2024-2025学年人教版九年级下册数学寒假提升训练：反比例函数解答题（含解析）

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2024-2025学年人教版九年级下册数学寒假提升训练：反比例函数解答题
1．如图，一次函数与反比例函数交于、两点，与x轴交于点C．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)点P是x轴上一动点，连接，，当面积为6时，请求出点P的坐标；
2．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点B的坐标为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点P为反比例函数图象第一象限上任意一点，若，求点P的坐标；
(3)直接写出不等式的解集．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）与反比例函数（）在第二象限交于点，且与y轴交于点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)请直接写出不等式的解集；
(3)在x轴上有一动点P，且的面积为，求点P的坐标．
4．一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，其中．
(1)求a的值以及点B的坐标；
(2)结合图象，直接写出时，x的取值范围；
(3)若点P在x轴上，且是直角三角形，求点P的坐标．
5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出时，x的取值范围；
(3)分别连结和，求的面积．
6．如图，直线与双曲线相交于点和点，直线与轴、轴分别交于点，点．
(1)求，，的值；
(2)的面积为 ；
(3)直接写出不等式的解集： ．
7．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．

(1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
8．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点．
(1)求反比例函数的解析式和点的坐标；
(2)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标．
9．反比例函数的图象与一次函数图象交于，两点．
(1)求k与b的值；
(2)如图，直线交x轴于点C，交y轴于点D，若E为的中点，求的面积；
(3)请直接写出反比例函数值大于一次函数值时自变量x的取值范围．
10．如图，直线 的图象与反比例函数 的图象交于，两点．

(1)求一次函数的解析式；
(2)请写出不等式的解集： ；
(3)将直线 向右平移 3 个单位长度得直线，顺次连接两直线与坐标轴的交点得到四边形，请判断它的形状，并说明理由．
11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D．
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集；
(3)在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标．
12．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于，两点，连接，．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)求的面积．
13．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出时，的取值范围；
(3)求的面积．
14．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点．
(1)求一次函数的表达式与反比例函数的表达式；
(2)当时，直接写出自变量的取值范围为 ；
(3)点是轴上一点，当时，求出点的坐标．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴交于点，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)直接写出不等式的解集．
(3)若点是第四象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的2倍，求点的坐标．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于，两点，且点的坐标为，点的坐标为．
(1)______，并求反比例函数的解析式．
(2)求的面积．
(3)已知点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交函数的图象于点．
①当时，求线段的长；
②若，结合函数的图象，直接写出的取值范围．
17．如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点、点，一次函数与轴交于点．
(1)求，的值；
(2)求的面积；
(3)若，是反比例函数图象上的两点，且，指出点，分别位于哪个象限，并比较，的大小．
18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与x轴相交于点C．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)若点P为x轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标．
19．正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点是反比例函数图象上的一动点，

