(共9张PPT)
初中阶段综合与实践领域，可利用项目式学习的方式，以问题解决为导向，整合数学与其他学科的知识和思想方法，解决各种数学问题.本章中的数与式是初中阶段学习的基础，通过项目学习探究数式关系，掌握学习方法，提高数学学习能力和应用能力
综合与实践 无理数与数轴
1. 下面是小敏同学学习实数之后整理的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
综合与实践 无理数与数轴
* 年 * 月 * 日 星期二 晴
无理数与线段长
今天我们学习了实数，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，明白了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实．
回顾梳理 要在数轴上找到表示 的点，关键是在数轴上构造线段 OA=OA′= ．课本里有这样一个探究：如图 1，把两个边长为 1 的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的 4 个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为 2 的大正方形，面积为 2 的大正方形的边长就是原边长为 1 的小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为 ；由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图 2，正方形的边长为 1 个单位长度，以原点 O 为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点 A，A′，则点 A 对应的数为 ，点 A′对应的数为 ．
综合与实践 无理数与数轴
综合与实践 无理数与数轴
类比思考 如图 3，改变图 2 中正方形的位置，以数字 1 所在的点为圆心，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段 OB 与 OB′，其中 O 仍在原点，点B，B′分别在原点的右侧、左侧，可由线段 OB 与 OB′的长得到点 B，B′所表示的无理数!
按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点!
综合与实践 无理数与数轴
任务
（1）上述材料中说明问题的方式主要体现了下列哪种数学思想 ______；
A． 方程思想
B． 数形结合思想
C． 化归思想
（2）“类比思考”中，线段 OB 的长为 ________，OB′的长为 __________，则点 B 表示的数为__________，点 B′表示的数为 ________；
B
综合与实践 无理数与数轴
（3）拓展思考：通过动手操作，小敏同学把长为 5、宽为 1 的矩形进行裁剪，拼成如图 4 所示的正方形．
综合与实践 无理数与数轴
则请借鉴材料中的方法在图 5 的数轴上找到表示 的点 P．（保留作图痕迹并标出必要线段长）
综合与实践 无理数与数轴
综合与实践 无理数与数轴
解：∵ 大正方形的面积为 5，∴ 小矩形的对角线长为姨5 ．如图，小矩形的长和宽分别为 2 和 1，以数字 -1 所在的点为圆心，小矩形的对角线长为半径画弧，与数轴在原点的右侧交于点 P，点 P 对应的数为 ，则点 P 即为所求．(共20张PPT)
第四节 分 式
■考点一 分式的有关概念及性质（常考）
最简分式：分子和分母都没有②_________ 的分式.
形如 的代数式叫做分式，其中 A，B 都是整式，且 B 中含有①______，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.
分式
1.
概
念
字母
公因式
第四节 分 式
2. 与分式有关的几个条件
（1）分式 无意义时，Ｂ③___________；
（2）分式 有意义时，Ｂ④___________；
（3）使分式 有意义的条件是⑤________________；
（4）分式 的值为零时，Ａ⑥________ 且 Ｂ ⑦________；
（5）分式 的值为正时，Ａ，Ｂ⑧____，即
（6）分式 的值为负时，Ａ，Ｂ ____，即
=0
≠0
B≠0，C≠0，D≠0
=0
≠0
同号
＞
＜
异号
＜
＞
第四节 分 式
1. 判断使分式有意义的条件时，不能先化简，要对原分式进行讨论.2. 在求使分式值为整数的条件时，要先化简再解答，但最终结果使原分式有意义.
失分警示
第四节 分 式
3. 分式的基本性质
分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式，分式的值 __________，
（M≠0）是通分的原理， 是约分的原理.
满分备考
4. 符号变号法则
分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值 _________，
不变
不变
第四节 分 式
下列等式一定成立的是 （ ）
即学即练
B
第四节 分 式
■考点二 分式的运算（必考）
分式的
加减法
（1）同分母分式相加减： _________（分母不变，分子相加减）；
（2）异分母分式相加减： （先通分，
转化为同分母分式的加减法）.（关键是通分）
（3）通分要找最简公分母
①分母为多项式，则应先把每个分母分解因
式，然后判断最简公分母.
②取各个分母系数的最小公倍数作为最简
公分母的系数，取各个因式的最高次幂作
为最简公分母的因式.
第四节 分 式
进行分式的加减运算时，注意与分式方程的解法区别开来，要通分，不要“去分母”.
失分警示
运算中有整式时，可以将整式看成分母为1 的分式，再进行计算.
满分备考
第四节 分 式
分式的
乘除法
（1）乘法： ________（分子与分子相乘，分母与分母相乘）.
（2）除法： ________（除以一个数等于乘这个数的倒数）.
（3）乘方： （n 为整数）= _______（分子、分母各自乘方）.
（4）约分要找公因式
①分子、分母是多项式的，先分解因式；
②取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数；
③取各个因式的最低次幂作为公因式的因式.
第四节 分 式
1. 分式运算时可以因式分解的要先因式分解，再约分.
2. 分式运算的结果要化成整式或最简分式.
失分警示
第四节 分 式
■考点三 分式的化简求值（常考）
一般步骤
1. 化简求值时一定要做到“先化简，再求值”，否则不得分.
2. 必须保证所“代”数值使原分式的分母及运算过程中分式的分母都不为 0（即有意义）.
