2024-2025学年人教版九年级上册数学寒假提升训练：旋转证明题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年人教版九年级上册数学寒假提升训练：旋转证明题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 4.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-18 11:15:24 | ||
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文档简介
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2024-2025学年人教版九年级上册数学寒假提升训练：旋转证明题
1．如图，D是内部的一点，连接，，把绕点B逆时针旋转得到线段，把绕点C顺时针旋转得到线段，连接，，，，．
(1)若，求的长；
(2)求证：四边形是平行四边形．
2．如图，是正方形内一点，连接、、，将绕点B顺时针旋转到的位置．
(1)旋转中心是点______，点P旋转的度数是______度；
(2)连接，是______三角形；
(3)若，，．求的度数．
3．如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，射线交于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的最大值．
4．如图，在等边中，D为上一点，连接，E为线段上一点（），将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．
(1)求证：；
(2)点G为延长线上一点，连接交于点M．若M为的中点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明.
5．如图，将等边绕点顺时针旋转90°得到，的平分线交于点，连接，．
(1)求度数；
(2)求证：；
(3)判断和的位置关系，并说明理由．
6．如图，中，，将绕点逆时针旋转一定的角度，得到和分别是和的对应点，延长交于点．
(1)求证：；
(2)连接，若．求证：．
7．如图，在，度，，是过点的一条直线，且在的异侧，于点．
(1)成立吗？成立请证明，不成立请说明理由．
(2)若直线绕点旋转到如图2位置时，其他条件不变，与，关系如何？直接写出结论即可．
8．如图1，在中，，，点为内一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．
(1)若，则 ；
(2)求证：；
(3)好学的小安习惯超前学习，他已知道等腰三角形的性质：“在中，若，则”．请运用这个性质解决下面问题：如图2，在旋转过程中，若，，连接，求的度数．
9．如图1，在中，，点分别在边上，，连接，过点作，垂足为与交于点．
(1)求证：；
(2)将图1中的绕点逆时针旋转，其他条件不变，如图2，（1）的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
(3)若，将绕点逆时针旋转一周，当三点共线时，直接写出的长．
10．如图1，绕点逆时针旋转得到，，直线与，分别相交于点，，平分．
(1)若，求的度数；
(2)求证：；
(3)如图2，若，求的值．
11．如图1，在中，，、是斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转后，得到，连接．
(1)试说明：；
(2)当，时，求的度数和的长；
(3)如图2，和都是等腰直角三角形，，是斜边所在直线上一点，，，求的长．
12．已知和是两个全等的等腰直角三角形，．
(1)如图1，和分别与边交于点，过点作，且使，连接，求证：
①；
②；
(2)如图2，与边交于点，与的延长线交于点，请探究和之间的数量关系，并说明理由．
13．如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
14．如图，在四边形中， ， 交于点E．将 绕点 C顺时针旋转 得到．
(1)画出旋转之后的图形．
(2)求证：
(3)若的面积为，的面积为，求值．
15．如图，是正方形的边上一点，过点作交的延长线于点，连接．
(1)可以由顺时针旋转得到，旋转角是_______度；
(2)判断的形状，并证明；
(3)若，，求的长．
16．如图①，在等腰中，，点在斜边上，，将绕点逆时针旋转至，连接．
(1)①求证：；
②请写出线段之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，在等腰中，，，求的长．
17．如图，点O是等边内一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接，，，．
(1)求证：．
(2)若，，，求的度数．
18．在中，，为中点，为平面内一点．
(1)如图1，点在边上，连接，，若，，，求的值；
(2)如图2，连接，将绕点A逆时针旋转到，使得，连接，恰好过点，若，证明：；
(3)如图3，点在边上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，若，，请直接写出的最小值．
19．如图，矩形绕点旋转，使点落到上的处，，连接，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
20．将两个等腰直角与如图放置，，，．
(1)如图1，若点、、三点共线时，交线段于点，点是线段上的点，满足，，求的度数；
(2)当绕着点顺时针旋转至如图2时，分别连接，，若点是线段的中点，连接，求证：；
(3)当绕着点顺时针旋转至如图3时，分别连接，，若点是线段的中点，，，，四边形面积为460时，直接写出点到的距离．
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《2024-2025学年人教版九年级上册数学寒假提升训练：旋转证明题》参考答案
1．(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（1）由旋转得，，，可得是等边三角形，进而得到，证明，即可求解；
（2）根据已知条件可得，结合等边三角形的性质及全等三角形的判定证明，可得，进而可得，即可得四边形是平行四边形．
【详解】（1）解：由旋转得，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
（2）证明：由旋转得，，，
∴是等边三角形，
∴，，
由（1）知，，
∴．
∵为等边三角形，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴．
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键．
2．(1)B；90
(2)等腰直角
(3)
【分析】（1）由旋转的定义结合正方形的性质解答即可；
（2）由旋转的性质和等腰直角三角形的定义解答即可；