(1)求正比例函数和反比例函数的解析式；
(2)如图，当，过点M作直线轴，交y轴于点B，过点A作直线轴交x轴于点C、交直线于点D．用只含m的代数式表示四边形的面积；
(3)当四边形的面积为8时，求m的值．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交点于点与轴交于点，轴交于点．
(1)求的值；
(2)连接，求的面积；
(3)在反比例函数图象上存在一点，若点为坐标轴上的一动点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标．
21．如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)直接写出不等式的解集；
(4)在坐标轴上是否存在一点，使是直角三角形？直接写出点的坐标．
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《2024-2025学年人教版九年级下册数学寒假提升训练：反比例函数解答题》参考答案
1．(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握函数图象法是解题关键．
（1）先将点代入反比例函数的解析式可求出的值，从而可得点的坐标和的值，再利用待定系数法即可得一次函数的解析式；
（2）根据不等式表示的是反比例函数的图象位于一次函数的图象的上方，结合函数图象即可得；
（3）设点的坐标为，先求出点的坐标，从而可得，再根据建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：将点，代入反比例函数得：，
解得，
∴，，，
∴反比例函数的解析式为；
将点，代入一次函数得：，
解得，
则一次函数的解析式为．
（2）解：不等式，即表示的是反比例函数的图象位于一次函数的图象的上方，
则由函数图象得：或，
所以不等式的解集为或．
（3）解：由题意，画出图形如下：
设点的坐标为，
对于一次函数，
当时，，解得，即，
∴，
∵，，
∴的边上的高为3，的边上的高为1，
∵面积为6，
∴，
解或，
所以点的坐标为或．
2．(1)
(2)点P的坐标为
(3)或
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用：
（1）先求出点的坐标，待定系数法求出反比例函数的解析式；
（2）联立解析式求出点坐标，利用面积公式进行求解即可；
（3）图象法确定不等式的解集即可．
【详解】（1）解：因为点B在直线AB上，所以，
解得．
故点B坐标为．
将点B坐标代入反比例函数解析式得，，
所以反比例函数的解析式为．
（2）将反比例函数解析式和一次函数解析式联立方程组得：，
解得或．
故点A坐标为．
又，即，
所以，
故点P纵坐标为4或．
点P在第一象限，将代入得，．
所以点P的坐标为．
（3）根据函数图象可知，当或时，
一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即．
即不等式的解集为：或．
3．(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法；
（1）将、的坐标代入一次函数解析式，即可求解；
（2）设一次函数（）与反比例函数（）在第四象限交于点C，求出点的坐标，根据图象即可求解；
（3）由可求出，即可求解；
掌握待定系数法，能熟练利用数形结合思想进行求解是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：如图，设一次函数（）与反比例函数（）在第四象限交于点C．
∵反比例函数过点，
，
∴反比例函数的解析式为．
联立方程组，
解得，或，
，
∴不等式的解集为或；
（3）解：如图，设一次函数与x轴交于点D，
∴当时，，
解得，
∴，
，
∴，
∴，
，
解得：或，
∴点P的坐标为或．
4．(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查一次函数和反比例函数综合应用，待定系数法求反比例函数解析式，已知自变量值求函数值，直角三角形性质等．
（1）将代入即可求出，再将代入，即可得到反比例函数表达式为，再将两个函数联立方程组即可得到本题答案；
（2）观察图象可得本题答案；
（3）根据题意可知分两种情况讨论，①当时和②当时，利用直角三角形性质分别求解即可．
【详解】（1）解：将代入，
得，，
，
，
将代入，得，，
，
反比例函数表达式为；
联立，解得，，或，
；
（2）解：观察图象可得：当时，；
（3）解：①当时，轴，
；
②当时，
如图，过点作轴于点，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述：或．
5．(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为
(2)当时，x的取值范围是或
(3)
【分析】（1）将点代入得，进而可得反比例函数的表达式，点，将代入即可得出一次函数的表达式；
（2）根据一次函数与反比例函数交于点，结合函数的图象即可得出当时，x的取值范围；
（3）设一次函数与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点A作轴于E，过点B作轴于F，则点，点，由此可得，，然后根据可得出答案．
【详解】（1）将点代入，
得：，
解得：，
∴反比例函数的表达式为： ，点，
将代入，
得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
（2）一次函数与反比例函数交于点，
根据一次函数和反比例函数的图象得：当时，x的取值范围是：或；
（3）设一次函数与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点A作轴于E，过点B作轴于F，如图所示：
对于，当时，，当时，，
∴D的坐标为，点C的坐标为，
，
，
点，
，
，，
．
【点睛】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形的面积，熟练掌握待定系数法求函数的表达式，以及求一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积是解决问题的关键．
6．(1)的值为1，的值为8，的值为
(2)6
(3)或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求出双曲线解析式，从而得出，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可得解；
（2）先求出点的坐标，从而得出，再由计算即可得解；
（3）根据函数图象即可得解．
【详解】（1）解：∵双曲线经过点，
∴，
∴，
∴双曲线，
将代入得，
∴，
∴，
将，代入得：，
解得：，
∴；
（2）解：在中，当时，，即，
∴，
∴；
（3）解：由图象可得：不等式的解集为或．
7．(1)，
(2)在x轴上存在一点，使周长的值最小,最小值是．
【分析】（1）过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，则，由得到点A的坐标是，由A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上得到，解得，得到点A的坐标是，点B的坐标是，进一步用待定系数法即可得到答案；
（2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，利用轴对称的性质得到，，则，由知是定值，此时的周长为最小，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点P的坐标，再求出周长最小值即可．
【详解】（1）解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，
则，

