江苏省江阴市四校2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题

2015—2016学年第二学期高一期中考试数学试题
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）
1. 不等式的解集为 ▲
2. 已知中，，，，那么 ▲
3.在等比数列中，已知，，则 ▲ .
4．数列满足则 ▲ ．
5．若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0平行，则实数a＝ ▲ .
6．已知二次函数 ,若且恒成立，则实数的取值范围是_______▲__________．
7.的内角A、B、C的对边分别为，，外接圆半径为，则____▲________
8.若直线的斜率的变化范围是，则的倾斜角的范围为 ▲ .
9．在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为__▲___．
10. 数列满足，则数列的通项公式为 ▲
11．已知关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（3，+∞），则关于x的不等式＞0的解集是　____▲_____　．
12. 一船以24km/h的速度向正北方 ( http: / / www.21cnjy.com )向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30 方向上，15min后到点B处望见灯塔在船的北偏东75 方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是___▲______km。
13.把数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，……,按此规律下去，即,……, 则第6个括号内各数字之和为 ▲ ．
14. 已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足．若不等式对任意的恒成立，则实数的最大值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答
时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15. (本小题满分14分)
已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程：
（1）直线的倾斜角为；
（2）与直线x-2y+1=0垂直；
（3）在轴、轴上的截距之和等于0．
16. (本小题满分14分)
在中，分别是角的对边，且
求角的大小；（2）若，求的值
17. (本小题满分14分)
已知等差数列中，，．等比数列中，，，
（1）求和的通项公式 （2）令，求数列{cn}的前n项和Tn.
18．(本小题满分16分)
已知函数f（x）=ax2+x﹣a，a∈R
（1）若不等式f（x）有最大值，求实数a的值；
（2）若不等式f（x）＞﹣2x2﹣3x+1﹣2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若a＜0，解不等式f（x）＞1．
19. (本小题满分16分)
如图，在中，是内的一点．
（1)若是等腰直角三角形的直角顶点，求的长；
（2）若，设，求的面积的解析式，并求的最大值·
20. (本小题满分16分)
对于给定数列，如果存在实常数使得对于任意都成立，我们称数列是 “Q类数列”．
（1）若，，，数列、是否为“Q类数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由；
（2）证明：若数列是“Q类数列”，则数列也是“Q类数列”；
（3）若数列满足，，为常数．求数列前2015项的和．并判断是否为“Q类数列”，说明理由；
四校联考2015—2016学年度第二学期期中考试
高一数学试卷参考答案及评分标准
一、填空题（每小题5分，共计70分）
1.__ （-1,1）_______ 2.___ ______ 3.____ 4_____ 4.____ _____
5.___ -1____ 6.___ ____ 7.____3____ 8.____ ___
9.___ 等边三角形______ 10.___ _____
11.____ （-3，2）_____ 12.____ 3 _____
13.____ ______ 14.____ _______
二、解答题(六大题，共90分）
15.（本题满分14分）
(1)直线的方程为……………4分
(2)直线的方程为………………8分
(3) ①当直线经过原点时在轴、轴上的截距之和等于0,
此时直线的方程为 ………………………………10分
②当直线经不过原点时,设直线的方程为
因为在直线上,所以,,即……………13分
综上所述直线的方程为或……………………………14分
16.（本题满分14分）
（1）
………………7分
………………14分
17.（本题满分14分）
解：（1）设公差为，则由，，得：
，解得，则 ………………………4分
（2）
………………………8分
（3） ①
∴②
①－②：
∴ ………………………14分
18.（本题满分16分）
解： 解：（1）由题意a＜0，且=，解得：a=﹣2或a=﹣； ………… 4分（2）由f（x）＞﹣2x2﹣3x+1﹣2a，得（a+2）x2+4x+a﹣1＞0，若a=﹣2，不等式4x﹣3＞0不对一切实数x恒成立，舍去， 若a≠﹣2，由题意得，解得：a＞2，故a的范围是：（2，+∞）； ……………9分（3）不等式为ax2+x﹣a﹣1＞0，即（x﹣1）（ax+a+1）＞0，∵a＜0，∴（x﹣1）（x+）＜0，∵1﹣（﹣）=，∴﹣＜a＜0时，1＜﹣，解集为：{x|1＜x＜﹣}，a=﹣时，（x﹣1）2＜0，解集为 ，a＜﹣时，1＞﹣，解集为{x|﹣＜x＜1}． ……………16分
19.（本题满分16分）
解：（1）因为是等腰直角三角形的直角顶点，且，
所以，………1分
又因为，………2分
在中，由余弦定理得：，………5分
所以.………6分
在中，，，所以，………7分
由正弦定理得
………8分
………9分
所以得面积………11分
=……12分
=，………14分
所以当时，面积得最大值为.………16分
20.（本题满分16分）
解：（1）因为,则有,故数列是“Q类数列”， 对应的实常数分别为1, 3． 因为，则有 ,
故数列是“Q类数列”， 对应的实常数分别为5, 0． …………4分
（2）证明：若数列是“Q类数列”， 则存在实常数，
使得对于任意都成立，且有对于任意都成立，因此对于任意都成立，故数列也是“Q类数列”． 对应的实常数分别为． …………8分
（3）因为 则有，，
故数列前2015项的和
…………12分
若数列是“Q类数列”， 则存在实常数
使得对于任意都成立，
且有对于任意都成立，
因此对于任意都成立，
而，且
则有对于任意都成立，可以得到，
（1）当时，，，，经检验满足条件。
（2）当 时，，，经检验满足条件。
因此当且仅当或，时，数列也是“Q类数列”。 对应的实常数分别为, 或．…………16分