2.7 正多边形与圆 课件(共24张PPT) 2024-2025学年九年级数学下册（湘教版）

(共24张PPT)
2.7 正多边形与圆
主讲：
湘教版数学九年级下册
第2章 圆
学习目标
目标
1
目标
2
1．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.
（重难点）
2．会通过等分圆的方法，画出所需的内接正多边形.
3．探索正多边形的轴对称性质和中心对称性质.
（重难点）
目标
3
自学指导
阅读教材P83-85。用8分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题：
1、看P83的“说一说”，得出正多边形的概念；
2、看P83-84的“动脑筋”及“做一做”掌握正多边形的画法；理解正多边形的外接圆；圆内接正多边形的概念；
3、看P85的“做一做”理解正多边形的性质（轴对称、中心对称）
4、理解正三角形、正方形、正六边形的元素（边、半径、中心角、边心距）的计算问题中体现的转化思想，转化为解直角三角形的问题
如图2-57，这些多边形有什么共同特点？
探究新知
说一说
它们的各边都相等，各内角也相等.
各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形.
如果一个正多边形有 n (n ≥ 3) 条边，那么这个正多边形叫作正 n 边形.
探究新知
动脑筋
如何作一个正多边形呢？
弦相等（多边形的边相等）
圆周角相等（多边形的角相等）
多边形是正多边形
问题：将圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点，所得到的多边形是正多边形吗？
弧相等
·
A
B
C
D
E
O
将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正n边形的各顶点n等分其外接圆，圆心叫做正多边形的中心.
类比
外接圆的圆心
正多边形的中心
外接圆的半径
正多边形的半径
每一条边所对的圆心角
正多边形的中心角
圆心到弦的距离
正多边形的边心距
探究新知
探究新知
做一做
已知⊙O的半径为r，求作⊙O的内接正六边形.
分析：因为正六边形每条边所对的圆心角为 ，
所以正六边形的边长与圆的半径 .
因此，在半径为 r 的圆上依次截取等于 的弦，即可将圆六等分.
60°
相等
r
作法：
(1)作圆的直径BE，分别以B，E为圆心，以r为半径作弧，与⊙O分别交于点A，C和F，D.
B
E
A
C
F
D
r
(2)依次连接AB，BC，CD，DE，EF ，FA，则六边形ABCDEF就是所求作的⊙O的内接正六边形.
例题讲解
例
如图，已知⊙O的半径为r，求作⊙O的内接正方形.
A
C
D
B
作法：
(1)作直径AC与BD，使AC⊥BD.
(2)依次连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD就是所求作的⊙O的内接正四边形.
观察图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？如果是轴对称图形，画出其对称轴；如果是中心对称图形，找出其对称中心.
A
B
C
等边三角形
A
B
C
D
正方形
A
B
C
D
E
正五边形
E
A
B
C
D
F
正六边形
探究新知
做一做
正三角形
(奇数边)
正方形
(偶数边)
正五边形
(奇数边)
正六边形
(奇数边)
1. 正 n 边形 轴对称图形，共有 条对称轴；
2. n 为奇数时，n 条对称轴过中心与 ； (如图中蓝色直线)
3. n 为偶数时，n 条对称轴中： 条过中心与 ； (如上图中蓝色直线)
条过中心与边的 点. (如上图中红色直线)
是
n
顶点
顶点
中
问题1：观察图中的正多边形，哪些是轴对称图形？如果是轴对称图形，画出其对称轴。对称轴的条数与边数有什么关系？
探究新知
问题2：观察图中的正多边形，哪些是中心对称图形？哪些是旋转对称图形？如果是旋转对称图形，绕中心最少旋转多少度所得图形与原图形重合？
O
O
O
O
正 n 边形 ( n 为偶数) 是中心对称图形，它的对称中心就是这个正 n 边形的中心.
正三角形 正方形 正五边形 正六边形
是 否 中 心 对 称 图 形
是 否 旋 转对 称 图 形
绕 中 心 旋 转 最 少 角 度 数
×
√
×
√
√
√
√
√
120°
90°
72°
60°
探究新知
基础检测
1.下列说法正确的是 ( )
A. 各边都相等的多边形是正多边形
B. 一个圆有且只有一个内接正多边形
C. 圆内接正四边形的边长等于半径
D. 圆内接正 n 边形的中心角度数为
D
基础检测
2、下列图形中：①正五边形；②等腰三角形；③正八
边形；④正2n（n为自然数）边形；⑤任意的平行四边
形.是轴对称图形的有__________,是中心对称图形的
有_________,既是中心对称图形，又是轴对称图形的
有_________.
①②③④
③④⑤
③④
基础检测
3.如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
B
解: 设这个正多边形为正 n 边形，
由题意可知 72n = 360，
解得 n = 5.
故选 B.
正多边形的边数 边长 半径 边心距 周长 面积
3 2
4 2
6 2
1
8
4
2
12
4、填表
基础检测
圆内接正多边形的辅助线
2. 作边心距，构造直角三角形.
1. 连半径，得中心角；
探究新知
正多边形的有关计算：
名称 公式 说明
中心角 α为中心角，n为边数
边心距、边长、半径间的关系式 R为半径，r为边心距，a为边长
周长 l为正n边形的周长，a为边长
面积 S为正多边形的面积，l为正多边形的周长，r为边心距
探究新知
已知⊙O 的半径为 2 cm， 求作⊙O 的内接正方形和内接正六边形.
一展身手
2. 许多图案设计都和圆有关，观察下图，请利用等分圆
的方法设计一幅图案.
一展身手
3.有一个亭子，它的地基是半径为 4 m 的正六边形，求地基的周长和面积 (精确到0.1 m2).
C
D
O
E
F
A
抽象成
利用勾股定理，可得边心距
亭子地基的面积
在 Rt△OMB 中，OB = 4，MB =
4 m
O
A
B
C
D
E
F
M
r
解：过点 O 作 OM⊥BC 于 M.
B
一展身手
48°
1.如图，正五边形 ABCDE 和正三角形 AMN 都是☉O 的内接多边形，则∠BOM = .
解: 如图，连接OA.
∵ 五边形ABCDE是正五边形，∴ ∠AOB = = 72°.
∵ △AMN 是正三角形，∴ ∠AOM = = 120°，
∴ ∠BOM = ∠AOM - ∠AOB = 48°.
挑战自我
2、如图，M，N 分别是☉O 内接正多边形的边AB，BC 上的点，且 BM = CN.
(1) 图①中∠MON = °，图②中∠MON = °，
图③中∠MON = °；
(2) 试探究∠MON 的度数与正 n 边形的边数 n 的关系.
90
72
120
.
A
B
C
M
N
O
图①
A
B
C
D
M
N
O
图②
A
B
C
D
E
M
N
O
图③
挑战自我
正多边形和圆
正多边形和圆的关系
正多边形的
画法
正n边形各顶点等分其外接圆.
正多边形的
对称性
1.用量角器作图
2.尺规作图
课堂小结
1.都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴
2.边数为偶数的正多边形是中心对称图形
主讲：
感谢聆听
湘教版九年级下册