∵点，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A的坐标是，
∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．
∴，
解得，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
∴，
∴反比例函数的解析式是，
设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得，
，解得,
∴直线所对应的一次函数的表达式为，
（2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，

∴点A与点关于x轴对称，
∴，，
∵，
∴的最小值是的长度，
∵，即是定值，
∴此时的周长为最小，
设直线的解析式是，
则，
解得，
∴直线的解析式是，
当时，，解得，
即点P的坐标是，
此时，
综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
8．(1)
(2)点的坐标为，或
【分析】（1）利用待定系数可得答案；
（2）将正方形问题转化为等腰直角三角形，再分为斜边和直角边两种情形，分别画图，利用全等三角形来解决问题．
【详解】（1）解：将代入，得，
反比例函数的表达式为，
将代入，
得解得，
一次函数的表达式为，
联立方程组消得，
即，
解得：，，
由可知点的横坐标为，代入得点的纵坐标为3，
点的坐标为
（2）分两种情况讨论：
①当时，如图，过作于，

∵轴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，而，
同理可得：直线的解析式为，
∵，点在直线上，
∴点的横坐标为2，
当时，，
∴；
②当时，如图，过作交于点H，交轴于，交反比例函数图象于，过作轴于，

则四边形是矩形，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
同理可得：，
∴，
由①知直线的解析式为，与轴交于点，与轴的交点为，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
设，，
∴，
∴（舍去）或，
∴，
∴，
当时，若点E在左侧时，记与轴的交点为，

同理可得：，，
设，则，
∵直线为，
∴，，
∴，
解得，
∴，
当点E在右侧时，同理可得，

设，则，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，而在直线上，
∴，
解得，且满足分式方程，
∵，
∴，
∴，
综上，点的坐标为，或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数图象交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论．
9．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式、两函数的交点问题和函数的图象等知识点，能求出两函数的解析式是解题的关键，用了数形结合思想．
（1）把点的坐标代入函数解析式，即可求出答案；
（2）根据一次函数的解析式，分别求出三点，再由中点坐标公式，求出点坐标，由求值即可；
（3）根据图象，得出反比例函数图象位于一次函数图象上方部分的横坐标的取值范围即可求解．
【详解】（1）解：将代入反比例函数中，
得，
将代入一次函数得，
，
解得；
（2）解：由（1）可得，，和，
联立得，
整理得，
解得，，
∴，
当时，一次函数，
当时，得，
解得，
∴，
∴，即，
∴
；
（3）解：由（2）可知，反比例函数的图象与一次函数图象交于和两点，
当反比例函数值大于一次函数值时，即反比例函数图象位于一次函数图象上方，
此时或．
10．(1)
(2)或
(3)四边形是菱形，见解析
【分析】（1）将点代入反比例函数解析式可求m的值，再用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据函数图象的交点坐标可求得不等式的解集；
（3）先求解平移后的解析式为，再分别求解两个一次函数与坐标轴的交点坐标，再结合菱形的判定可得结论．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
将点，代入中，
得，
解得 ，
一次函数的解析式为；
（2）解：点，，
由图象可得不等式的解集为或；
（3）解：四边形为菱形．理由如下：
如图，连接，，