（3）由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求出，．结合题意可得出，即说明是直角三角形，且，最后根据求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知旋转中心是点B．
∵四边形为正方形，
∴．
∵将绕点B顺时针旋转到的位置，
∴点P旋转的度数是90度；
（2）解：∵旋转后的对应边是，
∴．
∵旋转角度为，
∴，即的形状是等腰直角三角形；
（3）解： 是绕点B顺时针旋转得到的，且，，
，．
是等腰直角三角形，
，且．
，，
，
是直角三角形，且，
，
．
【点睛】本题考查旋转的定义和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
3．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)16
【分析】（1）由旋转性质得到，，从而确定，进而结合邻补角定义，等量代换确定，再结合四边形内角和确定，即可得证；
（2）延长至使，连接，如图所示，由旋转性质得到，，进而由三角形全等判定得到，结合全等性质判定是等腰直角三角形，由等腰直角三角形性质及勾股定理即可得证；
（3）过点作于点，取的中点，连接，如图所示，由等腰直角三角形性质得到，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半确定，在中，由，可得的最大值为，再由可知，当时，有最大值为．
【详解】（1）证明：绕点顺时针旋转得到，
，，
．
，
．
在四边形中，，
，
；
（2）证明：延长至使，连接，如图所示：
绕点顺时针旋转得到，
，，
由（1）得，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
（3）解：过点作于点，取的中点，连接，如图所示：
是等腰直角三角形，，
，
是的中线，
．
在中，，即，则的最大值为．
由可知，当时，的最大值为．
【点睛】本题考查几何综合，综合性强，难度很大，涉及旋转性质、全等三角形的性质、邻补角定义、四边形内角和为、等腰直角三角形性质、勾股定理、直角三角形性质、三角面积等知识，灵活运用几何性质，根据问题准确作出辅助线求证是解决问题的关键．
4．(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握这些知识点并构造适当的辅助线证明三角形全等是解题的关键．
（1）证明即可；
（2）过点A作，交的延长线于点H，则可证明，从而有，则有；再证明，得，由线段的和差关系即可得证．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴；
∵线段绕点C顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：；
证明如下：如图，过点A作，交的延长线于点H；
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵M为的中点，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
5．(1)
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练运用旋转的性质是本题关键．
（1）由等边三角形的性质可得，，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求解；
（2）由“”可证；
（3）由全等三角形的性质可得，即可证．
【详解】（1）解：是等边三角形，
，，
等边绕点顺时针旋转得到，
，，，
，
，，
，
；
（2）证明：和是等边三角形，
，，
平分，
，
在和中，
，
（3）解：，理由如下：
，
，
，
．
6．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质是解答本题的关键．
（1）连接，由“”可证，可得；
（2）由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
将绕点逆时针旋转一定的角度，得到，
，，
在和中，
，
，
；
（2）证明：将绕点逆时针旋转一定的角度，得到，
，，
，
，
，
，
，
．
7．(1)成立，理由见解析过程
(2)，理由见解析过程
【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
（1）由“”可证，可得，，可得结论；
（2）由“”可证，可得，，可得结论．
【详解】（1）解：成立，理由如下：
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
又，
，
即；
（2）解：，理由如下：
，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，．
，
，
即．
8．(1)6；
(2)见解析；
(3)
【分析】（1）首先根据旋转的性质，判断出，，进而判断出，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出；
（2）延长交的延长线于点，同(1)方法证明，得，进而可以解决问题；
（3）如图2，在上取点，使，连接，证明，得， ，设，，得，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】（1）解：由旋转的性质可知：，，，，，
在和中，
，
，
，
故答案为：6；
（2）证明：如图1，延长交的延长线于点，
绕点逆时针旋转得到，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图2，在上取点，使，连接，
，，
，
，，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【点睛】本题是几何变换综合题，考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角定义，三角形内角和定理解决本题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形．
9．(1)证明见解析
(2)成立，理由见解析
(3)的长为或
【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质证出，得出，则可得出结论；
（2）作交直线于点，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出；
（3）分两种情况①当点在的延长线上时；②当点在上时；画出图形，由全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质及勾股定理求解即可得出答案．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：成立．
理由如下：
作交直线于点，如图所示：
∴，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①当点在的延长线上时，过点作于点，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）知，