失分警示
■题型一 分式的化简及运算（常考）
·题型解法·
第四节 分 式
例 1 ［2024·河北 13 题］已知 A 为整式，若计算 的结果为 ，则 A= （ ）
A． x B． y C． x+y D． x-y
练习一 化简 的结果是 （ ）
A． m-5 B． m+5
C． 5-m D．
第四节 分 式
A
B
练习二 甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中，开始出现错误的同学是 （ ）
A． 甲同学 B． 乙同学 C． 丙同学 D． 丁同学
第四节 分 式
B
练习三 为了练习分式的化简，张老师让同学们在分式 中间加上“+”“-”“×”“÷”四个运算符号中的任意一个后进行化简，若化简的结果为 a-2，则所加的运算符号为 （ ）
A． + B． -
C． × D． ÷
第四节 分 式
A
练习四 ［2024·张家口模拟］如图是嘉琪进行分式计算的过程，下列判断不正确的是 （ ）
A. 第二步运用了分式的基本性质
B. 从第三步开始出现错误
C. 原分式的计算结果为
D. 当 x=1 时，原分式的值为 0
第四节 分 式
D
■题型二 分式的化简求值（常考）
·题型解法·
第四节 分 式
例 2 ［2022·河北 9 题］ 若 x 和 y 互为倒数，则 的值是 （ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
练习一 ［2024·邯郸广平一模］当 x＞2 时，分式 的值在 （ ）
A． 0.5 和 1 之间
B． 1 和 1.5 之间
C． 1.5 和 2 之间
D． 2 和 3 之间
第四节 分 式
B
B
练习二 ［2024·邢台模拟］若 m-n=2，则代数式 的值是 （ ）
A． -2 B． 2 C． -4 D． 4
练习三 （1）定义新运算： 的值是 ___________.
（2）如果实数 x，y 满足方程组 那么代数式 的值为 _________.
第四节 分 式
D
1
练习四 嘉淇在作业本上看到一道化简题，但墨水遮住了原式子的一部分
（1）嘉淇猜被墨水遮住的式子是 ，请代入原式化简，然后从-1，0，1 中选取一个你喜欢的数作为 a 值代入求值；
第四节 分 式
解：
∵a-1≠0，a+1≠0，∴a≠1，a≠-1，∴ 从-1，0，1 中选取 0 作为 a 值代入求值，原式= =-1；
（2）若这道题的答案是 ，则被墨水遮住的式子是多少？
第四节 分 式
解：∵
则被墨水遮住的式子是(共47张PPT)
第三节 代数式与整式
■考点一 代 数 式（常考）
1. 代数式：用运算符号连接数和①____ 组成的式子叫做代数式.单独的一个数或一个表示数的字母也是代数式.
（把问题中与数量有关的词语，用含有字母和运算符号的式子表示出来.
列代数式要抓住一些关键词语，如多、少、大、小、增长、下降等.
2. 列代数式
字母
第三节 代数式与整式
3. 代数式求值
直接代入法 把已知字母的值直接代入求解. 若 x=2，则代数式 5-2x=②_____.
整体代入法 利用因式分解或添、去括号，对等式进行恒等变形，使所求代数式变形成含有已知整式或部分项的形式，把已知部分的值整体代入求解. 若 x2-3y=-2，则代数式 x2
-3y+5=③______；
若3x-y=1，则代数式9x2
-6xy+y2=④______.
1
3
1
第三节 代数式与整式
■考点二 整 式（必考）
1.
整
式
的
相
关
概
念
整式：单项式和⑤_______ 统称整式.
由数与字母的⑥______ 组成的代数式.如：-2a2b3 是单项式.
单独的一个数或一个字母也是单项式，如 5 和 a 都是单项式.
单项式
（1）定义
（2）系数：单项式中的⑦________ 因数.如：单项式-2a2b3 的系数是⑧________.
（3）次数：单项式中所有字母的⑨___________ 的和.如：单项式-2a2b3 的次数是⑩___________
多项式
乘积
数字
-2
指数
5
第三节 代数式与整式
1.
整
式
的
相
关
概
念
一个多项式中，次数最高项的次数叫做这个多项式的次数.
如：5ac-2b-1 的次数是 ___________.
多项式
（3）次数
（1）定义：几个单项式的 _________.如：5ac-2b-1.
（2）项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项.如：5ac-2b-1 的项分别是 _______________.
（4）常数项：多项式中不含字母的项.如：5ac-2b-1 的常数项是-1.
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项.如 2m与 3m 是同类项，2m 与 3m2不是同类项.
和
5ac，-2b，-1
2
第三节 代数式与整式
2. 整式的加减
实质：合并同类项
法则：先去括号，再合并同类项
运算 法则 举例
合并同类项 同类项的系数相加之和作为结果的系数，字母和字母的指数 _____. 2acb2+5ab2c= _____
添（去） 括号 括号前面是“+”号，添（去）括号各项都不改变符号；括号前面是“-”号，添（去）括号各项都 ______ 符号.（口诀：“-”变“+”不变） a+b-c=+（a+b-c）
a+b-c=-（-a-b+c）
a+（b-c）=a+b-c
a-（b-c）=a-b+c
2
不变
7ab2c
改变
第三节 代数式与整式
3. 幂的运算（其中 a≠0，b≠0，且 m，n 都为整数）
类别 法则 举例
同底数幂的乘法 底数不变，指数相加，am·an= _____.（m，n 为整数） a4·a-2= _____
幂的乘方 底数不变，指数相乘，（am）n= _____.（m，n 为整数） （-a4）3= _____
积的乘方 把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，（ab）n= _____.（n 为整数） （-3a3b）3= _____
am+n
a2
amn
-a12
anbn
-27a9b3
第三节 代数式与整式
续表
同底数幂的除法 底数不变，指数相减，am÷an= __________.（a≠0，m，n 为整数） a6÷a2= _____
括号内有“-”号的幂的乘方运算 ：
（-am）n =
满分备考
-amn（n 为奇数），
amn（n 为偶数）
am-n
a4
第三节 代数式与整式
（1）a2 ·a2·a2=_________；（2）（-8）5×0.1254=_________；
（3）
即学即练
a6
-8
k9k
第三节 代数式与整式
4. 整式的乘法
类别 运算法则
单项式乘 单项式 把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它们的指数作为积的一个因式.如：2a3b2·3ac3=6（a3·a）b2c3= _________.
单项式乘 多项式 用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加.如：m（a+b）= _________.
多项式乘 多项式 先用多项式中的每一项乘另一个多项式中的每一项，再把所得的积相加.如：（m+n）（a+b）= _____________.
