北京市丰台区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

北京市丰台区2024-2025学年高二上学期期末考试
数 学
2025.01
考 生 须 知 1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、教育ID号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。 2. 本次练习所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。 3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效。 4. 本练习卷满分共150分，作答时长120分钟。
第一部分 选择题（共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1．已知向量，，则
（A） （B） （C） （D）
2．直线的倾斜角为
（A） （B） （C） （D）
3．与直线关于x轴对称的直线方程为
（A） （B）
（C） （D）
4．已知圆与圆外切，则
（A） （B） （C）7 （D）13
5．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为
（A） （B） （C） （D）
6．已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为
（A） （B）
（C） （D）
7．在空间直角坐标系中，，，，D是平面ABC内一点，若，则 的最小值为
（A） （B） （C） （D）3
8．设椭圆与双曲线的离心率分别为，，若双曲线渐近线的斜率均小于，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
9．在图形设计和创作中，常常需要用不同的形状和线条进行组合，以创造出独特的视觉效果. 某校数学兴趣小组设计了一个如图所示的“螺旋线”：点，在直线上，△是边长为1的等边三角形，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，…，依次类推（其中点，，，，…共线，点，，，，…共线，点，，，，…共线）. 由上述圆弧组成的曲线H与直线恰有9个交点时，曲线H长度的最小值为
（A） （B） （C） （D）
10．如图，在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，Q为底面上一动点，则下列说法正确的是
（A）存在点Q，使得BQ平面
（B）在棱上存在点Q，使得平面
（C）在线段上存在点，使得直线与所成的角为
（D）存在点，使得三棱锥的体积为2
第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则_______.
12．直线：被圆：截得的弦AB的长为 .
13．在棱长为2的正四面体ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，则|MN|= .
14．已知点，直线，动圆P过点F，且与直线l相切，则圆心P的轨迹C的方程为_______；若直线及分别与曲线C交于异于原点的M，N两点. 当直线MN过点F时， .
15．已知方程所表示的曲线为C. 给出以下四个结论：
①曲线C与y轴有两个不同交点；
②曲线C关于原点对称；
③x轴及直线为曲线C的两条渐近线；
④若曲线C与圆有公共点，则r的最小值为.
其中，所有正确结论的序号是________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（本小题14分）
已知数列是等差数列，，且.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求的前n项和的最小值，以及取得最小值时n的值.
17．（本小题14分）
已知圆C经过点，且圆心C是直线与轴的交点.
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且四边形CAMB为菱形，求直线l的方程.
18．（本小题13分）
已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点（其中点A在第一象限），点A到抛物线C的准线的距离为.
（Ⅰ）求直线l的斜率；
（Ⅱ）若，求的值.
19．（本小题15分）
如图，四棱锥中，底面ABCD，，平面，.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，
求平面与平面夹角的余弦值．
条件①：点B到平面PAC的距离为1；
条件②：直线PC与平面PAB所成角的大小为30°.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
20．（本小题15分）
已知椭圆过点，长轴长为4.
（Ⅰ）求椭圆E的方程及离心率；
（Ⅱ）若直线l：与椭圆E交于A，B两点，过点B作斜率为0的直线与椭圆的另一个交点为D. 求证：直线AD过定点.
21．（本小题共14分）
已知无穷数列各项均为正数，且.
（Ⅰ）请判断如下两个结论是否正确：
①；②；
（Ⅱ）当时，证明：；
（Ⅲ）记数列的前项和为，若，证明：.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B C A A C A C D
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11． 12． 13．
14．； 15． ①②③
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.（本小题14分）
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，
因为，，
所以,
所以，解得，
所以. …………………………6分
（Ⅱ）因为是等差数列，所以，
由（Ⅰ）可知，，
所以当时，有最小值. …………………………14分
17.（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为圆心C是直线与轴的交点，
所以圆心C的坐标为，
又因为圆C经过，所以圆C的半径为，
所以圆C的方程为. …………………………6分
（Ⅱ）因为四边形CAMB为菱形，
所以AB垂直平分CM，
因为，所以
又因为CM的中点坐标为
所以直线AB的方程为. …………………………14分
18.（本小题13分）
（Ⅰ）设点A的坐标，
因为点A到抛物线准线的距离是，
所以，所以，代入抛物线方程得：
所以点，又因为点，
所以直线l的斜率. …………………………6分
（Ⅱ）因为抛物线C的焦点F，所以直线l的方程为：
由得：,
可知恒成立，
设点B的坐标，则，
，所以. …………………………13分
19.（本小题15分）
解：（Ⅰ）因为底面ABCD，平面ABCD，
所以，，
因为，，平面PAB，
所以平面，
因为PB 平面，所以，
因为平面，平面ABCD，平面ABCD∩平面PBC=BC，
所以，
所以. …………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，PA，AB，AD两两垂直，以A为原点， AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示坐标系.
若选条件①：
方法1：过点B作BMAC，交AC于点M，
因为PA底面ABCD，BM 平面ABC，
所以PA BM，
因为AC∩PA=A，
所以BM平面PAC，
又点B到平面PAC的距离为1，所以BM=1，
在Rt△ABC中，AC=2，所以.
因此，，，
又，，
所以，.
设是平面PBC的法向量，则，，即
取，则，，所以是平面PBC的一个法向量.
因为BM平面PAC，所以是平面PAC的一个法向量.
设平面ACP与平面BCP的夹角为，则
，
所以平面ACP与平面BCP夹角的余弦值为.
方法2：，，设，则
可求得平面PAC的法向量为，则
，得.以下同方法1
若选条件②：
方法1：由（Ⅰ）知BC平面PAB，
因为直线PC与平面PAB所成角的大小为30°，
所以即为PC与平面PAB所成的角，即=30°.
在Rt△PAC中，AC=PA=2，所以，
在Rt△PBC中，，=30°，所以，
方法2：由条件①方法2得到，
是平面的PAB的一个法向量，
所以，得.以下同条件①. …………………………15分
20.（本小题15分）
解：（Ⅰ）因为椭圆E过点（0,1），所以，
又因为长轴长为4，所以，所以，
所以.
椭圆E的方程为：，离心率. …………………………6分
（Ⅱ）由得：，
由得：或
设点A的坐标，点B的坐标，则点D的坐标,
由已知得直线AD有斜率，直线AD的方程为：，
令得：
，
所以直线AD过定点. …………………………15分
21.（本小题14分）
解：（Ⅰ）①，②均正确； …………………………4分
（Ⅱ）因为，均有
所以当时，有，
所以
，
所以，
当时，有，
所以
，
所以，
所以，即，
所以，
整理得. …………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当时，有，
所以，均有，
即，
所以
所以
，
即，
又因为，所以. …………………………14分
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