(共14张PPT)
规范练1
2025
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1.(13分)(2024·安徽淮北二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c-b=2csin2
(1)试判断△ABC的形状;
(2)若c=1,求△ABC周长的最大值.
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(1)求E的方程和离心率;
(2)过点(1,0),斜率存在且不为零的直线交椭圆于R,S两点,设直线RS,CR,CS的斜率分别为k,k1,k2,若k1+k2=-3,求实数k的值.
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3.(15分)(2024·山东青岛三模)如图所示,多面体ABCDEF,底面ABCD是正方形,点O为底面的中心,M为EF的中点,侧面ADEF与BCEF是全等的等腰梯形,EF=4,多面体ABCDEF其余棱长均为2.
(1)证明:MO⊥平面ABCD;
(2)若点P在棱CE上,直线BP与平面ABM所成角的正弦值为 ,求EP的长.
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(1)证明 取AB,CD的中点K,Q,连接FK,KQ,QE,则O为KQ的中点.
因为侧面ADEF是等腰梯形,所以EF∥AD.
又KQ∥AD,所以KQ∥EF.
因为多面体ABCDEF的棱长除棱EF外均相等,
所以△ABF和△DCE都是边长为2的等边三角形,得FK=EQ,所以四边形FKQE为等腰梯形.
因为M为EF的中点,O为KQ的中点,
所以MO⊥KQ.
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因为△ABF是等边三角形,所以AB⊥FK.
又AB⊥KQ,KQ,FK 平面FKQE,KQ∩FK=K,所以AB⊥平面FKQE,
因为AB 平面ABCD,
所以平面FKQE⊥平面ABCD,
平面FKQE∩平面ABCD=KQ,MO 平面FKQE,MO⊥KQ,
故MO⊥平面ABCD.
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(2)解 在梯形FKQE中,EF=4,KQ=2,FK=EQ= ,在等腰梯形中,由勾股定理得MO= ,取BC的中点N,由(1)知,OK,ON,OM两两垂直.
以O为原点,分别以OK,ON,OM所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则O(0,0,0), M(0,0, ),K(1,0,0),C(-1,1,0),A(1,-1,0),B(1,1,0),
E(-2,0, ).
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本 课 结 束(共15张PPT)
规范练3
2025
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1.(13分)如图,已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面,矩形SADE的对角线交于点F,G为SB的中点,∠ABC=∠BAD= ,SA=AB=BC= AD=1.
(1)求证:BD∥平面AEG;
(2)求平面SCD与平面ESD夹角的余弦值.
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(1)证明 连接GF,因为四边形SADE为矩形,
所以F为SD的中点.
又G为SB的中点,
所以GF∥BD.
因为GF 平面AEG,BD 平面AEG,
所以BD∥平面AEG.
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(2)解 因为SA⊥平面ABCD,AB,AD 平面ABCD,
所以SA⊥AB,SA⊥AD.
又∠BAD= ,
所以AB,AD,AS两两垂直.
以A为原点,分别以AB,AD,AS所在直线为x轴、
y轴、z轴建立空间直角坐标系,
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2.(15分)(2024·浙江杭州二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
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3.(15分)(2024·山东日照二模)某公司为考核员工,采用某方案对员工进行业务技能测试,并统计分析测试成绩以确定员工绩效等级.
(1)已知该公司甲部门有3名负责人,乙部门有4名负责人,该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析,记负责人来自甲部门的人数为X,求X的最有可能的取值;
(2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩x(满分100分)与绩效等级优秀率y,如下表所示:
x 32 41 54 68 74 80 92
y 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94
根据数据绘制散点图,初步判断,选用y=λecx作为回归方程.令z=ln y,经计算
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(ⅰ)已知某部门测试的平均成绩为60分,估计其绩效等级优秀率;
(ⅱ)根据统计分析,大致认为各部门测试平均成绩x~N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数 ,σ2近似为样本方差s2.经计算s≈20,求某个部门绩效等级优秀率不低于0.78的概率.
参考公式与数据:①ln 0.15≈-1.9,e1.2≈3.32,ln 5.2≈1.66.
③若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ1
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(2)(ⅰ)依题意,y=λecx两边取对数,得ln y=cx+ln λ,即z=cx+ln λ,
由提供的参考数据,可知c=0.02.
又-0.642=0.02×63+ln λ,故ln λ≈-1.9,
所以λ≈e-1.9,
由提供的参考数据,可得λ≈0.15,
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记“绩效等级优秀率不低于0.78”为事件A,则P(A)=P(x≥83)≈0.158 7,所以绩效等级优秀率不低于0.78的概率等于0.158 7.