6a4b2c3
ma+mb
ma+mb+na+nb
第三节 代数式与整式
续表
乘法公式 平方差公式 （a+b）（a-b）= ________
完全平方公式 （a±b）2= _________.
a2-b2
a2±2ab+b2
第三节 代数式与整式
续表
乘法公式 常用恒等变形 ①a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab；
②（a-b）2=（a+b）2-4ab；
③（-a-b）2=（a+b）2；
④（-a+b）2=（a-b）2.
第三节 代数式与整式
5. 整式的
除法
（1）单项式除以单项式
将系数、同底数幂分别相除，作为商的一个因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.如：（a2b）3÷a3b= ______.
（2）多项式除以单项式：用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加
a3b2
第三节 代数式与整式
6. 因式分解
基本方法
（1）提公因式法：ma+mb+mc= _______________；
定义：把一个多项式化成几个整式 _______ 的形式，叫做把这个多项式因式分解.
公因式的确定
系数：取各项系数的最大公约数.
字母：取各项相同的字母.
指数：取各项相同字母的最低指数.
乘积
m（a+b+c）
第三节 代数式与整式
6. 因式分解
基本方法
（2）公式法：
一般步骤
（a+b）（a-b）
（a±b）2
第三节 代数式与整式
提公因式时，如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”
号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“-”号时，多项式的各项都要变号．提完公因式后，剩下因式的项数与原多项式的项数相同.
失分警示
因式分解与乘法运算互为逆变形，因式分解的结果为积的形式，乘法运算的结果一般为和差形式（有时为单项式）.
满分备考
第三节 代数式与整式
十字相乘法分解因式
（知识拓展）
一般
步骤
因式分解
第三节 代数式与整式
一题串考点
如图 1 是一个长为 2a、宽为 2b 的矩形，沿图中虚线剪成四块完全一样的小矩形，然后按图 2 的方式拼成一个正方形．
（1）图 2 中阴影部分正方形的边长是_____；
a-b
第三节 代数式与整式
（2）利用图 2 中阴影部分的面积的两种不同计算方法，写出下列三个代数式（a+b）2，（a-b）2，ab 之间的数量关系是 _______________________；
（3）利用（2）中的结论，当 a-b＝2，ab＝ 时，a+b 的值为 _______；
（4）图 2 中四个白色小矩形的面积和是 A=________________；
（5）已知（4）中的 A 和 B=（2a2b+5ab2）÷ab-4ab，A+B=3，则 b 与 a 的关系式是 ________；
（6）在（5）的条件下，则 4a·32b 的值为 ________；
（a+b）2-4ab=（a-b）2
4ab
8
第三节 代数式与整式
（7）如图 3，将正方形 ABCD 和正方形 EFGH 如图所示摆放，点 F 在 BC 边上，EH 与 CD 交于点I，且 ID=1，CG=2，矩形 EFCI 面积为 35，以 CF 边作正方形 CFMN，设 AD=x，则图中阴影部分的面积为 ___________．
24
■题型一 代数式及代数式求值（必考）
·题型解法·
第三节 代数式与整式
例 1 ［2022·河北 19 题］如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．
（1）甲盒中都是黑子，共 10个，乙盒中都是白子，共 8 个．嘉嘉从甲盒拿出 a 个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的 2 倍，则 a=_______；
第三节 代数式与整式
4
（2）设甲盒中都是黑子，共 m（m＞2）个，乙盒中都是白子，共 2m 个．嘉嘉从甲盒拿出 a（1＜a＜m）个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多 ______ 个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回 a 个棋子放到甲盒，其中含有 x（0＜x＜a）个白子，此时乙盒中有 y 个黑子，则 的值为 _______．
第三节 代数式与整式
（m+2a）
1
练习一 ［2023·河北 1 题］代数式 -7x 的意义可以是 （ ）
A． -7 与 x 的和 B． -7 与 x 的差
C． -7 与 x 的积 D． -7 与 x 的商
练习二 ［2024·邢台模拟］如图，已知圆环内直径为 a cm，外直径为 b cm，将 6 个这样的圆环一个接一个环套环地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为 （ ）
A．（5a+b） cm
B．（5b+a） cm
C．（6a-b） cm
D．（6b-a） cm
第三节 代数式与整式
C
A
练习三 ［2021·河北 20 题］某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为 4 元/本、10 元/本.现购进 m 本甲种书和 n 本乙种书，共付款 Q 元.
（1）用含 m，n 的代数式表示 Q；
（2）若共购进 5×104 本甲种书及 3×103 本乙种书，用科学记数法表示 Q 的值.
第三节 代数式与整式
解：（1）Q=4m+10n；
（2）将 m=5×104，n=3×103 代入（1）中所得代数式，得 Q=4 ×5 ×104+10 ×3×103=2.3×105.
■题型二 整式的运算（必考）
·题型解法·
第三节 代数式与整式
例 2［2024·唐山三模］与 3952+2×395×5+52 相等的是（ ）
A．（395-5）2
B．（395+5）（395-5）
C．（395+5）2
D．（395+10）2
第三节 代数式与整式
类型一 乘法公式
C
衍生一 问答反置———逆向思维
与（x-1）2 相等的是 （ ）
A． x2-1
B． 1-x2
C． x2+2x+1
D． x2-2x+1
第三节 代数式与整式
D
衍生二 变条件———换算式
计算：9992-998×1 002= （ ）
A． -2 000
B． -1 995
C． 1 995
D． 2 000
第三节 代数式与整式
B
衍生三 变考法———从特殊到一般
“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题．阅读下列问题并完成相应任务：
问题一：（x+y-z）（x-y+z）=（A+B）（A-B）.
