(共42张PPT)
专题检测一
2025
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一、选择题
1.(2023·全国乙,理4)已知f(x)= 是偶函数,则a=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
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解析 设f(x)=(3x-3-x)cos x,则f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-f(x),所以函数为奇函数,排除B,D选项.又f(1)=(3-3-1)cos 1>0,故选A.
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3.(2020·新高考Ⅱ,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( )
A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]
D
解析 因为定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(-2)=0,f(0)=0,
所以当x∈(-∞,-2)∪(0,2)时,f(x)>0,当x∈(-2,0)∪(2,+∞)时,f(x)<0,
解得-1≤x≤0或1≤x≤3,
所以满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D.
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4.生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则( )
D
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A.b>c>a B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
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7.(2024·新高考Ⅱ,8)设函数f(x)=(x+a)ln(x+b),若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为( )
C
解析 当x≤-a时,x+a≤0,当x≥-a时,x+a≥0,当-b1
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8.(2024·新高考Ⅰ,8)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时,f(x)=x,则下列结论中一定正确的是( )
A.f(10)>100 B.f(20)>1 000
C.f(10)<1 000 D.f(20)<10 000
B
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解析 ∵当x<3时,f(x)=x,∴f(1)=1,f(2)=2.
∵f(x)的定义域为R,且f(x)>f(x-1)+f(x-2),
∴f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5,f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21,f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89,f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377,f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987,f(16)>f(15)+f(14)>1 000.
∴f(20)>1 000.
结合各选项知,选项B一定正确.
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二、选择题
9.(2023·新高考Ⅰ,11)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则( )
A.f(0)=0
B.f(1)=0
C.f(x)是偶函数
D.x=0为f(x)的极小值点
ABC
解析 对于选项A,令x=0,y=0,f(0)=0,所以A正确;
对于选项B,令x=1,y=1,f(1×1)=12×f(1)+12×f(1)=2f(1),解得f(1)=0,所以B正确;
对于选项C,令x=-1,y=-1,f[(-1)×(-1)]=(-1)2×f(-1)+(-1)2×f(-1)=2f(-1),解得f(-1)=0;再令x=-1,y=x,f[(-1)×x]=x2×f(-1)+(-1)2×f(x),f(-x)=f(x),所以C正确;
对于选项D,用特值法,函数f(x)=0,为常数函数,且满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),而常数函数没有极值点,所以D错误.故选ABC.
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10.(2020·新高考Ⅰ,11)已知a>0,b>0,且a+b=1,则( )
ABD
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11.(2024·新高考Ⅰ,10)设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则( )
A.x=3是函数f(x)的极小值点
B.当0C.当1D.当-1f(x)
AC
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解析 ∵f(x)=(x-1)2(x-4),∴函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=3(x-1)(x-3).令f'(x)=3(x-1)(x-3)=0,得x=1或x=3.当x<1或x>3时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当1当0当1f(2x-1)+4=4(x-2)2(2x-1)>0,即f(2x-1)>-4,∴C正确.
f(2-x)-f(x)=(2-x-1)2(2-x-4)-(x-1)2(x-4)=-2(x-1)3.当-1故选AC.
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三、填空题
12.(2024·广东广州三模)函数 其中a>0且a≠1,若函数是单调函数,则a的一个可能取值为 .
4(答案不唯一)
解析 因为a>0且a≠1,若函数是单调函数,结合二次函数性质可知f(x)在R上单调递增,
故答案为4(答案不唯一).
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13.函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为 .
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四、解答题
15.(13分)(2024·上海,18)若f(x)=logax(a>0,a≠1).
(1)曲线y=f(x)过(4,2),求f(2x-2)(2)存在x使得f(x+1),f(ax),f(x+2)成等差数列,求实数a的取值范围.
解 (1)因为y=f(x)的图象过点(4,2),故loga4=2,故a2=4,即a=2(负值舍去).
而f(x)=log2x在(0,+∞)上单调递增,
又f(2x-2)所以0<2x-2故f(2x-2)1
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(2)因为存在x使得f(x+1),f(ax),f(x+2)成等差数列,
所以2f(ax)=f(x+1)+f(x+2),
即2loga(ax)=loga(x+1)+loga(x+2)有解.
因为a>0,a≠1,故x>0,
故a2x2=(x+1)(x+2)在(0,+∞)上有解,
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(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)在x=-1处取得极值,求f(x)的单调区间,以及其最大值与最小值.
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x (-∞,-1) -1 (-1,4) 4 (4,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
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17.(15分)(2020·全国Ⅰ,文20)已知函数f(x)=ex-a(x+2).
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求实数a的取值范围.
解 (1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,
则f'(x)=ex-1.
当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
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(2)f'(x)=ex-a.
当a≤0时,f'(x)>0,
所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增,
故f(x)至多存在1个零点,不合题意.
当a>0时,由f'(x)=0可得x=ln a.当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,ln a)单调递减,在(ln a,+∞)单调递增,故当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a(1+ln a).
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由于f(-2)=e-2>0,所以f(x)在(-∞,ln a)存在唯一零点.
由(1)知,当x>2时,ex-x-2>0,
所以当x>4且x>2ln(2a)时,
故f(x)在(ln a,+∞)存在唯一零点.
从而f(x)在(-∞,+∞)有两个零点.
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18.(17分)(2022·北京,20)已知函数f(x)=exln(1+x).
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)设g(x)=f'(x),讨论函数g(x)在[0,+∞)上的单调性;
(3)证明:对任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).
因此曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x.
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所以对任意x∈[0,+∞),g'(x)>0恒成立,
故g(x)在[0,+∞)上单调递增.
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(3)证明 设函数F(x)=f(x+t)-f(x)(x>0),
F'(x)=f'(x+t)-f'(x)=g(x+t)-g(x).
因为t>0,所以x+t>x>0.
因为g(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以g(x+t)>g(x),
即g(x+t)-g(x)>0,
F'(x)>0,所以F(x)在(0,+∞)上单调递增.
又因为s>0,
所以F(s)>F(0),
即f(s+t)-f(s)>f(t)-f(0).
又f(0)=0,所以f(s+t)>f(s)+f(t).