由向右平移 3 个单位长度得直线，
∴的函数解析式为：，
当，则，当，则，
∴，，
同理可得：，，
∴，，
∵，
∴四边形为菱形．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用函数图象解不等式，菱形的判定，掌握一次函数与反比例函数的基础知识是解本题的关键．
11．(1)，
(2)或
(3)点坐标为．
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题；
（2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题；
（3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题．
【详解】（1）解：将代入得，，
∴，
反比例函数的解析式为，
将代入得，，
点的坐标为．
将点代入得，
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：根据所给函数图象可知，
当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即，
不等式的解集为：或；
（3）解：将代入得，，
点的坐标为，
，
．
将代入得，，
点的坐标为，
，
解得．
∵点在第三象限，
∴，
将代入得，，
点坐标为．
12．(1)，
(2)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象交点问题．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据一次函数得出点，，根据求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：点在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为，
点在反比例函数图象上，
，
点和点都在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数解析式为．
（2）由一次函数解析式
当时，，当时，
∴，，
13．(1)一次函数的解析式是，反比例函数的解析式是
(2)
(3)8
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值，进而可得反比例函数解析式，然后把代入即可求得m的值，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）数形结合求解即可；
（3）求出点C的坐标，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得，，
∴反比例函数解析式为，
将代入得，，即，
将，代入得，，
解得，，
∴一次函数解析式为；
（2）解：由题意知，的解集为一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的的取值范围，
∴由图象得：的解集为；
（3）解：当时，，即，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数解析式，一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，数形结合求不等式的解集等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合，数形结合求不等式的解集是解题的关键．
14．(1)，
(2)或
(3)或
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题、利用待定系数法求函数解析式；熟练的利用数形结合的方法解题是关键；
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据图象求解即可；
（3）先求得，再根据，求得，根据中心对称的性质得出，进而求得，即可求解．
【详解】（1）解：将代入得，
解得，
反比例函数的解析式为，
把代入得，，
，
将，代入得，
解得，
一次函数为；
（2）解：由图象可知，当时，自变量的取值范围为：或，
故答案为或；
（3）解：由题意可知，
，
把代入得，，
解得，
，
，
，
，
，
，即，
，
或．
15．(1)；；
(2)或；
(3)
【分析】本题是一次函数和反比例函数的交点问题，能直接利用函数图象求出不等式的解集是解题的关键．
（1）根据点的坐标代入，求得，进而可得，待定系数法求解析式即可求解；
（2）用函数的观点将不等式问题转化为函数力图象问题；
（3）根据一次函数解析式分别令，得出，，根据，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：将代入，
得，
，
，
将代入，
，
将，代入，
得，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：根据函数图象可知：不等式的解集为或；
（3）解：时，，
，
，时，
，，
，
，
的面积是的面积的2倍，
，
，
点是第四象限内反比例函数图象上的一点，
，
，
，
．
16．(1)2，；
(2)4；
(3)①；②或．
【分析】（1）把代入即可求出，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）先求出点的坐标，根据即可求解；
（3）时，即把代入和即可求解；当时，即在x正半轴，直线在函数的上方；在x负半轴，直线在函数的下方，结合图形即可求解．