又，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点在上时，过点作于点，如图所示：
同理可得，，，
∴，
∴，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查几何变换综合题，涉及三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形旋转变化的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、平行线的判定与性质等知识，根据问题正确作出辅助线是解题的关键．
10．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由，，求得，而，由旋转得，则，所以，则；
（2）由旋转得，，，，则，所以，即可根据证明；
（3）由旋转得，，，则，，，所以，而，所以，则，因为，所以，所以，则．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
由旋转得，
∴，
∴，
∴，
∴的度数是；
（2）证明：由旋转得，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
（3）解：由旋转得，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由（2）得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值是．
【点睛】此题重点考查旋转的性质、直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识．
11．(1)见解析；
(2)，5；
(3)．
【分析】（1）想办法证明，由，，即可证明；
（2）如图1中，设，则．在△中，由，，推出，解方程即可；
（3）分两种情形①当点在线段上时，如图2中，连接．由，推出，，推出，推出；
②当点在的延长线上时，如图3中，同法可得；
【详解】（1）证明：由旋转可得，
，，
，，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：设，则．
，，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
；
（3）解：①当点在线段上时，如图2中，连接．
，
，
，，
在和中，
，
，，
，
，
解得：（负值已舍去）；
②当点在的延长线上时，如图3中，连接．
同法可得是直角三角形，，，
，
解得：（负值已舍去），
综上所述，的值为或．
【点睛】本题属于几何变换综合题．主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
12．(1)①见解析；②见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）①由是等腰直角三角形和，可以得到，，，得到，由可以证明；
②由①知，则，，证明．再证明，则，在中，，根据勾股定理，得，等量代换后即可得到结论；
（2）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，由旋转性质可得，，证明，即可得到，，可得，由勾股定理可得，等量代换后即可得到结论．
【详解】（1）证明：①∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴．
②由①知，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，由勾股定理得，
∴．
（2）解：，证明如下：
如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，
则，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，添加辅助线构造全等是解题的关键．
13．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．
（1）由，可得，由旋转可得，证明，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）由，可得，根据得到，推出，进而得到，最后根据三角形的外角性质即可求解．
【详解】（1）证明：，
，即，
将线段绕点旋转到的位置，
，
在与中，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
．
14．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了作图-旋转变换、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
（1）根据题意，画出旋转图即可；
（2）由旋转旋转可得，再根据全等三角形的性质和，即可得；
（3）根据，可得的长，再根据勾股定理求出和的长，根据和同高，即可得的值．
【详解】（1）如图，即为旋转之后的图形．
（2）证明：由旋转可知：，
，
三点共线，
（3）过点 E作于点M，过点 C作于点N，
∴ ，
在和中，
在中，
，
设，则，
在 中，
即 解得，
．
15．(1)；
(2)是等腰直角三角形，理由见解析；
(3)．
【分析】（）由正方形的性质可知，，又，可证明，从而可得，然后根据旋转性质即可求解；
（）由正方形的性质可知，，又，可证明，从而可得，然后根据全等三角形的性质和等腰三角形的判定即可求解；
（）由等腰三角形的性质和勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴可以由绕点顺时针旋转得到，
故答案为：；
（2）解：是等腰直角三角形，理由，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：由（）得，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴由勾股定理得．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
16．(1)①证明见解析；②，理由见解析
(2)
【分析】（1）①先判断出，，再判断出，即可得出结论；
②先求出，进而判断出，进而用勾股定理，即可得出结论；
（2）将绕点逆时针旋转至，连接，同（1）的方法判断出，再判断出，过点作于，在中，求出，，在中，，即可得出结论．
【详解】（1）①证明：将绕点逆时针旋转至，
，
，，
由旋转性质可知，
，
，
在和中，
，
；
②结论：；
理由如下：
在中，，，
，
由旋转性质可知，，
，
由勾股定理得，
由①知，
，
；
（2）解：将绕点逆时针旋转至，连接，如图所示：
，
，，，
由旋转性质可知，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，，
，
由旋转性质可知，
，
过点作于，如图所示：
在中，，，，
，则由勾股定理可得，