问题二：已知 x2+y2=（x+y）2-P=（x-y）2+Q．
任务：（1）若 A=x，则 B=_______；
（2）P=Q=_______；
第三节 代数式与整式
y-z
2xy
（3）计算：（2a-b+3）（2a-3+b）；
（4）如图，已知边长为 a 的正方形中，阴影部分面积为 10，边长为 a-b 的正方形周长为 12，求 a2+b2-ab 的值．
第三节 代数式与整式
解：（2a-b+3）（2a-3+b）=［2a+（3-b）］·［2a-（3-b）］=4a2-（3-b）2=4a2-（9-6b+b2）=4a2-9+6b-b2；
解：∵ 边长为 a-b 的正方形周长为 12，∴4（a-b）=12，∴a-b=3，∵ 阴影部分面积为 10，∴ab =10，∴a2 +b2 -ab =（a-b）2+ab=32+10=19．
例 3 ［2024·河北 15 题］“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图 1 所示的“表格算法”，图 1 表示 132×23，运算结果为 3 036．图 2 表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图 2 中现有数据进行推断，正确的是 （ ）
A．“20”左边的数是 16 B．“20”右边的“ ”表示 5
C． 运算结果小于 6 000 D． 运算结果可以表示为 4 100a+1 025
第三节 代数式与整式
类型二 整式运算
D
第三节 代数式与整式
练习一 ［2024·河北 8 题］若 a，b 是正整数，且满足
，则 a 与 b 的关系正确的是 （ ）
A． a+3=8b B． 3a=8b
C． a+3=b8 D． 3a=8+b
练习二 ［2024·河北 2 题］下列运算正确的是 （ ）
A． a7-a3=a4 B． 3a2·2a2=6a2
C．（-2a）3=-8a3 D． a4÷a4=a
第三节 代数式与整式
A
C
练习三 ［2024·沧州模拟］已知多项式 A=（a+2）2-a（4-b）-9．
（1）在化简多项式 A 时，小明同学的解题过程如图所示．在标出①②③④的几项中出现错误的是 _______；请你写出正确的解答过程；
第三节 代数式与整式
①
解：∵A=（a+2）2-a（4-b）-9=a2
+4a+4-4a+ab-9=a2+ab-5，∴ 出现错误的是①；
（2）淇淇说：“若给出 a 与 b 互为相反数，即可求出多项式 A 的值．”嘉嘉说：“若给出 a 与 b 互为倒数，即可求出多项式 A 的值．”请你判断哪位同学说得对，并按此同学赋予的条件求 A 的值．
第三节 代数式与整式
解：淇淇说得对，∵ 当 a 与 b 互为相反数时，多项式 A=a2+ab-5=a（a+b）-5=a×0-5=0-5=-5； 当 a 与 b 互为倒数时，多项式 A=a2+ab-5=a2+1-5=a2-4，无法求出多项式 A 的值，∴ 淇淇说得对．
练习四 ［2023·河北 21 题］现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图 1 所示（a＞1）．某同学分别用 6 张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如图 2 和图 3，其面积分别为 S1，S2．
第三节 代数式与整式
（1）请用含 a 的式子分别表示 S1，S2，当 a=2 时，求 S1+S2 的值；
（2）比较 S1 与 S2 的大小，并说明理由．
第三节 代数式与整式
解：S1=a2+3a+2，S2=5a+1，当 a=2 时，S1+S2=23；
解：S1＞S2，理由：∵S1-S2=（a-1）2，又 a＞1，
∴S1-S2＞0，∴S1＞S2.
第三节 代数式与整式
■题型二 因式分解（必考）
·题型解法·
公式法分解因式：
1. 能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.
2. 能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的 2 倍．
例 4 ［2024·邯郸三模］对 4x2-16 因式分解，嘉嘉的解答为 4（x+2）（x-2）；琪琪的解答为（2x+2）（2x-2），下列判断正确的是（ ）
A． 只有嘉嘉的结果对
B． 只有琪琪的结果对
C． 两人的结果都对
D． 两人的结果都不对
第三节 代数式与整式
A
衍生一 问答反置———已知结果求原式
将多项式“4m2-？”因式分解，结果为（2m+5n）（2m-5n），则“？”是（ ）
A． 25n2 B． -25n2
C． 25n D． 5n2
第三节 代数式与整式
A
衍生二 变考法———逆向思维
若 x2+mx+4=（x-2）2，则下列结论正确的是 （ ）
A． 等式从左到右的变形是乘法公式，m=4
B． 等式从左到右的变形是因式分解，m=4
C． 等式从左到右的变形是乘法公式，m=-4
D． 等式从左到右的变形是因式分解，m=-4
第三节 代数式与整式
D
·题型解法·
代数推理常通过整式的运算、化简或变形（包括因式分解），探索其中蕴含的数学规律，常借助从特殊到一般的推理方式.
第三节 代数式与整式
■题型四 代数推理（常考）
例 5 ［2022·河北 22 题］发现 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
验证 如（2+1）2+（2-1）2=10 为偶数.请把 10 的一半表示为两个正整数的平方和；
探究 设“发现”中的两个已知正整数为 m，n，请论证“发现”中的结论正确．
第三节 代数式与整式
解：验证 10 的一半为 5，22+12=5；探究 证明 ：（m +n）2 +（m -n）2 =m2+2mn+n2+m2-2mn+n2=2m2+2n2=2（m2+n2），故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
练习一［2024·秦皇岛一模］已知多项式 P=（x+2）2+x（1-x）-9．
（1）当 x=0 时，求 P 的值；
（2）若 x 为整数，试说明多项式 P 能被 5 整除．
第三节 代数式与整式
解：（1）当 x=0 时，P=22-9=4-9=-5；
解：P=（x+2）2+x（1-x）-9=x2+4x+4+x_x0002_
x2-9=5x-5=5（x-1），∵x 为整数，
∴5（x-1）是 5 的倍数，即多项式 P 能被 5 整除．
练习二 已知整式 2a2-3a+2 的值为 P，a2-a-3 的值为 Q．
【发现】（1）①当 a=0 时，P=2，Q=______，P______Q（选填“＞”“=”或“＜”）；
②当 a=3 时，P=______，Q=3，P______Q；
【猜想与验证】（2）无论 a 为何值，P______Q 始终成立，并证明该猜想的结论．
第三节 代数式与整式
-3
＞
11
＞
＞
解：证明：P-Q=2a2-3a+2-（a2-a-3）=2a2-3a+2-a2+a+3=a2-2a+5=（a-1）2+4．
∵（a-1）2≥0，∴（a-1）2+4＞0，∴P＞Q．
练习三 发现：存在三个连续整数使得这三个连续整数的和等于这三个连续整数的积.
