第五章 圆 6 直线与圆的位置关系 第3课时 切线的判定（含答案）

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第五章 圆
6 直线与圆的位置关系
第3课时 切线的判定
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1.如图,⊙O 是的外接圆，P是BC 延长线上一点，连接OA,OC,PA,且 点D是AC中点,OD的延长线交AP 于点Q, 则下列结论： ②OQ垂直平分AC ③直线PA和CQ都是⊙O的切线 ∥其中正确的结论是 ( )
A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②③④
第1题图 第2题图
2.在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点 B,C,半径为1 的⊙P 的圆心 P 从点A(4,m)出发以每秒 个单位长度的速度沿射线AC 的方向运动，设点 P 运动的时间为t 秒，则当t=_______秒时，⊙P 与坐标轴相切.
3.如图,已知 AB 是⊙O 的直径,点 C,D在⊙O上,且 BC=CD.点 E 是线段AB 延长线上一点，连接 EC 并延长交射线AD 于点 F.∠FEG 的平分线 EH 交射线AC 于点 H,
(1)求证:EF 是⊙O的切线;
(2)若 BE=2,CE=4,求 AF 的长.
4.如图，在 中， BD平分交AC 于点 D,O是AB 上一点,且⊙O经过B,D 两点,分别交 AB,BC 于点E,F.
(1)使用直尺和圆规，根据题目要求补全图形；(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)求证:⊙O与AC 相切于点 D.
5.如图,已知AB为⊙O 的弦，C 为⊙O上一点，且于B.
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3, 求AD的长.
6.如图所示,AB 是⊙O的直径,点 F,C 是⊙O 上两点，且 连接AC,AF,过点 C作 交 AF 延长线于点 D，垂足为 D.
(1)求证:CD 是⊙O的切线;
(2)若 求⊙O的半径.
7.如图, 是等腰直角三角形，点O为AB 的中点，连接CO交⊙O于点 E,⊙O 与AC 相切于点D.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)延长CO交⊙O于点G,连接AG交⊙O于点F，若 求 FG 的长.
8.如图,AB 是⊙O的直径, 点 E 在 AD 的延长线上,且
(1)求证:BE 是⊙O的切线;
(2)当⊙O的半径为2, 时，求 的值.
9.如图,AB 是⊙O的直径,AC是一条弦，点D是的中点，于点E,交AC于点 F,连接 DB交 AC于点 G.
(1)求证:AF=DF;
(2)延长GD 至点 M,使 DM=DG,连接AM.
①求证:AM是⊙O的切线;
②若DG=6,DF=5,求⊙O的半径.
10.如图，在直角坐标系中，以点 C(2，0)为圆心，以3为半径的圆分别交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，过点 B 的直线交x轴负半轴于点
(1)求 A,B两点的坐标;
(2)求证:直线 BD 是⊙C的切线.
11.如图,AB 是⊙O的直径,点E,C 在⊙O上,点 C 是 的中点，AE 垂直于过C 点的直线 DC,垂足为 D,AB 的延长线交直线DC 于点 F.
(1)求证:DC 是⊙O的切线;
(2)若
①求⊙O的半径；
②求线段 DE 的长.
12.如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 E,⊙O经过A,D两点，交对角线 AC 于点 F，连接OF，交AD于点G,且
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)已知⊙O 的半径与菱形的边长之比为5:8,求 的值.
13.已知AB为⊙O的直径,AB=6,C 为⊙O上一点，连接CA.
(1)如图1,若 求证：点C为半圆的中点；
(2)如图2,延长AC到E,若CE=AC=2,OD为⊙O的半径,且OD∥AC,连接DE.求证：DE是⊙O的切线.
14.如图,以 的边AB 为直径作⊙O,与 BC交于点 D,点 E 是 的中点,连接 AE 交 BC 于点 F,
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若 求BF的长.
15.如图,AB 为⊙O 的直径,C,D为圆上两点，
(1)尺规作图：作 于E；(保留作图痕迹，不用写作图步骤)
(2)求证:CE 是⊙O的切线;
(3)若 求CE的长度.
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16.如图,已知AB 是⊙O的直径，点A 是 的中点,弦 BD,CA 的延长线交于点 E，点F 在线段 DE 上，且
(1)求证:AF 是⊙O的切线;
(2)若 求 EF 的长.
17.如图,以AB 为直径的⊙O上有两点 E,F, 过点 E作直线CD⊥AF 交AF 的延长线于点 D，交AB的延长线于点C，过C作CM 平分 交 AE 于点 M,交BE 于点 N.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)求证:
(3)如果 N 是CM 的中点,且 求EN的长.
参考答案
1. C
2.1或3 或5 解析：设⊙P 与坐标轴的切点为D,
∵直线 与x轴、y轴分别交于点 B，C,点 A(4,m),
∴当 时， 当 时， 当时，
∴A(4,2),B(2,0),C(0,-2).
是等腰直角三角形，
①如图1，当⊙P与x轴相切时，
如图1，点 D 是切点，⊙P的半径是1，轴，
是等腰直角三角形.