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19.(17分)已知函数f(x)=aex-sin x-a.(注:e=2.718 281…是自然对数的底数)
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程.
(2)当a>0时,函数f(x)在区间 内有唯一的极值点x1.
①求实数a的取值范围;
②求证:f(x)在区间(0,π)内有唯一的零点x0,且x0<2x1.
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(1)解 当a=2时,f(x)=2ex-sin x-2,f'(x)=2ex-cos x,在点(0,f(0))处的切线的斜率为f'(0)=2-1=1,又f(0)=0,所以切点为(0,0),所以切线方程为y=x.
(2)①解 函数f(x)=aex-sin x-a,f'(x)=aex-cos x,
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当x∈(0,x1)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(x1,π)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,
所以当x∈(0,x1)时,f(x)则f(x1)<0.
又因为f(π)=aeπ-a=a(eπ-1)>0,
所以f(x)在(x1,π)上有唯一零点x0,
即f(x)在(0,π)内有唯一零点x0.
由①知f'(x1)=0,所以a=cos x1,
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本 课 结 束(共47张PPT)
专题检测四
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一、选择题
1.(2024·湖南长沙模拟)某10人的射击小组,在一次射击训练中射击成绩(单位:环)数据如下表所示,则这组数据的中位数为( )
成绩 6 7 8 9 10
人数 1 2 2 4 1
A.2 B.8 C.8.2 D.8.5
D
解析 将射击成绩由小到大排列,得到6,7,7,8,8,9,9,9,9,10,第5个数为8,第6个数为9,因而中位数为8.5.
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2.(2024·福建龙岩一模) (x+y)7的展开式中x5y2的系数为( )
A.-91 B.-21 C.14 D.49
D
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3.(2024·甘肃酒泉三模)有甲、乙两台车床加工同一种零件,且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的70%,30%,甲、乙两台车床的正品率分别为94%,92%.现从一批零件中任取一件,则取到正品的概率为( )
A.0.93 B.0.934 C.0.94 D.0.945
B
解析 设事件A表示“任选一件零件为甲车床生产的”,事件B表示“任选一件零件为乙车床生产的”,事件C表示“任选一件零件为正品”,则P(A)=70%,P(B)=30%,P(C|A)=94%,P(C|B)=92%,
所以P(C)=P(C|A)P(A)+P(C|B)P(B)=0.934.
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4.(2024·云南曲靖模拟)已知P(M)=0.4,P( |M)=0.5,则P(MN)=( )
A.0.4 B.0.6 C.0.1 D.0.2
D
解析 因为P( |M)=0.5,由对立事件的概率计算公式可得P(N|M)=1-0.5 =0.5,则P(MN)=P(M)P(N|M)=0.4×0.5=0.2.
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5.(2024·广东佛山二模)劳动可以树德,可以增智,可以健体,可以育美.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动实践比赛,已知冠军是甲、乙当中的一人,丁和戊都不是最差的,则这5名同学的名次排列(无并列名次)共有( )
A.12种 B.24种 C.36种 D.48种
B
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6.(2024·湖北武汉模拟)如图所示,已知一质点在外力的作用下,从原点O出发,每次向左移动的概率为 ,向右移动的概率为 .若该质点每次移动一个单位长度,设经过5次移动后,该质点位于X的位置,则P(X>0)=( )
D
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7.(2024·广东江门一模)已知9名女生的身高(单位:cm)平均值为162,方差为26,若增加一名身高172 cm的女生,则这10名女生身高的方差为( )
A.32.4 B.32.8 C.31.4 D.31.8
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8.(2024·广东湛江一模)在一次考试中有一道4个选项的双选题,其中B和C是正确选项,A和D是错误选项,甲、乙两名同学都完全不会这道题目,只能在4个选项中随机选取两个选项.设事件M=“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”,事件N=“甲、乙两人所选选项完全不同”,事件X=“甲、乙两人所选选项完全相同”,事件Y=“甲、乙两人均未选择B选项”,则( )
A.事件M与事件N相互独立
B.事件X与事件Y相互独立
C.事件M与事件Y相互独立
D.事件N与事件Y相互独立
C
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二、选择题
9.(2024·辽宁抚顺一模)采购经理指数(PMI)是国际上通用的监测宏观经济走势的指标之一,具有较强的预测、预警作用.2023年12月31日,国家统计局发布了
中国制造业PMI指数(经季节调整)图,如下图所示,则下列说法正确的是( )
A.图中前三个数据的平均值为49.9%
B.2023年四个季度的PMI指数中,第一季度方差最大
C.图中PMI指数的极差为3.8%
D.2023年PMI指数的第75百分位数为50.1%
AB
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10.(2024·云南保山模拟)若(1+2x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024,则下列说法正确的是( )
A.a0=1
B.a0+a1+…+a2 024=32 024
C.a0-a1+a2-a3+…+a2 024=1
D.a1-2a2+3a3-…-2 024a2 024=-2 024
ABC
解析 令x=0,得a0=1,A正确;令x=1,得a0+a1+…+a2 024=32 024,B正确;令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a2 024=1,C正确;由(1+2x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024,两边同时求导,得2 024×2×(1+2x)2 023=a1+2a2x+3a3x2+…+2 024a2 024x2 023,令x=-1,得a1-2a2+3a3-…-2 024a2 024=-4 048,D错误.
故选ABC.
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11.(2024·湖北襄阳模拟)甲袋中有20个红球和10个白球,乙袋中有红球、白球各10个,两袋中的球除颜色外完全相同.现从两袋中各摸出1个球,下列结论正确的是( )
ABC
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三、填空题
12.(2024·山东济南一模)已知随机变量X~N(1,22),则D(2X+1)的值为 .
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解析 由X~N(1,22)可得D(X)=22=4,
则D(2X+1)=4D(X)=16.
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13.(2024·山东枣庄一模)盒子内装有编号为1,2,3,…,10的10个除编号外完全相同的玻璃球.从中抽取三个球,其编号之和能被3整除的概率为 .