在中，，由勾股定理得，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，由旋转性质构造出直角三角形是解本题的关键．
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的性质可得，再根据证明即可；
（2）证明是等边三角形，再由全等三角形的性质可得，，再由勾股定理的逆定理可得，再求解可得结论．
【详解】（1）证明：绕点B顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形．
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明．
18．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）过点A作于H，过点F作于G，求出，，，可得，进而问题可求解；
（2）在线段上截取，连接，则有，证明，根据全等三角形的性质得，再证明，可得，证明，得出，即可得出结论；
（3）延长，使得，连接并延长交于点M，由题意易得，则有，然后可得点P在垂直于的直线上，进而根据含30度直角三角形的性质及点到直线垂线段最短可进行求解．
【详解】（1）解：过点A作于H，过点F作于G，
∵，
∴，，
∵，，
，
∴，
∵点F为中点，
，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：在线段上截取，连接，
∵，
∴，
∵将绕点A逆时针旋转到，，
，，
，，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
为中点，
，
，，
∴，
∴，
∴，
∵，
；
（3）解：延长，使得，连接并延长交于点M，交如图所示：
∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴点P在垂直于的直线上，
∴当时，线段取得最小值，如图，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
19．(1)详见解析
(2)
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出，由旋转的性质得出，，利用证明；
（2）求出，由旋转的性质得出，，由等腰三角形的性质求出，由此可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵矩形绕B点旋转，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵矩形绕B点旋转，
∴，
∴，
∴．
【点晴】本题考查等腰三角形的性质，旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
20．(1)的度数是
(2)见详解
(3)
【分析】（1）由，得，由，得，则，所以．
（2）延长到点，使，连接，可证明，得，所以，可证明，进而证明，得，因为，所以．
（3）延长到点，使，连接，则，而，所以，可证明，则，作交的延长线于点，可求得，，进而建立方程，求得，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，∵，
，
∵点、、三点共线，
，
，
，
，
，
∴的度数是．
（2）证明：如图2，延长到点，使，连接，
∵点是线段的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
（3）解：点到的距离是，
理由：如图3，延长到点，使，连接，
则，
∵点是线段的中点，
，
，
，
，
由（2）得，
，
作交的延长线于点P，
，
，
，
，
解得：，
∴点到的距离是．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．
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2024-2025学年人教版九年级上册数学寒假提升训练：旋转证明题
1．如图，D是内部的一点，连接，，把绕点B逆时针旋转得到线段，把绕点C顺时针旋转得到线段，连接，，，，．
(1)若，求的长；
(2)求证：四边形是平行四边形．
2．如图，是正方形内一点，连接、、，将绕点B顺时针旋转到的位置．
(1)旋转中心是点______，点P旋转的度数是______度；
(2)连接，是______三角形；
(3)若，，．求的度数．
3．如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，射线交于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的最大值．
4．如图，在等边中，D为上一点，连接，E为线段上一点（），将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．
(1)求证：；
(2)点G为延长线上一点，连接交于点M．若M为的中点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明.
5．如图，将等边绕点顺时针旋转90°得到，的平分线交于点，连接，．
(1)求度数；
(2)求证：；
(3)判断和的位置关系，并说明理由．
6．如图，中，，将绕点逆时针旋转一定的角度，得到和分别是和的对应点，延长交于点．
(1)求证：；
(2)连接，若．求证：．
7．如图，在，度，，是过点的一条直线，且在的异侧，于点．
(1)成立吗？成立请证明，不成立请说明理由．
(2)若直线绕点旋转到如图2位置时，其他条件不变，与，关系如何？直接写出结论即可．
8．如图1，在中，，，点为内一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．
(1)若，则 ；
(2)求证：；
(3)好学的小安习惯超前学习，他已知道等腰三角形的性质：“在中，若，则”．请运用这个性质解决下面问题：如图2，在旋转过程中，若，，连接，求的度数．
9．如图1，在中，，点分别在边上，，连接，过点作，垂足为与交于点．
(1)求证：；
(2)将图1中的绕点逆时针旋转，其他条件不变，如图2，（1）的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
(3)若，将绕点逆时针旋转一周，当三点共线时，直接写出的长．
10．如图1，绕点逆时针旋转得到，，直线与，分别相交于点，，平分．
(1)若，求的度数；
(2)求证：；
(3)如图2，若，求的值．
11．如图1，在中，，、是斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转后，得到，连接．
(1)试说明：；
(2)当，时，求的度数和的长；
(3)如图2，和都是等腰直角三角形，，是斜边所在直线上一点，，，求的长．
12．已知和是两个全等的等腰直角三角形，．
(1)如图1，和分别与边交于点，过点作，且使，连接，求证：
①；
②；
(2)如图2，与边交于点，与的延长线交于点，请探究和之间的数量关系，并说明理由．
13．如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