验证：连续整数 -1，-2，-3_____（填“满足”或“不满足”）这种关系；连续整数 2，3，4_____（填“满足”或“不满足”）这种关系；
第三节 代数式与整式
满足
不满足
延伸：设中间整数为 n.
（1）列式表示出三个连续整数的和、积，并分别化简；
（2）再写出一组符合“发现”要求的连续整数．
第三节 代数式与整式
解：三个连续整数的和可表示为（n-1）+n+（n+1）=3n，三个连续整数的积可表示为（n-1）×n×（n+1）=n3-n；
解：当 3n=n3-n 时，n3-4n=0，
∴n（n+2）（n-2）=0，解得 n=0，n=-2 或n=2，∴ 符合要求的一组连续整数可以为-1，0，1．（答案不唯一）(共19张PPT)
第二节 二次根式
■考点一 二次根式的有关概念（8 年 1 考）
3. 同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同.如
（化简为 3 ）与 是同类二次根式
1. 定义：一般地，形如 （①______）的式子叫做二次根式.
（1）被开方数中不含分母（分母中不含根号）；
（2）被开方数中不含能③____________ 的因数或因式
两者需
同时满足
2. 最简二次根式
二次根式有意义时，被开方数是②_______ 数.
满分备考
a≥0
非负
开得尽方
第二节 二次根式
■考点二 二次根式的性质（8 年 4 考）
双重非负性
两个重要的性质公式
积的算术平方根
6
a
-a
6
6
第二节 二次根式
续表
商的算术平方根
用公式时注意 a，b 的取值范围，不能出现
的错误.
失分警示
只有当 a 是正数或0的时候， =a 才成立.
满分备考
第二节 二次根式
■考点三 二次根式的运算（8 年 5 考）
1. 加减法：先将各根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式.
2. 乘法：
3. 除法：
二次根式的混合运算与实数混合运算顺序相同，实数运算中的运算律（交换律、结合律、分配律）在二次根式的运算中仍然适用.
满分备考
＞
第二节 二次根式
4. 分母有理化
方法：分子、分母同时乘分母的有理化因式
5. 乘法公式在二次根式运算中的应用
二次根式的最终运算结果必须化为最简二次根式.
失分警示
第二节 二次根式
计算：（1）
（2）
即学即练
9
第二节 二次根式
■考点四 二次根式的估值（常考）
1. 确定 在哪两个正整数之间
2
3
第二节 二次根式
2. 确定
离哪个正整数最近
3. 确定 的整数部分或小数部分
求出 在哪两个相邻整数之间，若为 m＜ ＜n（m＜n），则 m 就是 的整数部分， -m 即为 的小数部分.
3
第二节 二次根式
一题串考点
已知实数 .
（1）化简- 的结果是 （ ）
A． B． 6 C． -6 D．
（2）写出一个可以与 进行合并的二次根式 __________；
（3）计算 的结果为 _______，这个数落在了数轴上的 ________ 段；
C
④
第二节 二次根式
（4）若 ，则 a+b 的值为 __________；
（5）已知 a= +1，①a 的整数部分是 _______；
②代数式 a3-a2-3a+2 023=___________；
（6） 之间的所有整数之和为 _________；
（7）如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为 9 和 m.
①小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？与哪个整数较接近？
②求图中阴影部分的面积．
11
2
2 024
3
第二节 二次根式
解：①∵ 小正方形的面积为 m=6，∴ 小正方形的边长为 ，∵4＜6＜9，∴2＜ ＜3，∴ 小正方形的边长在 2 和 3 之间， =2.5，2.52=6.25，6<6.25，∴ 与整数 2 比较接近；
②∵ 阴影部分的面积的和为一个长为 ，宽为（3- ）的矩形面积，∴ 阴影部分的面积= = -6．
■题型一 二次根式的性质与运算（必考）
·题型解法·
二次根式的运算结果化简成最简二次根式时需要注意：
（1）被开方数是带分数的先化成假分数；
（2）被开方数是小数的先化成分数；
（3）被开方数是多项式且能进行因式分解的先因式分解.
第二节 二次根式
例 1 ［2023·河北 7 题］若 （ ）
A． 2 B． 4 C． D．
第二节 二次根式
A
练习一 ［2022·河北 ４ 题］下列正确的是 （ ）
第二节 二次根式
B
练习二 ［2024·邯郸丛台区模拟］设矩形的面积为 S，相邻的两边长分别为 a，b，若 S= ，a= ，则 b=________.
练习三 计算 的结果等于 ________.
练习四 计算：
第二节 二次根式
14
9
■题型二 无理数的估值（常考）
素养指导
第二节 二次根式
例 2 ［2024·河北 18 题］已知 a，b，n 均为正整数．
（1）若 n＜ ＜n+1，则 n=______；
（2）若 n-1＜ ＜n，n＜ ＜n+1，则满足条件的 a 的个数总比 b 的个数少 _____ 个．
第二节 二次根式
3
2
衍生一 变设问———分析数据
关于 的叙述，错误的是 （ ）
A． 是无理数
B． 面积为 10 的正方形的边长是
C．
D． 在数轴上可以找到表示 的点
第二节 二次根式
C
衍生二 变条件———列式求值
（1）与 最接近的整数是 ________；
（2）如图，点 A 表示的实数为 ，则满足条件的 a 的整数值是 ________.
衍生三 变考法———化简求值
已知 a 是 的整数部分，b 是它的小数部分，求（-a）3+（b+3）2 的值.