解析 依题意,问题相当于求从1,2,3,…,10的10个数中任取3个,这3个数的和能被3整除的概率,显然试验包含的基本事件总数为=120,且它们是等可能事件,10个数中能被3整除的有3,6,9;被3除后余数是1的有1,4,7,10;被3除后余数是2的有2,5,8.取出的3个数的和能被3整除的事件A含有的基本事件
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14.(2024·贵州遵义模拟)高尔顿钉板是英国生物统计学家高尔顿设计的,如图,每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子,上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间,从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球,白色圆玻璃球向下降落的过程中,首先碰到最上面的钉子,碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下,于是又碰到下一层钉子,如此继续下去,直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球,记白色圆玻璃球落入格子的编号为X,则随机变量X的期望与方差分别为 , .
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四、解答题
15.(13分)(2024·山东济宁二模)为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性,某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响,为此对学生是否经常锻炼的情况进行了抽样调查.从全体学生中随机抽取男女学生各100名,经统计,抽查数据如下表所示.
性别 锻炼 合计
经常 不经常 男生 80 20 100
女生 60 40 100
合计 140 60 200
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(1)依据小概率值α=0.005的独立性检验,分析性别与体育锻炼的经常性是否有关;
(2)为提高学生体育锻炼的积极性,学校决定从上述经常参加体育锻炼的学生中,采用样本量按性别比例分配的分层随机抽样方法,随机抽取7名同学组成体育锻炼宣传小组,并从中选出3人担任宣传小组组长.记女生担任宣传小组组长的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
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解 (1)零假设为H0:性别与体育锻炼的经常性之间无关联,
根据列联表中的数据,经计算得到
根据小概率值α=0.005的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为性别与体育锻炼的经常性有关联,此推断犯错误的概率不大于0.005.
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16.(15分)(2023·全国乙,理17)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结果如下:
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),记z1,z2,…,z10的样本平均数为 ,样本方差为s2.
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17.(15分)(2024·新疆乌鲁木齐一模)地区生产总值(地区GDP)是衡量一个地区经济发展的重要指标,在过去五年(2019年—2023年)中,某地区的地区生产总值实现了“翻一番”的飞跃,从1 464亿元增长到了3 008亿元.经统计,这五年的年份编号x(2019年对应的x值为1,2020年对应的x值为2,以此类推)与地区生产总值y(单位:百亿元)的对应数据如下表所示.
年份编号x 1 2 3 4 5
地区生产总值y/百亿元 14.64 17.42 20.72 25.20 30.08
(1)如果2023年该地区人均生产总值为9.39万元,全国人均生产总值X(单位:万元)服从正态分布X~N(8.94,0.452),那么在全国其他地区中随机挑选2个,记随机变量Y为“2023年人均生产总值高于该地区的地区数量”,求Y=1的概率;
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解 (1)易知9.39=8.94+0.45,由正态分布区间公式,得
即随机挑选一个地区,人均生产总值高于该地区的概率为0.16,则Y~B(2,0.16),
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18.(17分)(2024·四川南充二诊)已知某芯片生产商生产的某型号芯片各项指标经过全面检测后,分为Ⅰ级和Ⅱ级,两种品级的芯片某项指标的频率分布直方图如图所示.
Ⅰ级品
Ⅱ级品
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若只利用该指标制定一个标准,需要确定临界值K,按规定须将该指标大于K的产品应用于A型手机,小于或等于K的产品应用于B型手机.若将Ⅰ级品中该指标小于或等于临界值K的芯片错误应用于A型手机,会导致芯片生产商每部手机损失800元;若将Ⅱ级品中该指标大于临界值K的芯片错误应用于B型手机,会导致芯片生产商每部手机损失400元.假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
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(1)当临界值K=70时,将2个不作该指标检测的Ⅰ级品芯片直接应用于A型手机,求芯片生产商的损失费用ξ(单位:元)的分布列及期望;
(2)设K=x且x∈[50,55],现有足够多的Ⅰ级品和Ⅱ级品芯片,分别应用于1万部A型手机和1万部B型手机的生产:
方案一:芯片不作该指标检测,Ⅰ级品直接应用于A型手机,Ⅱ级品直接应用于B型手机;
方案二:重新检测各芯片的该项指标,并按规定正确应用于手机型号.该方案能避免方案一中的损失费用,但会增加130万元的检测费用.
请求出方案一中损失费用的估计值f(x)(单位:万元)的表达式,并从芯片生产商的成本考虑,选择合理的方案.
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解 (1)当临界值K=70时,Ⅰ级品中该指标小于或等于70的频率为(0.002+0.005+0.023)×10=0.3,
所以将一个不作该指标检测的Ⅰ级品芯片直接应用于一部A型手机,该手
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(2)当临界值K=x且x∈[50,55]时,
若采用方案一:
Ⅰ级品中该指标小于或等于临界值K的频率为0.002×10+0.005×(x-50) =0.005x-0.23,
所以可以估计一万部A型手机中有10 000×(0.005x-0.23)=50x-2 300部手机的芯片应用错误;
Ⅱ级品中该指标大于或等于临界值K的频率为0.01×10+0.03×(60-x)
=-0.03x+1.9,
所以可以估计一万部B型手机中有10 000×(-0.03x+1.9)=19 000-300x部手机的芯片应用错误;
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所以可以估计芯片生产商的损失费用
f(x)=0.08×(50x-2 300)+0.04×(19 000-300x)=576-8x(万元),
即f(x)=576-8x,x∈[50,55].
因为f(x)min=f(55)=136>130,所以芯片生产商从成本考虑,应选择方案二.
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(1)若3月1日有两人选择“共享单车”出行,求其中一人是丙的概率;
(2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为X,求X的分布列与数学期望;
(3)求丙在3月份的第n(n=1,2,…,31)天选择“共享单车”出行的概率Pn,并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”出行的概率大于选择“地铁”出行的概率的天数.
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解 (1)记甲、乙、丙三人3月1日选择“共享单车”出行分别为事件A,B,C,三人中有两人选择“共享单车”出行为事件D,
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即丙在3月份中选择“共享单车”出行的概率大于选择“地铁”出行的概率的天数只有2天.
本 课 结 束(共42张PPT)
专题检测三
2025
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一、选择题
1.(2024·北京昌平二模)已知数列{an}满足an+1=2an,a2=4,则数列{an}的前4项和等于( )
A.16 B.24 C.30 D.62
C
解析 由已知可得,an+1=2an,所以数列{an}是公比为2的等比数列.又因为a2=4,所以a1=2,所以数列{an}的前4项和等于2+4+8+16=30.故选C.