14．如图，在四边形中， ， 交于点E．将 绕点 C顺时针旋转 得到．
(1)画出旋转之后的图形．
(2)求证：
(3)若的面积为，的面积为，求值．
15．如图，是正方形的边上一点，过点作交的延长线于点，连接．
(1)可以由顺时针旋转得到，旋转角是_______度；
(2)判断的形状，并证明；
(3)若，，求的长．
16．如图①，在等腰中，，点在斜边上，，将绕点逆时针旋转至，连接．
(1)①求证：；
②请写出线段之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，在等腰中，，，求的长．
17．如图，点O是等边内一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接，，，．
(1)求证：．
(2)若，，，求的度数．
18．在中，，为中点，为平面内一点．
(1)如图1，点在边上，连接，，若，，，求的值；
(2)如图2，连接，将绕点A逆时针旋转到，使得，连接，恰好过点，若，证明：；
(3)如图3，点在边上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，若，，请直接写出的最小值．
19．如图，矩形绕点旋转，使点落到上的处，，连接，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
20．将两个等腰直角与如图放置，，，．
(1)如图1，若点、、三点共线时，交线段于点，点是线段上的点，满足，，求的度数；
(2)当绕着点顺时针旋转至如图2时，分别连接，，若点是线段的中点，连接，求证：；
(3)当绕着点顺时针旋转至如图3时，分别连接，，若点是线段的中点，，，，四边形面积为460时，直接写出点到的距离．
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《2024-2025学年人教版九年级上册数学寒假提升训练：旋转证明题》参考答案
1．(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（1）由旋转得，，，可得是等边三角形，进而得到，证明，即可求解；
（2）根据已知条件可得，结合等边三角形的性质及全等三角形的判定证明，可得，进而可得，即可得四边形是平行四边形．
【详解】（1）解：由旋转得，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
（2）证明：由旋转得，，，
∴是等边三角形，
∴，，
由（1）知，，
∴．
∵为等边三角形，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴．
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键．
2．(1)B；90
(2)等腰直角
(3)
【分析】（1）由旋转的定义结合正方形的性质解答即可；
（2）由旋转的性质和等腰直角三角形的定义解答即可；
（3）由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求出，．结合题意可得出，即说明是直角三角形，且，最后根据求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知旋转中心是点B．
∵四边形为正方形，
∴．
∵将绕点B顺时针旋转到的位置，
∴点P旋转的度数是90度；
（2）解：∵旋转后的对应边是，
∴．
∵旋转角度为，
∴，即的形状是等腰直角三角形；
（3）解： 是绕点B顺时针旋转得到的，且，，
，．
是等腰直角三角形，
，且．
，，
，
是直角三角形，且，
，
．
【点睛】本题考查旋转的定义和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
3．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)16
【分析】（1）由旋转性质得到，，从而确定，进而结合邻补角定义，等量代换确定，再结合四边形内角和确定，即可得证；
（2）延长至使，连接，如图所示，由旋转性质得到，，进而由三角形全等判定得到，结合全等性质判定是等腰直角三角形，由等腰直角三角形性质及勾股定理即可得证；
（3）过点作于点，取的中点，连接，如图所示，由等腰直角三角形性质得到，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半确定，在中，由，可得的最大值为，再由可知，当时，有最大值为．
【详解】（1）证明：绕点顺时针旋转得到，
，，
．
，
．
在四边形中，，
，
；
（2）证明：延长至使，连接，如图所示：
绕点顺时针旋转得到，
，，
由（1）得，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
（3）解：过点作于点，取的中点，连接，如图所示：
是等腰直角三角形，，
，
是的中线，
．
在中，，即，则的最大值为．
由可知，当时，的最大值为．
【点睛】本题考查几何综合，综合性强，难度很大，涉及旋转性质、全等三角形的性质、邻补角定义、四边形内角和为、等腰直角三角形性质、勾股定理、直角三角形性质、三角面积等知识，灵活运用几何性质，根据问题准确作出辅助线求证是解决问题的关键．
4．(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握这些知识点并构造适当的辅助线证明三角形全等是解题的关键．
（1）证明即可；
（2）过点A作，交的延长线于点H，则可证明，从而有，则有；再证明，得，由线段的和差关系即可得证．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴；
∵线段绕点C顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：；
证明如下：如图，过点A作，交的延长线于点H；
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵M为的中点，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
5．(1)
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练运用旋转的性质是本题关键．
（1）由等边三角形的性质可得，，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求解；
（2）由“”可证；
（3）由全等三角形的性质可得，即可证．
【详解】（1）解：是等边三角形，
，，
等边绕点顺时针旋转得到，
，，，
，
，，
，
；
（2）证明：和是等边三角形，
，，
平分，
，
在和中，
，
（3）解：，理由如下：
，
，
，
．
6．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质是解答本题的关键．
（1）连接，由“”可证，可得；