∵⊙P 的速度为每秒 个单位长度，
②如图2，⊙P与x 轴和y轴都相切时，
同理，得
∵⊙P 的速度为每秒 个单位长度，
③如图3，当⊙P 只与 y轴相切时，
同理，得
∵⊙P 的速度为每秒 个单位长度，
综上所述，则当t=1或3 或5秒时，⊙P 与坐标轴相切.
3.解:(1)证明:连接OC,则∠OAC=∠OCA,
∵BC=CD, ∴∠DAC=∠OCA,
∴OC∥AD,∴∠OCE=∠F,
∵EH 平分∠FEG,∴∠FEG=2∠HEG.
∴∠F = ∠FEG - ∠FAE = 2∠HEG -2∠CAB=2(∠HEG-∠CAB)=2∠H =2×45°=90°,
∴∠OCE=∠F=90°.
又∵OC是半径，∴EF是⊙O的切线;
(2)设⊙O的半径为r,则( 2,
即 解得r=3,
又∵OC∥AD,∴△ECO∽△EFA. 即 解得
4.解：(1)根据题目要求补全图形如图；
(2)证明:连接OD,如图,
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,
∵OB=OD,
∥
∵OD是⊙O的半径,∴⊙O与AC 相切于点 D.
5.解：(1)证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点E,连接 BE,则
∵AE是⊙O的直径,∴AD是⊙O的切线;
(2)由(1),得 直径 6,AB=4,
即
6.解:(1)证明:如图所示,连接OC.
∴∠FAC=∠BAC.
∵OA=OC, ∴OC∥AF.
∵CD⊥AF,∴OC⊥CD.又∵OC为⊙O的半径,∴CD是⊙O的切线;
(2)如图所示,连接BC.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠BAC=30°,∴∠DAC=30°.
在 Rt△ADC中,
在 Rt△ACB中, ∴AB=2BC=8,
∴⊙O的半径为4.
7.解:(1)证明:如图1,连接OD,过点 O 作OP⊥BC于点 P,
∵⊙O与AC 相切于点 D,∴OD⊥AC,
∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,点O为AB 的中点，∴∠OCD=∠OCP=45°,
∴OD=OP,即OP是⊙O的半径,∴BC是⊙O的切线;
(2)∵AC=4 ,BC=AC,∠ACB=90°,O为AB中点,
在 中，
如图2,连接 OF,过点 O 作 于点
8.解:(1)证明:连接 BD,OC,OD,
∴BC=BD,
∵OC=OD,∴点 O,B 在 CD的垂直平分线上，
∴AB 垂直平分CD,∴∠AFD=90°.
∵∠ADC=∠AEB,∴CD∥BE.∴∠ABE=∠AFD=90°.∴AB⊥BE.
∵AB是⊙O的直径,∴BE是⊙O的切线;
(2)∵⊙O的半径为2,∴AB=2×2=4.
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.
∵BC=3,
∴∠ADC=∠ABC.
∵∠AEB=∠ADC,∴∠AEB=∠ABC.
9.解:(1)证明:连接AD,设OD 交AC 于点I,
∵OD=OA,∴∠ODA=∠OAD.
∵点 D 是 的中点，∴OD⊥AC于点I.
∵DN⊥AB于点 E,∴∠OED=∠OIA=90°,∴∠ODF=∠OAF=90°-∠AOD,
∴∠ODA-∠ODF=∠OAD-∠OAF,∴∠FDA=∠FAD,∴AF=DF;
(2)①证明:∵AB是⊙O的直径,DM=DG,∴∠ADB=90°,
∴AD 垂直平分GM,∴AM=AG,∴∠MAD=∠CAD.
∴∠B=∠CAD.∴∠MAD=∠B.
∴∠OAM=∠BAD+∠MAD=∠BAD+∠B=90°.
∵OA 是⊙O的半径,且 AM⊥OA,∴AM是⊙O的切线;
②∵∠FDG +∠FDA = 90°,∠FGD +∠FAD=90°,且∠FDA=∠FAD,
∴∠FDG=∠FGD.∴GF=DF=AF=5.∴AG=2AF=10.
∵DG=6,
解得 .∴⊙O的半径长为
10.解:(1)∵点 C(2,0),圆的半径为3,
∴A(5,0).
连接CB,则. 在 中，
(2)证明:∵点
在 中，
又 ∴在△DBC中, DC .
∴△DBC 是直角三角形.∴BC⊥DB 于点 B.
∵BC是⊙C半径,∴直线 BD 是⊙C 的切线.
11.解:(1)证明:连接OC,
∵AD⊥DF,
∵点C 是 的中点， ∴∠DAC=∠CAB,
∥
∵OC是⊙O的半径,∴DC是⊙O的切线;
(2)①过点 O作OG⊥AE,垂足为G,如图,
∵OG⊥AD,∴∠AGO=90°,
∵∠D=∠AGO=90°,∴OG∥DF,∴∠AFD=∠AOG,
在 Rt△AGO中, ∴⊙O 的半径为3;
②∵∠OCF=90°,∴∠OCD=180°-∠OCF=90°,
∵∠OGE=∠D=90°,∴四边形OGDC是矩形，∴OC=DG=3,
∵GE=1,∴DE=DG-GE=3-1=2,∴线段 DE 的长为2.