本 课 结 束(共12张PPT)
规范练6
2025
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1.(13分)(2024·江苏连云港模拟)已知函数f(x)=
(1)求函数f(x)在x=1处的切线方程;
(2)证明: x∈[0,+∞),f(x)>sin x.
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令h(x)=ex-x-1,可得h'(x)=ex-1.
当x∈[0,+∞)时,h'(x)=ex-1≥0,
所以h(x)=ex-x-1在区间[0,+∞)上单调递增,
所以h(x)≥h(0)=e0-0-1=0,即f'(x)=ex-x-1≥0,
当x=0时,f(0)=1>sin 0=0,
当x>0时,f(x)>1≥sin x.
综上所述, x∈[0,+∞),f(x)>sin x.
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(2)sin C(1+cos B)=sin B(2-cos C),
(方法一)sin C+sin Ccos B+sin Bcos C=2sin B,
∴sin C+sin(B+C)=2sin B,
∴sin C+sin A=2sin B,
根据正弦定理得c+a=2b.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2+bc,①
将a=2b-c代入①式,得3b2-5bc=0,
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3.(15分)(2024·山东泰安模拟)如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC, ∠BAD= ,AB=BC= AD,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置,如图2.
图1
图2
(1)证明:平面BCDE⊥平面A1OC;
(2)若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值.
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所以四边形ABCE为正方形,四边形BCDE为平行四边形,所以BE⊥AC,CD∥BE.
即在图2中,BE⊥OA1,BE⊥OC,OA1∩OC=O,OA1,OC 平面A1OC,所以BE⊥平面A1OC.
又因为BE 平面BCDE,
所以平面BCDE⊥平面A1OC.
图1
图2
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(2)解 因为平面A1BE⊥平面BCDE,平面A1BE∩平面BCDE=BE,A1O⊥BE,A1O 平面A1BE,所以A1O⊥平面BCDE.
又因为OC 平面BCDE,所以A1O⊥OC.
又由(1)知BE⊥OC,BE⊥OA1,所以直线BE,OC,OA1两两垂直.
如图,以O为坐标原点,分别以OB,OC,OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设A1B=1,所以A1B=A1E=BC=ED=1.
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设平面A1BC的法向量n1=(x1,y1,z1),平面A1CD的法向量n2=(x2,y2,z2),平面A1BC与平面A1CD夹角为θ,
本 课 结 束(共11张PPT)
规范练5
2025
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1.(13分)(2024·辽宁葫芦岛一模)为了培养具有创新潜质的学生,某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营.选拔考试分为“Python编程语言”和“数据结构算法”两个科目,考生两个科目考试的顺序自选,若第一科考试不合格,则淘汰;若第一科考试合格,则进行第二科考试,无论第二科是否合格,考试都结束.“Python编程语言”考试合格得4分,否则得0分;“数据结构算法”考试合格得6分,否则得0分.
已知甲同学参加“Python编程语言”考试合格的概率为0.8,参加“数据结构算法”考试合格的概率为0.7.
(1)若甲同学先进行“Python编程语言”考试,记X为甲同学的累计得分,求X的分布列;
(2)为使累计得分的期望最大,甲同学应选择先回答哪类问题 并说明理由.
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解 (1)由题意X的所有可能取值为0,4,10,
所以P(X=0)=1-0.8=0.2,
P(X=4)=0.8×(1-0.7)=0.24,
P(X=10)=0.8×0.7=0.56,
所以X的分布列为
X 0 4 10
P 0.2 0.24 0.56
(2)甲同学选择先回答“Python编程语言”考试这类问题,理由如下:
由(1)可知E(X)=0×0.2+4×0.24+10×0.56=6.56.
甲同学先进行“数据结构算法”考试,记Y为甲同学的累计得分,则Y的所有可能取值为0,6,10,
P(Y=0)=1-0.7=0.3,P(Y=6)=0.7×(1-0.8)=0.14,P(Y=10)=0.7×0.8=0.56,
所以Y的分布列为
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Y 0 6 10
P 0.3 0.14 0.56
E(Y)=0×0.3+6×0.14+10×0.56=6.44,所以E(X)>E(Y),
所以甲同学选择先回答“Python编程语言”考试这类问题.
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2.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+2=2an.
(1)求a2及数列{an}的通项公式;
(2)在an与an+1之间插入n个数,使得这(n+2)个数依次组成公差为d的等差数列,求数列{ }的前n项和Tn.
解 (1)由题意,当n=1时,S1+2=a1+2=2a1,解得a1=2.
当n=2时,S2+2=2a2,即a1+a2+2=2a2,解得a2=4.