（2）由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
将绕点逆时针旋转一定的角度，得到，
，，
在和中，
，
，
；
（2）证明：将绕点逆时针旋转一定的角度，得到，
，，
，
，
，
，
，
．
7．(1)成立，理由见解析过程
(2)，理由见解析过程
【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
（1）由“”可证，可得，，可得结论；
（2）由“”可证，可得，，可得结论．
【详解】（1）解：成立，理由如下：
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
又，
，
即；
（2）解：，理由如下：
，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，．
，
，
即．
8．(1)6；
(2)见解析；
(3)
【分析】（1）首先根据旋转的性质，判断出，，进而判断出，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出；
（2）延长交的延长线于点，同(1)方法证明，得，进而可以解决问题；
（3）如图2，在上取点，使，连接，证明，得， ，设，，得，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】（1）解：由旋转的性质可知：，，，，，
在和中，
，
，
，
故答案为：6；
（2）证明：如图1，延长交的延长线于点，
绕点逆时针旋转得到，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图2，在上取点，使，连接，
，，
，
，，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【点睛】本题是几何变换综合题，考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角定义，三角形内角和定理解决本题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形．
9．(1)证明见解析
(2)成立，理由见解析
(3)的长为或
【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质证出，得出，则可得出结论；
（2）作交直线于点，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出；
（3）分两种情况①当点在的延长线上时；②当点在上时；画出图形，由全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质及勾股定理求解即可得出答案．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：成立．
理由如下：
作交直线于点，如图所示：
∴，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①当点在的延长线上时，过点作于点，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）知，
又，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点在上时，过点作于点，如图所示：
同理可得，，，
∴，
∴，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查几何变换综合题，涉及三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形旋转变化的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、平行线的判定与性质等知识，根据问题正确作出辅助线是解题的关键．
10．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由，，求得，而，由旋转得，则，所以，则；
（2）由旋转得，，，，则，所以，即可根据证明；
（3）由旋转得，，，则，，，所以，而，所以，则，因为，所以，所以，则．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
由旋转得，
∴，
∴，
∴，
∴的度数是；
（2）证明：由旋转得，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
（3）解：由旋转得，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由（2）得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值是．
【点睛】此题重点考查旋转的性质、直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识．
11．(1)见解析；
(2)，5；
(3)．
【分析】（1）想办法证明，由，，即可证明；
（2）如图1中，设，则．在△中，由，，推出，解方程即可；
（3）分两种情形①当点在线段上时，如图2中，连接．由，推出，，推出，推出；
②当点在的延长线上时，如图3中，同法可得；
【详解】（1）证明：由旋转可得，
，，
，，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：设，则．
，，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
；
（3）解：①当点在线段上时，如图2中，连接．
，
，
，，
在和中，
，
，，
，
，
解得：（负值已舍去）；
②当点在的延长线上时，如图3中，连接．
同法可得是直角三角形，，，
，
解得：（负值已舍去），
综上所述，的值为或．
【点睛】本题属于几何变换综合题．主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
12．(1)①见解析；②见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）①由是等腰直角三角形和，可以得到，，，得到，由可以证明；
②由①知，则，，证明．再证明，则，在中，，根据勾股定理，得，等量代换后即可得到结论；
（2）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，由旋转性质可得，，证明，即可得到，，可得，由勾股定理可得，等量代换后即可得到结论．
【详解】（1）证明：①∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴．
②由①知，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，由勾股定理得，
∴．
（2）解：，证明如下：
如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，