12.解:(1)证明:连接OA,则OF=OA,∴∠OAF=∠OFA,
∵AG=GD,∴OF⊥AD,∴∠AGF=90°,
∵四边形 ABCD 是菱形,∴AB=AD,AC⊥BD,∴∠BAE=∠DAE,
∴∠OAB =∠OAF+∠BAE=∠OFA+∠DAE=90°,∴AB⊥OA,
又∵OA 是⊙O半径,∴AB是⊙O的切线;
AD=2AG,
设AG=4m,则OA=5m,∴OF=OA=5m,
∵∠AGO=90°,3m,
∴FG=OF-OG=5m-3m=2m,
∵∠AED=∠AGF=90°,∴∠ADB=∠AFG=90°-∠DAE,
∴tan∠ADB的值是2.
13.证明:(1)连接CB,如图1,
∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∴△ABC是直角三角形.
∴BC=AC, ∴点 C为 的中点；
(2)连接 BC交OD 于点 F,如图2,
∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=∠BCE=90°.∴△ABC是直角三角形.
又∵OD∥AC,点O为AB的中点,AB=6,∴∠OFB=∠OFC=∠BFD=∠CFD=90°.
∴OD⊥BC.
∴DF=CE=2.∴四边形 DFCE 是矩形.∴∠ODE=90°,即半径OD⊥DE.
∴DE 是⊙O的切线.
14.解:(1)证明:连接 AD,如图所示.
∵E是 的中点， ∴∠1=∠2.∴∠BAD=2∠1.
∵∠ACB=2∠1,∴∠C=∠BAD.
∵AB为⊙O直径,∴∠ADB=∠ADC=90°.∴∠DAC+∠C=90°.
∵∠C=∠BAD,∴∠DAC+∠BAD=90°.∴∠BAC=90°,即AB⊥AC.
又∵AC过半径外端，∴AC是⊙O的切线;
(2)过点 F作 FG⊥AB 于点 G.如图所示:
在 Rt△ABD中,
设AD=2m,则AB=3m,由勾股定理得
∵BD=5, ∴AD=2 ,AB=3
∵∠1=∠2,∠ADB=90°,∴FG=FD.
设BF=x,则 FG=FD=5-x.
在 Rt△BGF中, 解得x=3.∴BF=3.
15.解:(1)①延长 DB,以C为圆心,以任意长为半径画弧，和DB有两个交点M，N；
②分别以 M，N为圆心，以大于 MN的一半的长为半径画弧，两弧相交于点 P；
③作射线CP,交 DB于E.则 CE 即为所求作.
如图1：
(2)证明:连接OC.
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.∴∠BOC=2∠BAC.
∵∠ABD=2∠BAC,∴∠ABD=∠BOC.∴OC∥DB.
∴∠OCE=∠DEC=90°,∴CE 是⊙O的切线;
(3)如图2,作直径CQ,连接QB.
∵QC为直径,∴∠Q+∠QCB=90°.
∵∠BCE+∠QCB=90°,∴∠Q=∠BCE.
∵∠Q=∠CDE,∴∠CDE=∠BCE.
∵∠BEC=∠CED=90°,∴△ECB∽△EDC.
16.解:(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠C=90°.∴∠ABC+∠CAB=90°.
∵点A 是 的中点， ∴∠ABC=∠ABD.
∵∠EAF=∠ABE,∴∠ABC=∠EAF.∴∠BAC+∠EAF=90°.∴∠BAF=90°.
∵AB是⊙O的直径,∴AF是⊙O的切线;
(2)连接AD,
∵AB 是⊙O的直径,
∵点A 是CD的中点,
∴
17.解:(1)证明:连接OE,如图:
∴∠FAE=∠EAB.
∵OA=OE,∴∠AEO=∠EAB.∴∠FAE=∠AEO.∴AF∥OE.
∵CD⊥AF,∴OE⊥CD.
∵OE 是⊙O的半径,∴CD是⊙O的切线;
(2)证明:由(1)知 CD 是⊙O的切线,∴∠CEB+∠OEB=90°,
∵AB 是直径,∴∠AEB=90°,∴∠AEO+∠OEB=90°,∴∠CEB=∠AEO,
∵OA=OE,∴∠AEO=OAE,∴∠CEB=∠EAC.
∵CM平分∠ACD,∴∠ECM=∠ACM.∴∠CEB+∠ECM=∠EAC+∠ACM.
∴∠ENM=∠EMN.∴EM=EN;
(3)由(2)知EM=EN,∠EMN=∠ENM,∴∠EMN=∠BNC.
∵∠ECM=∠BCN,∴△EMC∽△BNC.
∵N是CM 的中点, ∴EM=2BN,CE=2BC.
∵∠BEC=∠EAB,∠BCE=∠ECA,∴△BEC∽△EAC.
∴AE=2BE.
在 Rt△ABE中, ∴BE=9.
∵EN=EM=2BN, ∴EN的长为6.
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