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2.(2024·广东江门一模)已知各项均为正数的等比数列{an}中,若a5=9,则log3a4+log3a6=( )
A.3 B.4 C.8 D.9
B
解析 由各项为正数的等比数列{an},且a5=9,可得a4a6= =81,所以log3a4+log3a6=log3a4a6=log381=4.故选B.
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3.(2024·江苏徐州模拟)若等差数列{an}满足an+an+1=4n+1,则a1=( )
B
解析 设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d,an+1=a1+nd.
因为an+an+1=4n+1,可得an+an+1=2a1+(2n-1)d=2a1-d+2nd,
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4.(2024·河北保定三模)已知在等差数列{an}中,a1=1,公差d>0.若数列
也是等差数列,则d=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
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5.(2024·河北秦皇岛二模)将数列{3n+1}与数列{4n-1}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前30项的和为( )
A.3 255 B.5 250 C.5 430 D.6 235
D
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6.(2024·湖南岳阳三模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2≥a1>0,S20=100,则a10a11( )
A.有最小值25 B.有最大值25
C.有最小值50 D.有最大值50
B
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7.(2024·江苏苏州二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,2an+1=3Sn,若tSn<2n对任意的n∈N*恒成立,则实数t的取值范围为( )
A.(-4,2) B.[-3,2)
C.(-6,2) D.(-3,2]
B
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8.(2024·北京东城二模)设无穷正项数列{an},如果对任意的正整数n,都存在唯一的正整数m,使得am=a1+a2+a3+…+an,那么称{an}为内和数列,并令bn=m,称{bn}为{an}的伴随数列,则下列说法正确的是( )
A.若{an}为等差数列,则{an}为内和数列
B.若{an}为等比数列,则{an}为内和数列
C.若内和数列{an}为递增数列,则其伴随数列{bn}为递增数列
D.若内和数列{an}的伴随数列{bn}为递增数列,则{an}为递增数列
C
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解析 对于选项A,B,令an=1,可知{an}即为等差数列也为等比数列,则a1+a2=2,但不存在m∈N*,使得am=2,所以{an}不为内和数列,故A,B错误;对于选项C,因为an>0,对任意n1,n2∈N*,n1所以其伴随数列{bn}为递增数列,故C正确;对于选项D,例如2,1,3,4,5,…,显然{an}是所有正整数的排列,可知{an}为内和数列,且{an}的伴随数列为递增数列,但{an}不是递增数列,故D错误.故选C.
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二、选择题
9.(2024·广东广州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a6=31,S3=21,则下列说法正确的有( )
BD
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10.(2024·山东滨州模拟)已知{an}是正项等差数列,首项为a1,公差为d,且a1=d,Sn为{an}的前n项和,则下列说法正确的是( )
A.数列{Sn+1-Sn}是等差数列
D.数列{lg an}是等比数列
AC
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11.(2024·福建宁德模拟)“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始,第n行从左至右的数字之和记为an,如a1=1+1=2,a2=1+2+1=4,…,{an}的前n项和记为Sn,依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…,记为{bn},{bn}的前n项和记为Tn,则下列说法正确的有( )
A.S10=1 022
C.b57=66
D.T57=4 150
BCD
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三、填空题
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13.(2024·陕西西安模拟)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,
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14.(2024·广东广州模拟)如图,画一个正三角形A1A2A3,不画第三边;接着画正方形A2A3A4A5,对这个正方形,不画第四边;接着画正五边形A4A5A6A7A8,对这个正五边形,不画第五边;接着画正六边形,…,这样无限画下去,形成一条无穷伸展的等边折线.设线段AnAn+1与线段An+1An+2所夹的角为θn(n∈N*,θn∈(0,π)),则θ10= ,满足θn>174°的最小n值为 .
120°
1 712
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解析 由题意得,θ1=60°,由此类推,θ2=90°,θ3=90°,θ4=108°,θ5=108°, θ6=108°,θ7=120°,θ8=120°,θ9=120°,θ10=120°,…,观察规律,三角形会有1个角,并且角的度数恰好是其内角的度数,正方形有2个90°,正五边形有3个108°,正六边形有4个120°,…,所以正k多边形有(k-2)个
令 >174°,解得k>60,所以k的最小值为61,即满足条件θn>174°的角至少要在正六十一边形中,所以n>1+2+3+4+…+58=1 711,即n的最小值为1 712.
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四、解答题
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当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n(n+2)-2(n-1)(n+1)=4n+2.又由a1=6,适合上式,所以数列{an}的通项公式为an=4n+2.
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16.(15分)(2024·四川成都模拟)已知数列{an}满足a1=1,a2=1,当n≥3时,
(1)求a4和a6,并证明当n为偶数时{an+1}是等比数列;
(2)求a1+a3+a5+…+a29.
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解 (1)因为a1=1,a2=1,
所以a4=2a2+1=3,a6=2a4+1=7.
令k∈N*,
则a2k+2=2a2k+1,a2k+2+1=2(a2k+1).
又a2+1=2,所以当n为偶数时,{an+1}是以2为首项,以2为公比的等比数列.
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(2)由(1)知,a2k+1=(a2+1)2k-1=2k,
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(1)解 因为等差数列{an}中,an=a1+(n-1)d,且a2n+1=2an+2,
所以a1+2nd=2[a1+(n-1)d]+2,即a1+2=2d①.
结合①②,解出d=2,a1=2,
则an=2+(n-1)×2=2n,
所以{an}的通项公式为an=2n.
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18.(17分)(2024·重庆九龙坡模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4+a7=20,S9=27a2.
