8.3基本事实与定理学案（含答案）

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2024-2025学年度七下第八章平行线的有关证明
8.3 基本事实与定理
【学习目标】
1.了解公理、定理的含义，并了解本教科书所采用的公理.
2.了解证明一个命题的主要步骤，以及每一步的依据.
【自主学习】
1.什么是真命题？
通过什么来说明一个命题是真命题？
3.证明过程的每一步必须做到“有据可依”，它们可以是已知条件，也可以是定义、基本事实或已经学过的定理.在书写证明过程中，要求把依据写在每一步推理后面的括号内，今后可以逐渐淡化.
【课堂练习】
知识点一 公理、定理的概念
此外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理．
例如，“在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替”，简称为“等量代换”．
反思：公理与定理有何作用？
知识点二 八条基本事实
1.两点确定一条直线.2.两点之间线段最短.
3.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
4.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 8.三边分别相等的两个三角形全等.
知识点三 证明的基本格式与步骤
3.在等式或不等式中，一个量用相等的量来代替，简称为 .
4.证明一个命题的正确性要按 、 、 的顺序和格式写出.
5．证明过程中推理的依据
证明的每一步都要有根据，不能想当然．证明的依据可以是：
⑴已知条件、已证过的或者已作的（即利用辅助线作出的）．
⑵定义、公理以及已经证明的定理（课本中以黑体字的形式给出）．
⑶等式的有关性质（包括等量代换）、不等式的有关性质等．
6．证明的一般步骤
证明一个命题是真命题，一般按如下步骤进行：
⑴根据题意正确画出图形． ⑵根据条件、结论并结合图形，写出“已知”和“求证”．
⑶通过分析，探索出由“已知”推出“求证”的途径．
⑷用数学符号和数学语言条理清楚地写出证明的过程．
【当堂达标】
1.下列说法中，不正确的是 ( )
A.命题是判断一件事情的句子B.要证一个命题是假命题，只要举出一个反例即可
C.基本事实正确与否必须用推理的方法来证实D.定理正确与否必须用推理的方法来证实
2.下列命题，是定理的是( )
A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线
C.三角形三个内角的和是180° D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
3.过一点画已知直线的平行线（ ）
A.有且只有一条 B.不存在 C.有两条 D.不存在或有且只有一条
4.下列语句 ：①不相交的两条直线叫平行线；②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行；③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行；④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行.正确的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5.如果AB⊥EF,CD⊥EF,那么AB∥CD,这一推理是 ( )
A.垂直定义 B.假命题 C.等量代换 D.垂直于同一条直线的两条直线互相平行
6.如图,一扇窗户打开后,用窗钩AB可将其固定,这里所运用
的几何原理是()
A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短
C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短
【课后拓展】
证明：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.（作图，写出已知，求证，证明）
8.3基本事实与定理
【当堂达标】
1-6 C D D B C A
【课后拓展】
7.求证：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。
解答：已知：OC平分∠AOB，点P为OC上任一点，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.求证：PE=PF
证明：∵OC平分∠AOB，∴∠POE=∠POF，
∵PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴∠PEO=∠PFO=90 ，
在△PEO和△PFO中 ∠PEO=∠PFO，∠POE=∠POF，OP=OP
∴△PEO≌△PFO(AAS)，∴PE=PF.所以角平分线上的点到这个角的两边距离相等。
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