2024-2025学年人教版八年级上册数学寒假提升训练：全等三角形证明题（含解析）

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2024-2025学年人教版八年级上册数学寒假提升训练：全等三角形证明题
1．如图，点在同一直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
2．如图，在中，D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
3．如图，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
4．已知：如图，在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．

(1)求证：；
(2)试猜想、有何特殊位置关系，并证明．
5．如图，于点，于点，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
6．如图，已知点、分别在、上，、相交子点，且，．
(1)求证：；
(2)点在的平分线上吗？为什么？
7．如图，点在同一条直线上，点分别在直线的两侧，且，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
8．如图，在中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，且，求的面积．
9．如图，已知平分，于点，，交的延长线于点，且
(1)求证：;
(2)若是的中点，，求的长．
10．如图，点是的外角的角平分线上任意一点（点不与点重合），点是射线上一点，且．
(1)求证：；
(2)判断与的大小，并说明理由．
11．如图，点是线段中点，是过点的一条线段，连接、，过点作交于．
(1)若，求的长；
(2)若，，求证：．
12．如图，在中，，平分交于点，过点作于点，点在上，使．

(1)求证：．
(2)请判断之间的数量关系，并说明理由．
13．如图，，，三点共线，于点，于点，，且．
(1)求证：
(2)若，则______．
14．已知：如图，在中，于点D，于点E，交于点F，且．
(1)求证：；
(2)已知，，求的长．
15．如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且．求证：
(1)；
(2)．
16．如图，在，，平分，于点E，点F在上，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
17．如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
18．如图，在 与 中， 连接，，与相交于点F，连接，与相交于点 G
(1)求证： ；
(2)求 的度数
19．如图，在中，，平分交于D，于E，点F在射线上，且．
(1)当点F在线段上时．求证：；
(2)若，求的度数．
20．如图，已知等腰三角形和等腰三角形，，，，连接，交于点，连接．求证：
(1)；
(2)平分．
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《2024-2025学年人教版八年级上册数学寒假提升训练：全等三角形证明题》参考答案
1．(1)见解析
(2)的度数为．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．
（1）由得，由得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明；
（2）先由，，根据三角形内角和定理求得，根据全等三角形的性质可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为．
2．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了线段中点的有关计算，两直线平行内错角相等，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由线段中点的定义可得，由两直线平行内错角相等可得，，然后利用即可得出结论；
（2）由（1）可得，于是可得，由已知条件可得，然后利用可证得，于是结论得证．
【详解】（1）证明：∵D为边的中点，
∴，
∵，
，，
；
（2）证明：由（1）可得：，
，
又，
，
又，
，
．
3．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）根据，即可证明；
（2）先求出，根据全等三角形的性质可得，然后根据即可求解．
【详解】（1）证明：，
在和中
；
（2）解：，
，
，
，
．
4．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形判定及性质．
（1）根据题意利用证明全等即可；
（2）根据（1）中判定全等即可得到，因，继而得到本题答案．
【详解】（1）证明：，
，即，
在和中，
，
；
（2）解：，理由如下：
，
如图，设与交于点G，
，
，
，，
，
．
5．(1)见详解
(2)
【分析】（1）先根据证明，则可得，再根据证明即可．
（2）根据全等三角形对应边相等可得，,进而可得的长．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
在和中，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，,
又∵，
∴，
∴．
6．(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识点，
(1)根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
(2)连接，由(1)知，，求得，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可得到点在的平分线上；
熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：在与中，
，
，
，
，
，
在与中
，
；
（2）解：点在的平分线上，理由：连接，
由(1)知，，
，
在与中，
，
，
点在的平分线上．
7．(1)见解析
(2)的长为3．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．
（1）先证明，再根据证明即可；
（2）根据，依据全等三角形的性质即可得到，再由计算可得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∵，，
∴，
故的长为3．
8．(1)证明见解析
(2)的面积为9．
【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高．熟练掌握：角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
（1）过点E作于G，于H，先通过计算得出，根据角平分线的判定与性质得，则，由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证；
（2）设，则，根据，即：，求得，，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：如图，过点E作于G，于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的平分线，
又，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴点E在的平分线上，
∴平分；
（2）解：设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴的面积为9．
9．(1)见解析
(2)9
【分析】（1）根据角平分线的性质可得、，利用直角三角形全等的判定定理即可证明结论；
（2）由可得：，再根据中点的定义可得；然后证明，最后根据全等三角形的性质以及线段的和差即可解答．
【详解】（1）证明：平分，，，
，．
在和中，
,
．
（2）解：∵，
．
是的中点，
．
在和中，
,
，
，
．
10．(1)见解析
(2)．理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系．
（1）利用即可证明；
（2）根据三角形三边的关系即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：．理由如下，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴．
11．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质；
（1）根据，可得，证明可得；
（2）可证明，根据，， ，，可证明，可得，进而可得．
【详解】（1）解：，
，
又是的中点
在和中，
，
，
（2）证明：
，
又
，
在和中，
，
，
，
．
12．(1)见解析
(2)，见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由角平分线的性质得，根据可证明；
（2）由，可得，再证明，可得，由线段的数量关系即可得证．
【详解】（1）证明：，平分，
，，
又，
；
（2）解：，理由如下：
，
，
平分，
，
，，
，
，
，
．
13．(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是由证出．
（1）由证出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，，再根据等量代换即可求出．
【详解】（1）证明：，，，
，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，，
，
故答案为：6．
14．(1)见详解
(2)4
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，推导出，并且适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键．
（1）由于点于点，交于点，得，则，而，即可根据“”证明；
（2）由全等三角形的性质得，则，所以，求得，则．
【详解】（1）证明：∵于点于点，交于点，
，
，
在和中，
，
∴．
（2）解：由（1）得，
，
，
，
，
，
，
∴的长为4．
15．(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】此题考查直角三角形全等的判定，关键是根据证明和全等．
（1）根据证明和全等即可；
（2）由（1）可知，进而利用全等三角形的性质得出，进而利用证明全等即可．
【详解】（1）证明：在和中，
，
；
（2）证明：由（1）得，
∴，
∵与分别为，边上的中线，
∴，
在和中，
．
16．(1)详见解析
(2)
【分析】（1）证明即可；
（2）证明，结合，列式计算即可．
本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，熟练掌握直角三角形的全等判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，平分，，
∴
∵，，，
∴，
∴．
（2）解：∵，平分，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵．
∴，
∵，，
∴．
17．(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）证明，可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质求出答案．
【详解】（1）证明：，
，
即：，
在和中，
，
∴，
；
（2）解：由（1）得，
，
，，
．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是：
（1）由，推导出，而，，即可根据“”证明；
（2）根据全等三角形的性质得出，根据三角形外角的性质可得出，进而得出，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
（2）解：∵，
∴，
又，
∴，
即．
19．(1)见解析；
(2)或．
【分析】本题考查角平分线的性质，与角平分线有关的三角形的内角和问题，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明．
（1）角平分的性质，得到，证明，即可得证；
（2）分点在线段和线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）证明：∵平分交于D，于E，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）如下图，当F在线段上时，
设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
即；
如下图，当F在的延长线上时，
设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
即．
综上所示或．
20．(1)证明见详解；
(2)证明见详解；
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的判定：
（1）证明即可得到答案；
（2）过C作，，证明，得到，结合角平分线的判定直接证明即可得到答案；
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：过C作，，
∵，
∴
∵，，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴平分．
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