(1)求{an}的通项公式;
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19.(17分)(2024·湖北武汉模拟)混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中,比如天气预测、种群数量变化和天体运动等等,假设在一个混沌系统中,用xn来表示系统在第n(n∈N*)个时刻的状态值,且该系统下一时刻的状态xn+1满足xn+1=f(xn),0(1)当a=3时,若满足对 n∈N*,有xn=f(xn+1),求{xn}的通项公式;
(2)证明:当a=1时,{xn}中不存在连续的三项构成等比数列;
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(3)证明 当00,f(x)=-x2+x即0因为0所以归纳即知对任意正整数n都有0本 课 结 束(共47张PPT)
专题检测二
2025
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一、选择题
1.(2024·北京房山一模)已知角α的终边经过点(3,4),把角α的终边绕原点O逆时针旋转 得到角β的终边,则sin β=( )
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4.(2024·江苏南通三模)已知三个单位向量a,b,c满足a=b+c,则向量b,c的夹角为( )
C
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5.(2024·四川绵阳三模)若函数f(x)=cos(πx+φ)的图象关于直线x=1对称,在下列选项中,( )不是f(x)的零点.
A
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6.(2024·四川攀枝花三模)将函数y=sin2x-cos2x的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到的图象与y=sin 2x的图象关于原点对称,则m的最小值是( )
B
解析 令f(x)=sin2x-cos2x,则f(x)=-cos 2x.
设f(x)向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,
则g(x)=-cos[2(x-m)]=-cos(2x-2m).
因为g(x)的图象与y=sin 2x的图象关于原点对称,
则有g(x)=-sin(-2x)=sin 2x,
即-cos(2x-2m)=sin 2x,
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8.(2024·黑龙江二模)“不以规矩,不能成方圆”中的“规”指圆规,“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺,今有一块圆形木板,按图中数据,以“矩”量之,若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板,且这块四边形木板的一个内角α满足cos α= ,则这块四边形木板周长的最大值为( )
A
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二、选择题
9.(2024·安徽芜湖二模)在平面直角坐标系xOy中,角θ以坐标原点O为顶点,以x轴的非负半轴为始边,其终边经过点M(a,b),|OM|=m(m≠0),定义
ACD
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对于D,f(θ)g(θ)=(sin θ+cos θ)(sin θ-cos θ)=sin2θ-cos2θ=-cos 2θ.
因为y=cos 2θ为周期函数,故D正确.
故选ACD.
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11.(2024·山东潍坊二模)已知向量a,b,c为平面向量,|a|=1,|b|=2,a·b=0,
|c-a|= ,则( )
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三、填空题
12.(2024·广东茂名一模)如图,△ABC在边长为1的小正方形组成的网格中,
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解析 如图,以点B为坐标原点,建立平面直角坐标系,则A(2,3),C(5,-2).
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13.(2024·湖南长沙模拟)海边近似平直的海岸线上有两处码头A,B,且AB=3 km.现有一观光艇由B出发,同时在A处有一小艇出发向观光艇补充物资,其速度为观光艇的两倍,在M处成功拦截观光艇,完成补给.若两船都做匀速直线运动,观光艇行驶向海洋的方向任意的情况下,小艇总可以设定合适的出发角度,使得行驶距离最小,则拦截点M距离海岸线的最远距离为 .
2 km
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14.(2024·广东佛山二模)如图所示,单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动,角速度大小为2π rad/s,圆上两点A,B始终满足∠AOB= ,随着圆O的旋转,A,B两点的位置关系呈现周期性变化.现定义:A,B两点的竖直距离为A,B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻,即t=0 s时,点A位
于圆心正下方,则t= s时,A,B两点的竖直距离第一次为0;A,B两点的竖直距离关于时间t(单位:s)的函数解析式为f(t)= .
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解析 以O为原点,OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,
由于角速度ω=2π rad/s,
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四、解答题
15.(15分)(2024·北京平谷模拟)已知函数f(x)=sin 2xcos φ-cos 2xsin φ,其中|φ|< ,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件,使f(x)存在,并完成下列两个问题.
(1)求φ的值;
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17.(15分)(2024·湖北武汉二模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c(a(1)求A;
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解 (1)由正弦定理得sin C=2sin Acos Acos B-sin Bcos 2A,
则sin C=sin 2Acos B-sin Bcos 2A=sin(2A-B).
因为C=π-(A+B),
所以sin(A+B)=sin(2A-B),
即A+B=2A-B或A+B=π-(2A-B),
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整理得,b2+4c2+2bc=36,即(b+c)2+3c2=36.
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则a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc.
又因为a所以b2+c2-bc1
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本 课 结 束(共57张PPT)
专题检测五
2025
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一、选择题
1.(2024·四川成都模拟)已知直线l的方向向量是a=(3,2,1),平面α的一个法向量是n=(1,-1,-1),则l与α的位置关系是( )
A.l⊥α
B.l∥α
C.l与α相交但不垂直
D.l∥α或l α
D
解析 因为a=(3,2,1),n=(1,-1,-1),则a·n=3×1+2×(-1)+1×(-1)=0,所以a⊥n.又直线l的方向向量是a,平面α的一个法向量是n,所以l∥α或l α.
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2.(2024·重庆模拟)正四棱锥的侧棱长为 ,底面边长为2,则该四棱锥的体积为( )
C
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3.(2024·山东烟台一模)设a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,下列说法正确的是( )
A.若a∥α,b∥α,则a∥b
B.若a,b与α所成的角相等,则a∥b
C.若α⊥β,a∥α,b∥β,则a⊥b
D.若α⊥β,a⊥α,b⊥β,则a⊥b
D
解析 平行于同一平面的两条直线可能平行,可能相交,也可能异面,故A错误;a,b与α所成的角相等,则a,b可能异面,可能相交,也可能平行,故B错误;α⊥β,a∥α,b∥β,则a,b的位置关系无法判断,故C错误;因为α⊥β,a⊥α,所以a∥β或a β.又b⊥β,所以a⊥b,故D正确.
