第十章 三角形的有关证明 复习学案（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
七年级数学下册第十章复习学案
【学习目标】
了解三角形全等的识别方法和三角形全等的性质，能够证明与等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线相关的性质定理和判定定理.
理解互逆命题、互逆定理，体会反证法的含义.
能够利用尺规作图作等腰三角形、直角三角形、已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线.
【课堂梳理】知识点一 全等三角形
1.判断三角形全等的方法：①（三个公理）______、______、_____、②（一个定理）_____.
2.全等三角形的性质：①线段相等：对应边相等、对应边上的____、对应中线、__相等.
②角相等： 相等.注：利用全等三角形证明线段或角相等
知识点二 等腰三角形
3.等腰三角形性质：①定理： .(等边对等角）②推论： （三线合一）
4.等腰三角形的判断方法：①定义： .②定理： .(等角对等边）
知识点三 等边三角形
5.等边三角形概念： .
6.等边三角形的性质：①等边三角形的三条边_（边）②等边三角形的三个内角都等于__.
7.等边三角形的判定：①______相等的三角形是等边三角形.
②三个角相等的三角形是 .
③有一个角等于____的等腰三角形是等边三角形.
注：等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质.
知识点四 直角三角形
8.直角三角形的性质①直角三角形的两个锐角 ②直角三角形两条直角边的平方和等于
③在直角三角形中，如果有一个锐角等于__，那么它所对的直角边等于斜边的 .
9.直角三角形的判定：①有两个角 的三角形是直角三角形.
②如果三角形两边的平方和等于 ，那么这个三角形为直角三角形.
10.直角三角形全等的判定方法：（HL） . 注：（HL）只适用于直角三角形.
知识点五 线段垂直平分线
11.段垂直平分线的定理： 12.线段垂直平分线的逆定理：
13.三角形垂直平分线定理： .
知识点六 角平分线
14.角平分线的定理： 15.角平分线的逆定理： 16.三角形角平分线定理：
注：若一个点到三角形三边以及到三角形三个顶点的距离相等，这个点一定为三角形三边垂直平分线与三个内角角平分线的交点.
【典型例题】
考点一 等腰三角形
典型例题1.(2018.绥化）已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为 .
跟踪训练1.(1)如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=65°，D是边BC上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是( )
A.120° B.130° C.145° D.150°
(2)如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为( )
A.(1.1) B. C. D.
典型例题2.一个等腰三角形的两边长分别为4cm,9cm则它的周长为 .
跟踪训练2.等腰三角形的一条边长为6，另一条边长为13，则它的周长为 .
考点二 线段的垂直平分线
典型例题3.（2018.黄冈）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是 .
跟踪训练3.（2018.吉林）如图，在△ABC中，AB＝AC=6，BC=4，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则△BEC的周长是 .
典型例题4.已知O是锐角△ABC三边垂直平分线的交点，∠A=55°，则∠BOC的度数 .
跟踪训练4如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，ED是AC的垂直平分线，交AB于点F.若∠A=50°，则∠FCB的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
跟踪训练5.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE=DF=，则线段BE的长为___________.
考点三 线段的垂直平分线
典型例题5.（2016.浙江）在△ABC中，∠C ＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，BD＝8cm，那么点D到线AB的距离是 .
跟踪训练6.如图，点D为∠AOB的平分线OC上的一点，DE⊥AO于点E．若DE＝4，则D到OB的距离为 .
考点四 勾股定理及其逆定理
典型例题6.AB⊥CD，且AB＝CD，E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝8，BF＝6，AD＝10，则EF的长为 .
跟踪训练7.下列各组线段能构成直角三角形的是（ ）
A.30,40,50 B.7,12,13 C.5,9,12 D.3,4,6
【巩固训练】
选择题
以下列各组数为边长的三角形中，是直角三角形的有（ ）
①3，4，5；②；③0.3，0.4，0.5；④10，13，16
A .1个 B.2个 C .3个 D .4个
如图，在△ABD中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，∠B＝30°，AD＝AC，∠BAC的度数为（　　）
A．80° B．85° C．90° D．105°
3.如图，△ABC是等腰直角三角形AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是底边BC上的高．BC＝10米，则AD的长是（　　）
A．5米 B．5米 C．8米 D．10米
4.如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
5.AD∥BC，∠D=，AP平分∠DAB，PB平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的关系是（ ）
A．PD>PC B．PD6.如图，AB∥CD，∠BED＝63°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB的度数是（　　）
A．147° B．147.5° C．148° D．148.5°
如图，AE∥CD，△ABC为等边三角形，若∠CBD＝15°，则∠EAC的度数是（　　）
A．60° B．45° C．55° D．75°
8．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（　　）
A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP
二.填空题
9．在△ABC中，∠C=90 ，BD是∠ABC的平分线.已知，AC=32，且AD：DC=5：3，则点D到AB的距离为_______.
10.如图，ΔABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将ΔABD分为三个三角形，则S：S：S等于______.
三．解答题
11．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．
12.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E点，求PE的长．
13.如图，在△ABC中，角BAC的平分线与边BC的垂直平分线相交于点D，过点D作AB，AC(或延长线)的垂线，垂足分别为M，N.求证：BM=CN.
第十章复习答案
典型例题1. 50°或80° 跟踪训练1.(1)B (2)D
典型例题2. 22cm 跟踪训练 2. 32
典型例题3. 13 跟踪训练3.10
典型例题4. 110° 跟踪训练 4.B 跟踪训练 5.3
典型例题5. 4cm 跟踪训练6.4
典型例题6. 4 跟踪训练7.A
达标测试
B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. D 7. B 8. D 9 . 12 10.2:3:4
13.证明：连接BP，CP，如图，
∴PE是BC的垂直平分线，
∴BP＝CP，
∵AP是∠BAC的平分线，PM⊥AB，PN⊥AC，
∴PM＝PN，
在Rt△BMP和Rt△CNP中，
，
∴Rt△BMP≌Rt△CNP（HL），
∴BM＝CN
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)