则，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，添加辅助线构造全等是解题的关键．
13．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．
（1）由，可得，由旋转可得，证明，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）由，可得，根据得到，推出，进而得到，最后根据三角形的外角性质即可求解．
【详解】（1）证明：，
，即，
将线段绕点旋转到的位置，
，
在与中，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
．
14．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了作图-旋转变换、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
（1）根据题意，画出旋转图即可；
（2）由旋转旋转可得，再根据全等三角形的性质和，即可得；
（3）根据，可得的长，再根据勾股定理求出和的长，根据和同高，即可得的值．
【详解】（1）如图，即为旋转之后的图形．
（2）证明：由旋转可知：，
，
三点共线，
（3）过点 E作于点M，过点 C作于点N，
∴ ，
在和中，
在中，
，
设，则，
在 中，
即 解得，
．
15．(1)；
(2)是等腰直角三角形，理由见解析；
(3)．
【分析】（）由正方形的性质可知，，又，可证明，从而可得，然后根据旋转性质即可求解；
（）由正方形的性质可知，，又，可证明，从而可得，然后根据全等三角形的性质和等腰三角形的判定即可求解；
（）由等腰三角形的性质和勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴可以由绕点顺时针旋转得到，
故答案为：；
（2）解：是等腰直角三角形，理由，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：由（）得，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴由勾股定理得．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
16．(1)①证明见解析；②，理由见解析
(2)
【分析】（1）①先判断出，，再判断出，即可得出结论；
②先求出，进而判断出，进而用勾股定理，即可得出结论；
（2）将绕点逆时针旋转至，连接，同（1）的方法判断出，再判断出，过点作于，在中，求出，，在中，，即可得出结论．
【详解】（1）①证明：将绕点逆时针旋转至，
，
，，
由旋转性质可知，
，
，
在和中，
，
；
②结论：；
理由如下：
在中，，，
，
由旋转性质可知，，
，
由勾股定理得，
由①知，
，
；
（2）解：将绕点逆时针旋转至，连接，如图所示：
，
，，，
由旋转性质可知，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，，
，
由旋转性质可知，
，
过点作于，如图所示：
在中，，，，
，则由勾股定理可得，
在中，，由勾股定理得，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，由旋转性质构造出直角三角形是解本题的关键．
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的性质可得，再根据证明即可；
（2）证明是等边三角形，再由全等三角形的性质可得，，再由勾股定理的逆定理可得，再求解可得结论．
【详解】（1）证明：绕点B顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形．
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明．
18．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）过点A作于H，过点F作于G，求出，，，可得，进而问题可求解；
（2）在线段上截取，连接，则有，证明，根据全等三角形的性质得，再证明，可得，证明，得出，即可得出结论；
（3）延长，使得，连接并延长交于点M，由题意易得，则有，然后可得点P在垂直于的直线上，进而根据含30度直角三角形的性质及点到直线垂线段最短可进行求解．
【详解】（1）解：过点A作于H，过点F作于G，
∵，
∴，，
∵，，
，
∴，
∵点F为中点，
，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：在线段上截取，连接，
∵，
∴，
∵将绕点A逆时针旋转到，，
，，
，，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
为中点，
，
，，
∴，
∴，
∴，
∵，
；
（3）解：延长，使得，连接并延长交于点M，交如图所示：
∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴点P在垂直于的直线上，
∴当时，线段取得最小值，如图，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
19．(1)详见解析
(2)
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出，由旋转的性质得出，，利用证明；
（2）求出，由旋转的性质得出，，由等腰三角形的性质求出，由此可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵矩形绕B点旋转，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵矩形绕B点旋转，
∴，
∴，
∴．
【点晴】本题考查等腰三角形的性质，旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
20．(1)的度数是
(2)见详解
(3)
【分析】（1）由，得，由，得，则，所以．
（2）延长到点，使，连接，可证明，得，所以，可证明，进而证明，得，因为，所以．
（3）延长到点，使，连接，则，而，所以，可证明，则，作交的延长线于点，可求得，，进而建立方程，求得，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，∵，
，
∵点、、三点共线，
，
，
，
，
，
∴的度数是．
（2）证明：如图2，延长到点，使，连接，
∵点是线段的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
（3）解：点到的距离是，
理由：如图3，延长到点，使，连接，
则，
∵点是线段的中点，
，
，
，
，
由（2）得，
，
作交的延长线于点P，
，
，
，
，
解得：，
∴点到的距离是．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．
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