第二节 二次根式
7
4
解：∵3＜ ＜4，∴a=3，b= ，∴ 原式 =（-3）3 +（
-3+3）2 =-27+10=-17．(共56张PPT)
第一节 实 数
■考点一 实数的分类（8 年 1 考）
按
定
义
分
有理数
按大小分：正实数、0、负实数
整数
正整数
0
负整数
自然数
分数
正分数
负分数
有限小数或无限①_____小数
无理数
正无理数
负无理数
②______________ 小数
循环
无限不循环
第一节 实 数
1. 常见的四种无理数形式：（1） π 及化简后含 π 的
数，如 3π，③_______ 等；（2）有规律的无限不循环小数，如0.505 005 000 5…（每相邻两个 5 之间依次多一个 0）；
（3）开方开不尽的方根，如④___________ 等；
（4）含有根号的三角函数值，如⑤____________________ 等.
2. 常用正负数表示两种具有⑥_______ 的量，.如规定上升 5 m 为“+5 m”，则下降10 m 为⑦“_______”.
满分备考
π-4
tan30°，sin45°
相反意义
-10 m
第一节 实 数
1. 判断无理数时，不要只看形式，应化简到最终结果再判断，如 不是无理数.所有的分数都是有理数.
2. -a 不一定是负数，如-（-5）=5，遇到-a 要进行分类讨论.
3. 既不是正数也不是负数的数是⑧______.非负数包括⑨__________.最小的正整数是 1，最小的自然数是 0，最大的负整数是-1.
失分警示
0
0 和正数
第一节 实 数
■考点二 实数的相关概念（必考）
数
轴
（2） ________ 与数轴上的点一一对应.
（3）如图，A，B 两点之间的距离为 _______，线段 AB 的
中点 C 对应的实数为 ______
（1）数轴三要素：⑩_______、 _________、 ____________.
原点
正方向
单位长度
实数
｜a-b｜
第一节 实 数
1. 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向.
2. 到数轴上某一点距离相等的点有两个，分别位于该点两侧.
3. 求数轴上两点间的距离，且有动点时，要分情况讨论.
满分备考
第一节 实 数
相
反
数
（1）只有 _______ 不同的两个数互为相反数.非零实数 a 的相反数是-a.特别地，0 的相反数是 0.
（2）实数 a，b 互为相反数圳a+b _______， = _______.
（3）几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个数的点分别位于原点的 _____，且到原点的距离 _____.
符号
0
-1
两侧
相等
第一节 实 数
绝
对
值
（1）代数意义： a =
（2）几何意义：数轴上表示一个数 a 的点到原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 ________，离原点越远的点表示的数的绝对值越大.
互为相反数的两个数的绝对值相等，绝对值相等的两个数相等或互为相反数.绝对值具有非负性，即 ｜a｜ ________.
失分警示
a
0
-a
≥0
｜a｜
第一节 实 数
倒
数
（1）意义：乘积是 ______ 的两个数互为倒数.
（2）ab= ______ a，b 互为倒数.
（3）倒数是其本身的数是 _____， ____ 没有倒数
非零实数 a 的倒数是 _____；分数 的倒数是 ______；求小数的倒数，要先把小数化为分数.
满分备考
b
a
1
1
±1
0
第一节 实 数
一题串考点
观察如图所示的数轴，回答下面的问题：
（1）点 A，B 所表示的有理数分别为 A：______，B：______；
（2）在数轴上，到点 A 的距离为 2 个单位长度的点所表示的数为 ______；
（3）经过折叠，点 A 与表示-3 的点重合，则点 B 与表示数 ______ 的点重合；
（4）若数轴上 M，N 两点之间的距离为 11 个单位长度（点 M 在点 N 的左侧），且 M，N 两点经过（3）中折叠后重合，则 M，N 两点表示的数分别为 __________；
1
-4
-1 或 3
2
-6.5，4.5
第一节 实 数
（5）数轴上表示互为相反数的两个数的点是 ____________________________；
（6）这几个点表示的数的绝对值最大的是点 ________，它表示的数的倒数是 _________；
（7）若数轴上有一动点 P，其对应的数为 x．①若点 P 为 GF 的中点，则点 P 对应的数是 ______；
②若点 G、点 F 分别以每秒 2 个单位长度和每秒 0.5 个单位长度的速度同时向右运动，同时点 P以每秒 6 个单位长度的速度从表示数 1 的点向左运动．当点 G 与点 F 之间的距离为 3 个单位长度时，直接写出点 P 对应的数为 _________.
点 A 和点 G、点 C 和点 D
B
1
-3 或-27
第一节 实 数
■考点三 科学记数法（常考）
确定 a 的值：a是整数位数只有一位的数.
1. 定义：把一个数表示成 a×10n 的形式（1≤ ＜10，n 为整数）.
如：985 000= ___________，0.000 211= ____________.
2.表
示方法
确定
n的
值
负数同样可用科学记数法表示，只是前面多一个负号，如 -378 000=-3.78×105
失分警示
数绝对值≥10，
n 为正整数，
n=原数的整数位数-1.如 56 000 000 是八位数，则 n=8-1.
n=原数变为 a 时，小数点向左移动的位数.
9.85×105
2.11×10-4
第一节 实 数
3.常见计数单位：1 万= _______，1 亿= ________
常见计量单位：1 mm=10-3 m，1 μm=10-6 m，1 nm=10-9 m 等.
2.表
示方法
确定
n的
值
0＜原数绝对值＜1，
n 为负整数，
｜n｜ =原数左起第一个非零数字前面所有零
的个数（含小数点前面的零）.
｜n｜ =原数变为 a 时，小数点移动的位数.
104
108
第一节 实 数
n>0，a 的小数点向右移动 n 位，如 6.5×105 还原为原数为 ________.
n<0，a 的小数点向左移动｜n｜位，不够的数位用 0 补齐.
如 6.5×10-5 还原为原数为 _____________.