当n≥2时,由Sn+2=2an,可得Sn-1+2=2an-1,
两式相减,得an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,
综上,数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,故an=2·2n-1=2n,n∈N*.
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(2)由(1)可得,an=2n,an+1=2n+1,在an与an+1之间插入n(n∈N*)个数,使得这(n+2)个数依次组成公差为d的等差数列,则有an+1-an=(n+1)dn,
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3.(15分)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为平行四边形,M,N分别为AB,DD1的中点.
(1)证明:DM∥平面A1BN;
(2)若底面ABCD为矩形,AB=2AD=4,异面直线DM与A1N所成角的余弦值为
,求点D到平面A1BN的距离.
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(1)证明 连接AB1,交A1B于点E,连接NE,ME,显然E为A1B的中点.
因为M为AB的中点,
所以ME∥AA1,且ME= AA1.
因为N为DD1的中点,
所以DN∥AA1,且DN= AA1,
所以ME∥DN,且ME=DN,
所以四边形EMDN为平行四边形,
所以EN∥DM.
又因为DM 平面A1BN,EN 平面A1BN,
所以DM∥平面A1BN.
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(2)解 由题意及几何知识得,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AD=4,直线AB,AD,AA1两两垂直,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设AA1=2t(t>0),则B(4,0,0),D(0,2,0),
A1(0,0,2t),M(2,0,0),N(0,2,t),B1(4,0,2t),
设异面直线DM与A1N所成角为θ,
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本 课 结 束(共13张PPT)
规范练2
2025
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1.(13分)(2024·江苏扬州模拟)已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn,且2Sn=an(an+1).
(1)求数列{an}的通项公式;
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(1)解 因为2Sn=an(an+1),①
所以2Sn+1=an+1(an+1+1),②
2S1=a1(a1+1),③
由③得a1(a1-1)=0.
又因为{an}各项均为正数,所以a1=1,
整理得(an+1+an)(an+1-an-1)=0.
又因为{an}各项均为正数,所以an+1-an=1,
所以{an}是公差为1的等差数列,an=a1+(n-1)d=1+(n-1)=n.
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2.(15分)(2024·宁夏银川二模)一批产品需要进行质量检验,检验方案是先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.
假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为 ,且各件产品是否为优质品相互独立.
(1)求这批产品通过检验的概率;
(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列.
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解 (1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)
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3.(15分)棱长均为2的斜三棱柱ABC-A1B1C1中,A1在平面ABC内的射影O在棱AC的中点处,P为棱A1B1(包含端点)上的动点.
(1)求点P到平面ABC1的距离;
(2)若AP⊥平面α,求直线BC1与平面α所成角的正弦值的取值范围.
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解(1)依题意知A1O⊥平面ABC,OB⊥AC(底面为正三角形),且A1O=OB= .
以O为原点,分别以OB,OC,OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,
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由A1B1∥AB,A1B1 平面ABC1,AB 平面ABC1,则A1B1∥平面ABC1,即点P到平面ABC1的距离等于点A1到平面ABC1的距离.
设n=(x,y,z)为平面ABC1的一个法向量,
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本 课 结 束(共12张PPT)
规范练4
2025
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1.(13分)已知向量m=(cos x,-sin x),n=(cos x,sin x-2 cos x),x∈R.设f(x)=m·n.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中,若f(∠BAC)=1,AB=2,BC= ,∠BAC的平分线交BC于点D,求AD的长.
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2.(15分)(2024·河北张家口三模)已知函数f(x)=ln x+5x-4.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(1)解 由题意知f(x)的定义域为(0,+∞),因为f'(x)= +5,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为f'(1)=6.
又f(1)=ln 1+5-4=1,所以切线方程为y-1=6(x-1),即6x-y-5=0.
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易知g'(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以,当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,g(x)在区间(0,x0)上单调递减;
当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在区间(x0,+∞)上单调递增.
所以当x=x0时,g(x)取得最小值.
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3.(15分)(2024·河北石家庄模拟)如图,在五棱锥S-ABCDE中,平面SAE⊥平面AED,AE⊥ED,SE⊥AD.
(1)证明:SE⊥平面AED;
(2)若四边形ABCD为矩形,且SE=AB=1,AD=3, 当直线DN与平面SAD所成的角最小时,求三棱锥D-SAE的体积.
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(1)证明 因为平面SAE⊥平面AED,DE⊥EA,DE 平面AED,
平面SAE∩平面AED=AE,
所以DE⊥平面SAE.
又SE 平面SAE,所以DE⊥SE.
又因为SE⊥AD,ED∩AD=D,且AD,DE 平面AED,
所以SE⊥平面AED.
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(2)解 以E为坐标原点,分别以EA,ED,ES所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
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本 课 结 束
