江苏省江阴市四校2015-2016学年高二下学期期中考试数学（理）试题

2015-2016学年第二学期高二期中考试数学学科试题
一、填空题：（共14小题，每小题5分，共70分）
1．“因为四边形是矩形，所以四边形的对角线互相平分且相等”，补充以上推理的大前提为 　 ．
2.“无理数是无限小数，而是无限小数，所以是无理数。”
这个推理是 _推理（在“归纳”、“类比”、“演绎”中选择填空）
3.已知,则x= .
4.设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为________.
5．用反证法证明命题：“在一个三角形的三个内角中，至少有二个锐角”时，
假设部分的内容应为____________________________．
7.已知平行四边形OABC(逆时针）的顶点A、B分别对应复数.O为复平面的原点，
那么顶点C对应的复数是____________
8.用数学归纳法证明“”，从推导时原等式的
左边应增加的项数是 ．
9.已知，且（为虚数单位），则的最大值为 .
10．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任）要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有_________种（用数字作答)
11.设等边的边长为,是内任意一点,且到三边、、的距离分别为、、,则有为定值;由以上平面图形的特性类比到空间图形:设正四面体的棱长为,是正四面体内任意一点,且到平面、平面、平面、平面的距离分别为、、、h4，则有+h4为定值___________________.
12.已知扇形的圆心角为2α（定值），半径为r（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为，则按图二作出的矩形面积的最大值为______．
13.观察下面的数阵, 第30行第20个数是 .
1
2 3 4
5 6 7 8 9
11 12 13 14 15 16
18 19 20 21 22 23 24 25
… … … … … … … … …
14.已知实数，从不等式，
启发我们推广为，则“（ ）”中应填写___________．
ww w.k s5 u.co m
二、解答题：（本大题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本题14分）已知复数在复平面内表示的点为A，
实数m取什么值时，
（1）若复数为纯虚数，求实数的值；
（2）若点在第二象限，求实数的取值范围；
（3）求的最小值及此时实数的值．
（本题14分、第1题6分、第2题8分）
（1）已知a,b都是正数，求证：。
（2）已知，证明：．
17．（本题共14分）试问函数是否为周期函数？请证明你的结论．
18.（本题16分、第一小题4分，第二小题6分，第三小题6分）
已知集合A=
⑴求集合A中复数所对应的复平面内动点坐标满足 的关系？并在复
平面内画出图形
⑵若，求的最大值、最小值，并求此时的复数z
⑶若B=，且，求实数的取值范围.
19．（本题共16分，第一小题6分，第二小题5分，第三小题5分）
用这六个数字组成无重复数字的正整数．
（1）共有多少个四位数？其中偶数有多少个？
（2）比4301大的四位数有多少个？
（3））求所有这些四位数之和． 注：以上结果均用数字作答
20．（本题共16分，第一小题8分，第二小题8分）
数列中，.
（Ⅰ）求；（Ⅱ）猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明.
2015—2016学年度高二（下）期中考试数学学科试题参考答案
一、填空题：（共14小题，每小题5分，共70分）
1．矩形的对角线互相平分且相等 2.演绎 3.1或3
4. 2 5．在一个三角形的三个内角中，至多有一个锐角 6.-1320
7. 3+5i 8. 2k 9. 10．420
12． 13. 861 14.
ww w.k s5 u.co m
二、解答题：（本大题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本题14分）已知复数在复平面内表示的点为A，
实数m取什么值时，
（1）若复数为纯虚数，求实数的值；
（2）若点在第二象限，求实数的取值范围；
（3）求的最小值及此时实数的值．
解：（1）由……………………2分
解得……………………………………2分 注：未舍解的扣2分
（2）由……………………………2分
解得或………………2分
（3）
令，……………2分
则………2分
所以当即时，………………1分
有最小值．………………………1分
（本题14分、第1题6分、第2题8分）
（1）已知a,b都是正数，求证：。
（2）已知，证明：．
证明：
（2）要证
只要证
即要证
即要证
即要证
因为，所以
所以．
17．（本题共14分）
试问函数是否为周期函数？请证明你的结论．
解：函数不是周期函数．………………………………………………3分
证明如下：（反证法）
假设函数的一个周期为，则有成立，
即对一切实数均成立．……………………………………3分
取和得，………………………………………5分
此与相矛盾………………………………………………………………………1分
所以假设不成立…………………………………………………………………………1分
于是可知，函数不是周期函数………………………………………1分
18.已知集合A=
⑴求集合A中复数所对应的复平面内动点坐标满足 的关系？并在复
平面内画出图形
⑵若，求的最大值、最小值，并求此时的复数z
⑶若B=，且，求实数的取值范围.
解：⑴∵ ∣z∣= ∴ ≤1 ………………2分
∴ +≤1（其中图1分） …………………4分
⑵的几何意义表示：
圆+=1及其内部的点到点A（1，1）的距离…………………6分
∵ ⊙O的半径r=1，OA=
∴ 最大值=，此时，z=--i………………8分
最小值=，此时，z=+i………………10分
⑶∣z–ai∣≤2表示以C（0，a）为圆心，2为半径的圆及其内部………12分
∵ ∴ OC≤R-r ………………14分
∴ ∣a∣≤2-1 ∴ -1≤a≤1 ………………16分
19．（本题共3小题，第一小题6分，第二小题5分，第三小题5分，共16分）
用这六个数字组成无重复数字的正整数．
（1）共有多少个四位数？其中偶数有多少个？
（2）比4301大的四位数有多少个？
（3））求所有这些四位数之和．注：以上结果均用数字作答
解：（1）四位数：300个……………………………………………3分
四位偶数：156个…………………………………………3分
（2）83个……………………………………………………………5分
（1+2+3+4+5）××103 +(1+2+3+4+5)××(102+10+1) = 15×65328 = 979920 …5分
20．数列中，.
（Ⅰ）求；（Ⅱ）猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明.
解：（Ⅰ）∵，∴，即a1＝1………………………2分
∵，即a1＋a2＝4―a2―1，∴a3＝1，　　　 ……………4分
∵，即a1＋a2＋a3＝4―a3―，∴a3＝，…………………6分
∵，即a1＋a2＋a3＋a4＝4―a4―，∴a3＝，…………8分
（Ⅱ）猜想 ………………………10分
证明如下：①当n＝1时，a1＝1，此时结论成立； …………………12分
②假设当n＝k（k∈N*）结论成立，即，
那么当n＝k＋1时，有
,这就是说n＝k＋1时结论也成立.
综上所述，对任何n∈N*时. …………16分