【详解】（1）由题意得：把代入，解得：；
把代入得：
∴反比例函数的解析式为；
（2）由（1）得：反比例函数的解析式为
当时，
∴
由（1）得：，
∴
（3）①当时，即把代入得：，把代入得：
∴；
②当时，即在x正半轴，直线在函数的上方；在x负半轴，直线在函数的下方，
∵，
∴当时，或；
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．
17．(1)
(2)
(3)点在第三象限，点在第一象限，
【分析】本题考查反比例函数和一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，解题的关键是灵活运用反比例函数和一次函数的图象与性质解决问题．
（1）先求出点，，再利用待定系数法即可求解；
（2）先求得，再利用铅锤法求面积即可；
（3）结合图象即可判断．
【详解】（1）解：把点代入，得：，
∴，
再把点代入，得：，
∴，
∴点，，
∵点，在的图象上，
∴，解得．
（2）解：由（1）可知：，，
∴一次函数解析式为：，
当时，，
∴点，
∴，
∴．
（3）解：由图像可知，点在第三象限，点在第一象限，．
18．(1)反比例函数表达式为：
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了反比例函数几何综合题，求反比例函数解析式，根据一次函数与反比例函数的图象交点求不等式解集．
（1）利用一次函数求出，问题随之得解；
（2）反比例函数值大于等于一次函数值时自变量的取值范围即是不等式的解集，数形结合作答即可；
（3）设，先求出，表示出，根据的面积为，表示出，解方程即可求解．
【详解】（1）解：函数的图象经过，
，解得：，
，
，
反比例函数表达式为：；
（2）解：函数的图象经过，
，
，
由图可得，不等式的解集是：或；
（3）解：如下图，
设，
在中， 当时，得，
解得：，
，
，
∴，
整理得：，
解得：或．
∴或．
19．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）将点A的坐标分别代入两个函数解析式，即可求解；
（2）由四边形的面积，即可求解；
（3）四边形的面积，即可求解．
【详解】（1）解：将点A的坐标分别代入两个函数解析式得：，，
解得：，，
则正比例和反比例函数的解析式分别为：，；
（2）解：根据题意得，点，
∵点在反比例函数的图象上；
∴
，
∵点A，M在反比例函数的图象上，
，
四边形的面积；
（3）解：当四边形的面积为8时，
，
解得：，
经检验，是该方程的解．
【点睛】此题属于反比例函数的综合题，涉及的知识有：反比例函数与一次函数的交点，坐标与图形，利用待定系数法求一次函数解析式，以及点与坐标的关系，利用了数形结合及方程的思想，是中考中常考的题型．
20．(1)，；
(2)的面积为；
(3)点或或．
【分析】（）由直线图象过点，与轴交于点，可求出，，则有点，然后代入即可求解；
（）由（）得一次函数解析式为，则点，然后用三角形面积公式即可求解；
（）分当点在轴上时和当点在轴上时，两种情况讨论，由平行四边形的对角线互相平分列出等式可求解；
【详解】（1）解：∵直线图象过点，与轴交于点，
∴，，
∴，，
∴点，
∵反比例函数的图象过点，
∴；
（2）解：如图，
由（）得，
∴一次函数解析式为，
当时，，
∴点，
∴，
∴的面积为；
（3）解：当点在轴上时，设点，点，
∵以为顶点的四边形为平行四边形，
∴和是对角线，且互相平分，
∴，
∴，
∴点，
∴，
∴，
∴点，
当点在轴上时，设点，点，
若为对角线，
则，，
∴，，
∴点，
若为对角线，
则，，
∴，，
∴点，
此时点在的延长线上，不合题意舍去，
当为对角线时，同理可求点，点，
综上所述：点或或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法，平行四边形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键.
21．(1)
(2)
(3)或
(4)存在，或或或
【分析】（1）先把代入求得m的值即可；
（2）把代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求得一次函数解析式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用即可求解；
（3）图象法求出不等式的解集即可；
（4）分四种情况求解：①当点P在x轴上，当时，②当点P在x轴上，当时，③当点P在y轴上时，设点，时，④当点P在y轴上时，当时．
【详解】（1）解：∵点A的坐标为，且在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵点B的坐标为也在上，
∴，
∵都在一次函数的图像上,
∴，解得，
∴一次函数的解析式为；
∵如图：设直线与y轴交于点C，
∴，
∴，
∴
；
（3）解：由图象可知：的解集为：或；
（4）解：当点P在x轴上，
设点，
①如图2：若时，
∵A的坐标为，
∴点P的坐标为
如图3，当时，
∴，，
∵是直角三角形，
∴，即，
解得，
∴点P的坐标为；
当点P在y轴上时，
设点，
如图4：若时，
∵A的坐标为，
∴点P的坐标为；
如图5：当时，，
∴，
∵是直角三角形，
∴，即，
解得，
∴点P的坐标为；
综上可得点P的坐标为或或或．
【点睛】此题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键．
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