4.把用科学记数法表示的数 a×
10n 还原
分数表示成科学记数法形式：（1）先化成小数再表示；（2）先
分离出分子整除分母的部分，将分母剩余部分表示成科学记数法的
形式，再结合 =a-p，表示成科学记数法的形式.如： 3×10-3.
满分备考
650 000
0.000 065
第一节 实 数
■考点四 近 似 数
接近实际的数或在计算中按要求所取的与某个准确数接近的数，常采用四舍五入法得到一个数的近似数.一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位.如 0.125 3，精确到 _______，是 0.13，精确到 0.001，是 ______.
0.01
0.125
第一节 实 数
■考点五 平方根、算术平方根、立方根（常考）
平方根 算术平方根 立方根
定义 实数 a（a≥0）的平方根为± 实数 a（a≥0）的算术平方根为 ，0 的算术平方根为0 实数 a 的立方根为
被开方数 大于或等于 0 任意实数
任意实数 正数的平方根有两个，且互为相反数；负数没有平方根；0 的平方根是 0 只有一个（非负数） 只有一个，符号与被开方数相同
第一节 实 数
续表
平方根 算术平方根 立方根
特殊情况 平方根等于本身的数是 _____ 算术平方根等于其本身的数是 ______ 立方根等于其本身的数是 _____
举例 16 的平方根为 ______ 16 的算术平方根为 ______________ 64 的立方根为 _____
0
±4
0 和 1
4
-1，0 和 1
4
第一节 实 数
■考点六 实数的大小比较（常考）
数轴上的两个数，右边的数总比左边的数 ______；（最关键的是在数轴上正确表示数）
距离数轴原点越远的数，绝对值越大.
1. 数轴比较法
2. 性质比较法：正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而 _______；如：∵ ｜-5｜ ＞ ｜-3｜ ，∴-5＜-3.
3. 作差比较法：①a-b＞0 a＞b；②a-b=0 a=b；③a-b＜0 a＜b.
4. 平方比较法：a2＞b a＞ （a＞0，b＞0）（常应用在无理数估值及含有无理数的大小比较中）.
大
小
第一节 实 数
5. 作商法：若 a＞0，b＞0，则① ＞1 a＞b；② =1 a=b；③ ＜1 a＜b.（a＜0，b＜0 时①③结果相反）
6. 倒数法：若 ab＞0（a，b 同号），则 a＞b.
7. 特殊值法：当含有字母时，给字母取特殊值更加方便快捷.
第一节 实 数
■考点七 实数的运算（必考）
1. 运算法则
加法
同号两数相加 取相同的符号，再把 _______ 相加.
异号两数相加 取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值 _______ 较小的绝对值.
互为相反数的两个数相加和为 0；一个数同 0 相加，仍得这个数.
______，表示 n 个 a 相加.
绝对值
减去
an
第一节 实 数
乘法
减法：减去一个数等于加上这个数的相反数.
两数相乘，同号得 ______，异号得 _____，并把绝对值相乘.
任何数与 0 相乘都得 ______.
除法：除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的 ______.如 a÷b=a× （b≠0）。
减法转化为加法时，减数一定要变符号.
满分备考
正
负
0
倒数
第一节 实 数
（b-c）÷a=b÷a-c÷a（a≠0）能运用分配律，a÷（b-c）不能用分配律.
失分警示
2. 运算律
加法
交换律：a+b=b+a
结合律：（a+b）+c=a+（b+c）
乘法
交换律：ab=ba
结合律：（ab）c=a（bc）
乘法对加法的分配律：a（b+c）=ab+ac
第一节 实 数
3. 常见实数运算
法则 乘方 几个相同因数的积的运算.
正数的任何次幂都是正数；0 的任 何正数次幂是 0；负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数.
第一节 实 数
续表
零次幂 任何非零实数的零次幂都为 1，即 a0=1（a≠0）. 计算题中看到零次幂，直接在原符号后写 1.
负整数指数幂 （a≠0，p 为正整数） 该运算要防止出现此类错误：
去绝对值符号 ±a
第一节 实 数
续表
常见的开方
特殊角的三角 函数值 详情见第四章第五节.
第一节 实 数
4. 实数混合运算的一般顺序
第一节 实 数
5. 简便运算
（1）凑整法：利用交换律、结合律和分配律把算式中的所有小数或分数凑成整数.
（２）凑十、凑百法：应用平方差公式或完全平方公式把个位不为 0 的整数凑成整十、整百、整千数等.
第一节 实 数
即学即练
（1） （2）1 007×993；
（3） （4）1012.
=999 951
=3
=10 201
第一节 实 数
■考点八 非 负 数（常考）
1. 常见的非负数： ｜a｜， （a≥0），a2，这里 a 可表示一个数或式子，最小的非负数是 0.
2. 非负数的和
若几个非负数的和为 0，则这几个非负数分别为 0.
如：若 ｜a｜+b2+ =0，则 ｜a｜=b2= =0，进而可得 a=b=c=0.
第一节 实 数
·题型解法·
■题型一 实数的有关概念（常考）
例 1 ［2024·沧州模拟］ m 是一个实数，m 与 互为相反数，则 m 的值为 （ ）
A．-3 B． C． D．3
第一节 实 数
C
m 与 互为倒数，则 m 的值为 （ ）
A． -3 B． C． D． 3
第一节 实 数
A
衍生一 变条件———相反数改为倒数
若 m 的相反数是 ，则 m 的绝对值为 _______.
第一节 实 数
衍生二 变设问———求 ｍ 的绝对值
若 m = ，则 m=_____；若 ，则 m=_____；若 与 互为相反数，则 m-n=_____.
第一节 实 数
B
衍生三 变考法———已知绝对值求 ｍ
■题型二 实数与数轴（常考）
·题型解法·
1. 数轴上两点间的距离可以用“这两点表示的数的差（较大数-较小数）”来表示.
