江苏省江阴市四校2015-2016学年高二下学期期中考试数学（文）试题

2015-2016学年第二学期高二期中考试数学学科
（文科）试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分
1．命题，则：　 ．
2．已知复数 （为虚数单位），则=　 　．
3．设全集，若，则集合B的个数是　　　　　　．
4．已知复数 在复平面内的对应点分别为点A、B，则A、B的中点所对应的复数是　 　．
5．已知，那么的解析式为　 ．
6．已知，其中 是虚数单位，则=　　　　　．
7．函数的定义域为　 　．
8． 函数的值域为　　 ．
9．若函数在 上的值域为，则　 　．
10．若命题“存在”为假命题，则实数的取值范围是　 　．
11. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是　 　．
12. 记为区间的长度．已知函数，其值域为，则区间的长度的最小值是　 　．
13．观察下列各式9﹣1=8，16﹣4= ( http: / / www.21cnjy.com )12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为　 　．
14．设表示不超过的最大整数，如．若函数
，则的值域为 ．
二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）
已知．
（1）求A∩B及A∪C；
（2）若U=R，求A∩ U（B∩C）
16．（本小题满分14分）
已知复数满足：，求的值．
17．（本小题满分15分）
设为实数，给出命题关于的不等式的解集为，命题函数的定义域为，若命题为真，为假，求实数的取值范围．
18．（本小题满分15分）
“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度 （单位：尾/立方米）的函数．当不超过4尾/立方米时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数，当达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，的值为0千克/年．
（1）当时，求关于的函数表达式；
（2）当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值．
19．（本小题满分16分）
若为二次函数，和3是方程的两根，
（1）求的解析式；
（2）若在区间上，不等式有解，求实数的取值范围．
20．（本小题满分16分）
已知函数且的定义域为或．
（1）求实数的值；
（2）设函数，对函数定义域内任意的，若，求证：；
（3）若函数在区间上的值域为，求的值．
2015-2016学年第二学期高二期中考试数学试题
（文科）参考答案
一、填空题：
1. 2. 5 3. 4 4.
5. 6. 1　 7. 8.
9. 10. 11. 12. 3
13. 14.
二、解答题：
15.解：（1）集合A中的不等式解得：x≥3或x≤﹣3，即A={x|x≥3或x≤﹣3}；--2分
集合C中的不等式解得：﹣2＜x＜6，即C={x|﹣2＜x＜6}，-------- -------------4分
∴A∩B={x|3≤x≤7}，----------------------- ------------------------------6分
A∪C={x|x≤﹣3或x＞﹣2}；-----------------------------------------------8分
（2）∵B∩C={x|﹣1＜x＜6}，-----------------------------------------------10分
全集U=R，∴ U（B∩C）={x|x≤﹣1或x≥6}，--------------------------------12分
则A∩ U（B∩C）={x|x≥6或x≤﹣3}．--------------------------------------14分
16.解：设z=a+bi（a，b∈R），---------------------------------------------2分
而|z|=1+3i﹣z，即，-------------------------------4分
则-----------------------------------------------------6分
解得，z=﹣4+3i，--------------------------------------------------8分
∴==1．-------------14分
17.解：命题p：|x﹣1|≥0，∴，∴a＞1；---------------------4分
命题q：不等式的解集为R，∴，解得；---------------------------------------------------------------8分
若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；----------------------10分
p真q假时，，解得a≥8；----------------------------------12分
p假q真时，，解得；-----------------------------------14分
∴实数a的取值范围为：．----------------------------15分
18.解　（1）由题意得当0＜x≤4时，v=2； ----------------------------------2分
当4＜x≤20时，设v=ax+b，
由已知得：，解得：，所以v=﹣x+，---------------------4分
故函数v=；-------------------------------------------6分
（2）设年生长量为f（x）千克/立方米，
依题意并由（1）可得f（x）= -----------------------8分
当0＜x≤4时，f（x）为增函数，故f（x）max=f（4）=4×2=8；-----------------10分
当4＜x≤20时，f（x）=﹣x2+x=﹣（x2﹣20x）=﹣（x﹣10）2+，
f（x）max=f（10）=12.5．-- ( http: / / www.21cnjy.com )------------------------------------------------12分
所以当0＜x≤20时，f（x）的最大值为12.5．-------------------------------14分
即当养殖密度为10尾/立方 ( http: / / www.21cnjy.com )米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．--------------------------------------------------------------------15分
19. 解：（1）设二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a≠0），
由f（0）=1可得c=1，------------------------------------------------------2分
故方程f（x）﹣x﹣4=0可化为ax2+（b﹣1）x﹣3=0，
∵﹣1和3是方程f（x）﹣x﹣4=0的两根，
∴由韦达定理可得﹣1+3=﹣，﹣1×3=，解得a=1，b=﹣1，
故f（x）的解析式为f（x）=x2﹣x+1；----------------------------------------8分
（2）∵在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞2x+m有解，
∴m＜x2﹣3x+1在区间[﹣1，1]上有解，--------------------------------------10分
故只需m小于函数g（x）=x2﹣3x+1在区间[﹣1，1]上的最大值，
由二次函数可知当x=﹣1时，函数g（x）取最大值5，--------------------------14分
∴实数m的取值范围为（﹣∞，5）------------------------------------------16分
20.解：（1）m=2时，解得，x＞2，或x＜﹣2；∴m=2；-----------------1分
（2）证明：， ( http: / / www.21cnjy.com )；------------2分
∴g（x1）+g（x2）==；
( http: / / www.21cnjy.com )=；
∴；------------------------------------6分
（3）；
∴①若a＞1，f（x）在（a﹣4，r）上单调递减；
∴；
∴；∴；∴；-----------------------------12分
②若0＜a＜1，f（x）在（a﹣4，r）上单调递增；
∴；
∴；
∴，或（舍去）；∴．-----------------16分