10.5角的平分线（2）学案（含答案）

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2024-2025学年度七下第十章三角形的有关证明
10.5角的平分线（2）
【学习目标】
角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用.
【自主学习】
1.用直尺和圆规作角的平分线
（要求：保留作图痕迹，不写做法） A
2.已知：如图△ABC，
(1)请用直尺和圆规作出三条角平分线.
(2)观察作出的这三条角平分线有什么性质：
【课堂练习】
知识点一: 角平分线的性质定理的应用 B C
1.如图，△ABC的角平分线BM、CN交于点P，求证：点P到△ABC三边的距离相等.
证明：过点P 作PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F. （把辅助线补充完整）
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD = .同理：PE = .
∴PD = = .
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
知识点二: 三角形的角平分线的性质定理
2.如图,OP为∠AOB的角平分线,PC⊥OA,PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( )
A.PC=PD B.∠CPO=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD
3.△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC交AC边于点D,∠BDC=75°,则∠A的度数 .
(
第2题图
)
(
第4题图
) (
第2题图
)
4.已知：如下图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，
且BD∶CD=9∶7，求：D到AB边的距离.
【当堂达标】
1..如图,在△ABC中,OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,若△ABC的周长是20,且△ABC的面积为60,则OD= .
(
第3题图
) (
第1题图
)
2.如图所示，DB⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF=_______.
3.如图,在CD上求一点P,使它到边OA,OB的距离相等，则点P是 ( )
A.线段CD的中点 B.CD与过点O作CD的垂线的交点
C.CD与∠AOB的平分线的交点 D.以上均不对
4.已知:如图所示,∠C=900, ∠B=300,AD是Rt△ABC的角平分线.求证:BD=2CD
【课后拓展】
5.如图，在△ABC中，AC = BC，∠C = 90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。
（1）已知CD =cm，求AC的长；（2）求证：AB = AC + CD。
10.5 角的平分线（2）
【课堂练习】
1.略 2D 3. 40°
4.解：过点D作DE⊥AB，则DE是点D到AB的距离∵BD：CD＝9：7，
∴CD＝BC ＝14，
∵AD平分∠CAB，∴DE＝CD＝14．
【当堂达标】
1. 15 2. 150° 3.略
4.解：（1）∵AD是∠CAB的角平分线，
∴DE＝CD＝．
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC（等边对等角），
∵：∠C＝90°，
∴∠B＝×（180°﹣90°）＝45°，
∴∠BDE＝90°﹣45°＝45°，
∴BE＝DE（等角对等边）．
在等腰直角△BDE中，由勾股定理得BD＝＝2．
∴AC＝BC＝CD+BD＝+2；
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