2. 数轴上 A，B 两点的中点 M表示的数为 ．
第一节 实 数
例 2 ［2024·河北 20 题］如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C 所对应的数依次为-4，2，32，乙数轴上的三点 D，E，F 所对应的数依次为 0，x，12．
第一节 实 数
（1）计算 A，B，C 三点所对应的数的和，并求 的值；
第一节 实 数
解：∵ 点 A，B，C 所对应的数依次为-4，2，32，∴A，B，C三点所对应的数的和为-4+2+32=30，∵AB=2-（-4）=6，AC=32-（-4）=36，∴ ；
（2）当点 A 与点 D 上下对齐时，点 B，C 恰好分别与点 E，F 上下对齐，求 x 的值．
第一节 实 数
解：由数轴得，DE=x-0=x，DF=12-0=12，由题意得， ，
拓题一 （3）移动甲数轴上的点 B，使 A，B，C 三点中的其中一点是以另两点为端点的线段的中点，可以怎样移？
第一节 实 数
解：设点 B 表示的数为 m，
①点 A 为中点， =-4，解得m=-40，即点 B 向左平移 2-（-40）=42（个）单位长度；②点 B 为中点，m= =14，即点 B 向右平移 14-2=12（个）单位长度；③点 C 为中点， =32，解得 m=68，即点 B 向右平移 68-2=66（个）单位长度.
拓题二 （4）在乙数轴上，选出两点表示数 a，b，将 a，b 的对应点间的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为 a1，a2，a3，a4，a5，且 ab＜0， ．下列结论：
①a3＜0；②a1a4＞0；③ ；④ ．其中所有正确结论的序号是 ______________.
第一节 实 数
①③④
■题型三 科学记数法（常考）
素养指导
第一节 实 数
例 3 ［2023·河北 10 题］光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于 9.46×1012 km，下列正确的是 （ ）
A． 9.46×1012-10=9.46×1011
B． 9.46×1012-0.46=9×1012
C． 9.46×1012 是一个 12 位数
D． 9.46×1012 是一个 13 位数
第一节 实 数
D
衍生一 变情境———中国天眼
［2024·唐山三模］“中国天眼”是目前世界上最大单口径、最灵敏的射电望远镜．从理论上说，“中国天眼”能接收到 137 亿光年以外的电磁信号，这个距离接近宇宙边缘．把 137 亿光年用科学记数法表示为 a×10n km，则 n 的值为 （ ）
A． 15 B． 16 C． 23 D． 24
第一节 实 数
C
衍生二 问答反置———求大数的科学记数法
刘慈欣科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约 42 000 000 光年，其中数据 42 000 000 用科学记数法表示为 _____________.
第一节 实 数
4.2×107
衍生三 变考法———与运算结合
［2020·河北 13 题］已知光速为 300 000 km/s，光经过 t s（1≤t≤10）传播的距离用科学记数法表示为 a×10n km，则 n 可能为 （ ）
A． 5 B． 6
C． 5 或 6 D． 5 或 6 或 7
第一节 实 数
C
■题型四 平方根、算术平方根、立方根（常考）
·题型解法·
1. 只有正数和 0 有平方根，负数没有.
2. 所有的数都有立方根，且与原数同号.
第一节 实 数
例 4 ［2024·邯郸峰峰矿区三模］面积为 9 的正方形，其边长等于（ ）
A． 9 的平方根
B． 9 的算术平方根
C． 9 的立方根
D． 的算术平方根
第一节 实 数
B
练习一 ［原创］（1） 的立方根为 ________；
（2） 的平方根为 ________.
练习二 81 的算术平方根的平方根是 _________.
第一节 实 数
±2
±3
■题型五 实数的运算（必考）
·题型解法·
实数运算有“三个关键”.
1． 运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，零指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2． 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3． 运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
第一节 实 数
例 5 ［2024·唐山丰南区模拟］在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）：
第一节 实 数
（1）列式，并计算：①-3 经过 A，B，C，D 的顺序运算后，结果是多少？ ②5 经过 B，C，A，D 的顺序运算后，结果是多少？
第一节 实 数
解 ：（1）①［（-3）×2 -（-5）］2+6=（-6+5）2+6=（-1）2+6=1+6=7；
②［5-（-5）］2×2+6=（5+5）2×2+6=102×2+6=100×2+6=200+6=206；
（2）探究：数 a 经过 D，C，A，B 的顺序运算后，结果是 45，a 是多少？
第一节 实 数
解 ：由题意知，（a+6）2×2-（-5）=45，∴（a+6）2×2=40，∴（a+6）2=20，∴a+6=±2，∴a1= -6，a2= -6．
练习一 ［2022·河北 3 题］与 相等的是 （ ）
A. B.
C. D.
第一节 实 数
A
练习二 小明在解一道有理数混合运算时，一个有理数 m 被污染了．计算：3÷ +m×（-1）．
（1）若 m=2，计算：3÷ +2×（-1）；
第一节 实 数
解：原式=3÷ +2×（-1）=3× -2=2-2=0；
（2）若 3÷ +m×（-1）=3，求 m 的值；
第一节 实 数
解：整理已知等式，得 3× -m=3，即 2-m=3，移项、合并同类项，得-m=1，解得 m=-1；
（3）若要使 3÷ +m×（-1）的结果为最小正整数，求 m 的值．
第一节 实 数
解：根据题意，得 3÷ +m×（-1）=1，整理得 2-m=1，解得 m=1．
练习三 ［2024·廊坊安次区二模］如图是一个不完整的数轴，数轴上有 A，B，C，D，E 五个点，原点是这五个点中的一个．已知 DE=2，CD=1.5，BC=1，点 A，E 对应的数的绝对值相等．
（1）原点是点 ______，点 A 对应的数为 ______；
（2）设点 A，B，D，E 对应的数分别为 a，b，d，e，计算（a+e）4-db 的值．
第一节 实 数
C
-3.5
∵DE=2，CD=1.5，BC=1，∴a=-3.5，b=-1，d=1.5，e=3.5，则（a+e）4-db
=（-3.5+3.5）4-1.5-1=