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4.(2024·湖南长沙二模)蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子,建造和搬迁都很方便.已知蒙古包的造型可近似地看作一个圆柱和圆锥的组合体,已知圆锥的高为2米,圆柱的高为3米,底面圆的面积为64π平方米,则该蒙古包(含底面)的表面积为( )
A
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5.(2024·山东淄博高三期末)已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面边长分别为2和4,若侧棱AA1与底面ABCD所成的角为60°,则该正四棱台的体积为( )
B
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6.(2024·河北唐山一模)已知球与圆台的底面、侧面都相切,且圆台母线与底面所成角为60°,则球表面积与圆台侧面积之比为( )
A.2∶3 B.3∶4 C.7∶8 D.6∶13
B
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解析 设圆台上、下底面圆的半径为r1,r2,母线长为l,球的球心为O,半径为R,作圆台的轴截面ABCD,则四边形ABCD为等腰梯形.设圆O分别切梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA分别于点E,F,G,H.由切线长定理可得AE=AH,DG=DH,故AD=DH+AH=DG+AE,即l=r1+r2.因为∠ABC=60°,
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7.(2024·陕西渭南模拟)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形, PC=AB,E,F分别为PD,BC的中点,则( )
A.PB∥平面AEF B.EF∥平面PAB
C.EF⊥PD D.AF⊥平面PBD
B
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解析 连接BD,交AF于点G,连接EG.因为F为BC的中点,BC∥AD,所以△BFG∽△DAG,所以
又E为PD的中点,所以直线PB与EG相交.又EG 平面AEF,所以PB与平面AEF有公共点,故A错误.取PA的中点H,连接EH,BH,则EH= AD,EH∥AD.
又BF= AD,BF∥AD,所以EH=BF,EH∥BF,所以四边形BFEH是平行四边形,所以EF∥BH.又EF 平面PAB,BH 平面PAB,所以EF∥平面PAB,故B正确.连接PF,DF,若EF⊥PD,E为PD中点,则PF=DF.又CP=CD,所以△PCF≌△DCF,所以∠DCF=∠PCF,即CP⊥CF.由题可知,点P的位置不确定,故C不一定正确.显然AF与BD不垂直,所以直线AF与平面PBD不可能垂直,故D错误.
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8.(2024·辽宁抚顺一模)在三棱锥P-ABC中,AB=AC=4,∠BAC=120°, PA=6,PB=PC=2 ,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为( )
A.100π B.75π
C.80π D.120π
A
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解析 在△BAC中,由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=48,则BC=4因为PA2+AC2=PC2,所以PA⊥AC.同理,PA⊥AB.又AB∩AC=A, AB,AC 平面ABC,则PA⊥平面ABC.设△ABC的外接圆半径为r,所以
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二、选择题
9.(2023·新高考Ⅱ,9)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径, ∠APB=120°,PA=2,点C在底面圆周上,且二面角P-AC-O为45°,则( )
A.该圆锥的体积为π
AC
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所以∠PDO即为二面角P-AC-O的平面角,
所以∠PDO=45°.因为OD 平面AOC,
PO⊥平面AOC,所以PO⊥OD,所以△PDO为等腰直角三角形,所以
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10.(2024·贵州贵阳一模)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P为线段A1C1的中点,点Q为线段BC1上的动点,则下列结论正确的是( )
A.存在点Q,使得PQ∥BD
B.存在点Q,使得PQ⊥平面AB1C1D
C.三棱锥Q-APD的体积是定值
D.存在点Q,使得PQ⊥AC
BD
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解析 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接B1D1.易知BD∥B1D1.
因为点P为线段A1C1的中点,四边形A1B1C1D1为正方形,所以点P为B1D1的中点,所以B1D1∩PQ=P,即B1D1与PQ不平行,所以BD与PQ不平行,故A错误;
连接A1B,易知A1B⊥AB1.由题可知B1C1⊥平面ABB1A1.
因为A1B 平面ABB1A1,所以A1B⊥B1C1.
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又B1C1∩AB1=B1,B1C1,AB1 平面AB1C1D,
所以A1B⊥平面AB1C1D,
所以当PQ∥A1B时,PQ⊥平面AB1C1D.
易知当点Q为BC1中点时,PQ∥A1B,故B正确;
连接AD1,易知BC1∥AD1.
因为AD1∩平面APD=A,所以BC1与平面APD不平行,
所以点Q在线段BC1上运动时,
点Q到平面APD的距离不是定值.
又△APD的面积为定值,
所以三棱锥Q-APD的体积不是定值,故C错误;
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易知AC⊥BD.由题可知BB1⊥平面ABCD,
因为AC 平面ABCD,
所以AC⊥BB1.
又BD,BB1 平面BDD1B1,BD∩BB1=B,
所以AC⊥平面BDD1B1.
又BP 平面BDD1B1,所以AC⊥BP,
所以当点Q与点B重合时,PQ⊥AC,故D正确.
故选BD.
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11.(2024·辽宁沈阳模拟)中国古建筑闻名于世,如图所示的中国传统建筑的屋顶的结构示意图为五面体EFBCDA.若四边形ABCD为矩形,EF∥AB, AB=3EF=3,AD=2,△ADE与△BCF是全等的等边三角形,则( )
ACD
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解析 如图,可将该五面体分割成四棱锥E-AGJD,三棱柱EGJ-FHI,四棱锥F-HBCI三部分,其中G,H是AB的三等分点,I,J是CD的三等分点.因为EF∥AB,AB=3EF=3, △ADE与△BCF是全等的等边三角形,所以由对称性可知点E,F在平面ABCD的投影分别为GJ,HI的中点,
平面EGJ,FHI均垂直于平面ABCD.易得四边形HIJG是矩形,所以易证GH分别垂直于平面EGJ,FHI,所以几何体EGJ-FHI是直三棱柱.由对称性可知四棱锥E-AGJD与四棱锥F-HBCI的体积相等.因为GH⊥平面EGJ,EG 平面EGJ,所以AG⊥EG.由题意AE=2,AG=1,所以
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分别取AD,AB,BC,CD,EF中点P,M,Q,N,O1,连接MN,PQ,交于点O2,连接O1O2.由题可知,点O2为MN,PQ的中点,O1O2⊥平面ABCD,O1O2⊥EF,MN⊥PQ,所以点O2为四边形ABCD外接圆的圆心,O1O2为EF的中垂线,所以该五面体外接球的球心O在直线O1O2上.以点O2为坐标原点,分别以O2M,O2Q,O2O1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
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三、填空题
12.已知圆柱的底面半径为4,侧面面积为16π,则该圆柱的母线长等于 .
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13.(2024·全国甲,理14)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1,下底面半径均为r2,圆台的母线长分别为2(r2-r1),3(r2-r1),则圆台甲与乙的体积之比
为 .
