9.5相似三角形判定定理的证明学案（含答案）

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2024--2025学年度八年级数学下册第九章学案
9.5相似三角形判定定理的证明
【学习目标】：
1.了解相似三角形判定定理会证明相似三角形判定定理；
2.掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力.
【知识梳理】
1.两角 的两个三角形相似.
2.两边 且 的两个三角形相似.
3.三边 的两个三角形相似.
【典型例题】
知识点一：两角分别相等的两个三角形相似.
1.已知：如图,∠ABD=∠C，AD=3, AC=9，求AB.
知识点二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
2.如图,△ABC,AB=12,AC=15,D为AB上一点,且AD=23AB,在AC上取一点E,使以A. D. E为顶点的三角形与ABC相似,则AE等于( )
A. 6.4 B. 10
C. 6.4或10 D. 以上答案都不对
知识点三：定理 三边成比例的两个三角形相似.
3.下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）
【巩固训练】1.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　）
=　　B. 　　C. 　　D.
2如图，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝10，P为CD边上的动点，当DP＝　 　时，△ADP与△BCP相似
3.如图，在等边三角形 ABC 中， D， E， F 分别是三边上的点， AE = BF = CD，那么△ABC 与△DEF 相似吗？ 请证明你的结论.
4.已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC∽ΔEAD.
【拓展延伸】
5.如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE．
（1）求证：△ABC∽△AEB；
（2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．
6.如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝6，CE＝3．
（1）求CD的长；
（2）求证：△CDE∽△BDC．
9.5 相似三角形判定定理的证明
【典型例题】
1.3√3 2.C 3.B
【巩固训练】
1.A 2. 2或8或5
3.△ABC与△DEF相似，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∵AE=BF=CD，
∴EB=FC=DA，
在△AED和△BEF中
∵
∴△AED≌△BEF(SAS)，
同理可得：△AED≌△BEF≌△CFD，
∴ED=EF=FD，
∴△EFD是等边三角形，
∴∠EFD=∠A=∠B=∠FDE=60 ，
∴△ABC∽△EFD.
4. 证明：∵AD=DB，
∴∠B=∠BAD.
∵∠BDA=∠1+∠C=∠2+∠ADE，
又∵∠1=∠2，
∴∠C=∠ADE.
∴△ABC∽△EAD.
【拓展延伸】
5. （1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ACD＝∠BCA，
∵∠ACD＝∠ABE，
∴∠BCA＝∠ABE，
∵∠BAC＝∠EAB，
∴△ABC∽△AEB；
（2）解：∵△ABC∽△AEB，
∴＝，
∵AB＝6，AC＝4，
∴＝，
∴AE＝＝9．
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