ=PD时,四边形CQPD是平行四边形,即2t=9-t,解得t=3.
综上所述,2 s或3 s后,直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形.
8.解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AD∥BC,
∴∠PAO=∠QCO.
又∵∠AOP=∠COQ,
∴△AOP≌△COQ,
∴AP=CQ=t cm,
∵BC=5 cm,
∴BQ=(5-t) cm,
∵AP∥BQ,
当AP=BQ时,四边形ABQP是平行四边形,
即t=5-t,
∴t=,
∴当t=时,四边形ABQP是平行四边形.