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甲
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14.(2024·江苏南通二模)已知二面角α-l-β为直二面角,A∈α,B∈β,A l,B l,直线AB与平面α,β所成的角分别为 ,直线AB与直线l所成的角
为 .
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解析 如图,作AD⊥l,BC⊥l,垂足分别为D,C,连接BD,AC.
因为α⊥β,α∩β=l,AD α,BC β,所以AD⊥β,BC⊥α,故AD,BC,l两两垂直,所以∠BAC为直线AB与平面α所成的角,∠ABD为直线AB与平面β所成的角,即∠BAC= ,∠ABD= .以D为原点,DA,DC所在直线为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
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四、解答题
15.(13分)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为平行四边形,M,N分别为AB,DD1的中点.
(1)求证:DM∥平面A1BN;
(2)若底面ABCD为矩形,AB=2AD=4,异面直线DM与A1N所成角的余弦值为 ,求点B1到平面A1BN的距离.
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(1)证明 连接AB1,交A1B于点E,连接NE,ME,
则E为A1B的中点.
因为M为AB的中点,所以ME∥AA1,且ME= AA1.
因为N为DD1的中点,
所以DN∥AA1,DN= AA1,
所以ME∥DN,且ME=DN,
所以四边形EMDN为平行四边形,
所以EN∥DM.
又因为DM 平面A1BN,EN 平面A1BN,
所以DM∥平面A1BN.
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(2)解 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AD=4,且四边形ABCD为矩形,
所以AB,AD,AA1两两垂直,以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
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16.(15分)(2024·北京,17)已知四棱锥P-ABCD,AD∥BC,AB=BC=1,AD=3,E是AD上一点,PE⊥AD,DE=PE=2.
(1)若F是PE中点,证明:BF∥平面PCD.
(2)若AB⊥平面PED,求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.
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(1)证明 (方法一)取DE的中点M,连接MF,BM.
∵MD= ED=1,BC∥AD,
∴BC∥MD,且BC=MD,
∴四边形BCDM为平行四边形,∴BM∥CD,
又CD 平面PCD,BM 平面PCD,
∴BM∥平面PCD.
∵MF∥PD,MF 平面PCD,PD 平面PCD,
∴MF∥平面PCD.
又BM∩MF=M,∴平面BMF∥平面PCD.
又BF 平面BMF,∴BF∥平面PCD.
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(2)解 由题意知,AB⊥AE,又AE=BC=1,AE∥BC,
∴四边形ABCE为正方形,∴AB∥CE,又AB⊥平面PED,∴CE⊥平面PED,又PE⊥AD,∴以E为坐标原点,以EC,ED,EP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系,则P(0,0,2),A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,2,0),
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17.(15分)(2024·湖南长沙模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC, AA1=AB=AC=4,D,E分别为A1C1,A1A的中点,F为线段BC上异于端点的一点.
(1)求点B到平面B1CE的距离;
(2)若平面ACC1A1与平面ADF的夹角的余弦值为 ,求直线A1F与平面ADF所成角的正弦值.
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解 (1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,AB⊥AC,所以AB,AC,AA1两两垂直,
以A为原点,AB,AC,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.又AA1=AB=AC=4,所以B(4,0,0),B1(4,0,4),C(0,4,0).
因为E为AA1的中点,所以E(0,0,2),
(2)结合(1),由于D为A1C1的中点,所以D(0,2,4).
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18.(17分)(2024·山东淄博一模)如图,多面体ABCDEF是由一个正四棱锥
A-BCDE与一个三棱锥F-ADE拼接而成,正四棱锥A-BCDE的所有棱长均为3 ,AF∥CD.
(1)在棱DE上找一点G,使得平面ABC⊥平面AFG,并给出证明;
(2)当AF= CD时,求点F到平面ADE的距离;
(3)若AF= CD,求直线DF与平面ABC所成角的正弦值.
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解 (1)当点G为DE中点时,平面ABC⊥平面AFC.
证明如下:因为四棱锥A-BCDE是正四棱锥,
所以AD=AE,AG⊥DE.
在正方形BCDE中,DE∥BC,所以AG⊥BC.
在正方形BCDE中,CD⊥BC,因为AF∥CD,
所以AF⊥BC.
又AF∩AG=A,AF,AG 平面AFG,
所以BC⊥平面AFG.
因为BC 平面ABC,
所以平面ABC⊥平面AFG.
(2)设DE中点为G,连接BD,CE交于点O,连接AO,OG,则AF∥OG.
又AF= CD,所以OG=AF,
所以四边形AOGF为平行四边形.
又因为四棱锥A-BCDE是正四棱锥,
所以AO⊥平面BCDE,
所以四边形AOGF为矩形,所以AF⊥FG.
因为AF∥OG,OG⊥DE,所以AF⊥DE.
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又DE∩FG=G,DE,FG 平面DEF,
所以AF⊥平面DEF.
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(3)因为四棱锥A-BCDE是正四棱锥,所以OC,OD,OA两两垂直.以O为原点,OC,OD,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,3),B(0,-3,0),C(3,0,0),D(0,3,0),F(-1,1,3),所以
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19.(17分)如图1,在平行四边形ABCD中,D=60°,DC=2AD=2,将△ADC沿AC折起,使点D到达点P位置,且PC⊥BC,连接PB得三棱锥P-ABC,如图2.
(1)证明:平面PAB⊥平面ABC;
(2)在线段PC上是否存在点M,使平面AMB与平面MBC的夹角的余弦值为
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(1)证明 由题可知,∠APC=60°,PC=2AP=2,易证PA⊥AC,所以BC⊥AC.
又PC⊥BC,AC∩PC=C,AC,PC 平面PAC,
所以BC⊥平面PAC.
因为PA 平面PAC,则PA⊥BC.
又AC∩BC=C,AC,BC 平面ABC,
所以PA⊥平面ABC,
所以平面PAB⊥平面ABC.
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(2)解 存在.
由(1)知,PA,BC,AC两两垂直.
以A为原点,过点A平行于BC的直线为x轴,AC,AP所在直线为y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,1),C(0, ,0),B(-1, ,0),
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本 课 结 束(共44张PPT)
专题检测六
2025
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一、选择题
1.(2024·河南郑州三模)已知直线Ax+By+C=0与直线y=2x-3垂直,则下列结论正确的是( )
A.A=-2B≠0 B.A=2B≠0
C.B=-2A≠0 D.B=2A≠0
D
解析 直线y=2x-3的斜率为2,又两直线互相垂直,所以直线Ax+By+C=0的斜率为 且A≠0,B≠0,所以B=2A≠0.故选D.
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2.(2024·江西临川二模)若抛物线y2=2mx的准线经过双曲线x2-y2=2的右焦点,则m的值为( )
A.4 B.-4 C.2 D.-2
B
解析 双曲线x2-y2=2的右焦点为(2,0),所以抛物线的准线为x=2,∴ =2,解得m=-4.故选B.
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4.(2024·河北唐山三模)下列可以作为方程x3+y3=3xy的曲线的是( )
A
B
C
D
B
解析 当x<0时,x3=3xy-y3=y(3x-y2)<0,若y<0,则3x-y2>0,即y2<3x<0,不符,故x<0与y<0不可能同时成立,故A,C,D错误.故选B.
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5.(2024·山东泰安二模)设抛物线x2=4y的焦点为F,过抛物线上点P作准线的垂线,设垂足为Q,若∠PQF=30°,则|PQ|=( )
A
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解析 如图,∵O为线段F1F2的中点,B为线段AF1的中点,∴OB∥AF2.又OB⊥x轴,∴AF2⊥x轴.在Rt△AF1F2中,∠AF1F2=,设|AF2|=t,则|AF1|=2t,
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7.(2024·广东佛山模拟)已知P为抛物线y2=8x上一点,过点P作圆C:
(x-5)2+y2=1的两条切线,切点分别为M,N,则cos∠MPN的最小值为( )
D
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二、选择题
9.(2024·江苏苏州三模)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l:y=x-1与抛物线C相交于A,B两点,O为坐标原点,则下列结论正确的有( )
A.p=2 B.OA⊥OB
C.|AB|=8 D.
ACD
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10.(2024·湖南邵阳模拟)已知点P(4m+3,-3m-4),点Q在圆C:(x-1)2+y2=1上,则下列结论正确的有( )
A.点P在直线3x+4y+7=0上
B.点P可能在圆C上
C.|PQ|的最小值为1
D.圆C上有2个点到点P的距离为1
AC
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解析 由题意可知,圆C:(x-1)2+y2=1的圆心为C(1,0),半径为r=1.对于A,将点P(4m+3,-3m-4)代入3x+4y+7=0,成立,所以点P在直线3x+4y+7=0上,故A正确;对于B,因为圆心C到直线3x+4y+7=0的距离 =2>r,可知直线3x+4y+7=0与圆C相离,结合选项A可知,点P不可能在圆C上,故B错误;对于C,结合选项B可知|PQ|的最小值为d-r=1,故C正确;对于D,因为d=r+1,可知圆C上有且仅有1个点到点P的距离为1,故D错误.故选AC.
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11.(2024·湖北武汉模拟)已知双曲线 的左、右顶点分别为A1,A2,左、右焦点分别为F1,F2,直线l与双曲线的左、右两支分别交于P,Q两点,则下列结论正确的有( )
ACD
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此时Δ=-8<0,所以直线与双曲线无公共点,
说明此时直线不存在,故B错误.
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三、填空题
12.(2024·安徽马鞍山模拟)直线3x+4y+2=0在x轴上的截距是 .
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13.(2024·北京东城模拟)已知焦点在x轴上的椭圆 与抛物线y2=4x,椭圆的右焦点与抛物线的焦点均为F,A为椭圆上一动点,椭圆与抛物线的准线交于P,Q两点,则S△APQ的最大值为 .
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14.(2024·山西吕梁三模)设抛物线y2=4x的焦点为F,过点T(2,0)的直线l与抛物线交于A,B两点,与y轴的负半轴交于点C,已知S△BCF∶S△ACF=1∶2,则|BF|= .
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四、解答题
15.(13分)(2024·浙江余姚期末)已知抛物线C的顶点是坐标原点O,而焦点是双曲线4x2-y2=1的右顶点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若直线l:y=x-2与抛物线相交于A,B两点,求直线OA与OB的斜率之积.
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设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-4,y1+y2=2.
又x1=y1+2,x2=y2+2,
所以x1x2=(y1+2)(y2+2)=y1y2+2(y1+y2)+4=-4+2×2+4=4.
故直线OA与OB的斜率之积为-1.
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16.(15分)(2024·辽宁大连期中)已知圆M的圆心与点N(-1,4)关于直线
x-y+1=0对称,且圆M与y轴相切于原点O.
(1)求圆M的方程;
(2)若在圆M中存在弦AB,|AB|=4,且弦AB的中点P在直线2x+y+k=0上,求实数k的取值范围.
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解 (1)设点M的坐标为(a,b),
∵圆M与y轴相切于原点O,
∴圆M的方程为(x-3)2+y2=9.
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17.(15分)(2024·山东潍坊模拟)在平面直角坐标系Oxy中,已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线E上在第一象限内的动点.当直线AF的倾斜角为 时,|AF|=4.
(1)求抛物线E的方程;
(2)已知点D(2,2),B,C是抛物线E上不同两点,若四边形ABCD是平行四边形,证明:直线AC过定点.
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(2)证明 设直线AC的方程为x=my+n,A(x1,y1),C(x2,y2),B(x0,y0).
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18.(17分)(2024·河北石家庄二模)已知M为平面上一个动点,点M到定直线x=1的距离与到定点F(2,0)的距离之比等于 ,记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程.
(2)过点F的直线l与曲线C交于A,B两点,在x轴上是否存在点P,使得
为定值 若存在,求出该定值;若不存在,请说明理由.
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(2)存在.
如图,当直线l的斜率不为0时,设其方程为x=my+2.
由于直线与双曲线的交点有两个,则直线不能与渐近线平行,渐近线斜率为
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19.(17分)(2024·辽宁丹东二模)已知椭圆E: 的左、右顶点分别为A,B,过点A的直线与椭圆E交于点P,点Q在椭圆E上,AP⊥AQ.
(1)设直线AP,PB的斜率分别为k,k1,求证:k·k1为定值;
(2)求△APQ面积的最大值.
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