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专题3：一元二次方程与实际问题（导学案）
学习目标：
1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义；
2.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
3.会建立数学模型解决现实生活中的实际问题。
知识串讲
1．一元二次方程的一般形式__________________________________
2．解方程的常见方法______________________________________
3．列方程解应用问题的步骤：
_______________________________________________________________
列一元二次方程解应用题，步骤与以前列方程解应用题一样，其中审题是解决问题的基础，找等量关系列方程是关键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与解法的难易，它可以为正确合理的答案提供有利的条件．方程的解必须进行实际题意的检验．
问题一：增长率问题
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
归纳：若平均增长(或下降)百分率为x,增长(或下降)前的量是a,增长(或下降)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为__________________
问题二：利润问题
某商店进了一批服装，进货单价为50元，若按每件60元出售，则可销售800件；若每件再提价1元出售，则其销售量就减少20件。现在预算要获利润12000元，应按每件多少元出售？
问题三：循环问题
活动1：某中学组织一次乒乓球赛，比赛采用单循环制，要求每两队之间赛一场．若整个比赛一共赛了45场，若有x个球队参赛，根据题意可列方程：__________________.
活动2：某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为______________．
问题四：几何问题
活动1：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？
活动2：如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？
总结梳理
作业布置：见精品作业设计中小学教育资源及组卷应用平台
专题3：一元二次方程与实际问题（教学设计）
教学目标：
1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义；
2.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
3.会建立数学模型解决现实生活中的实际问题。
教学重点：
1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义；
2.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
教学难点：
会建立数学模型解决现实生活中的实际问题。
教学过程：
知识串讲
1．一元二次方程的一般形式_________
2．解方程的常见方法__①直接开方法②配方法③公式法④因式分解法__
3．列方程解应用问题的步骤：
①审题 ②设未知数 ③列方程 ④解方程 ⑤答
列一元二次方程解应用题，步骤与以前列方程解应用题一样，其中审题是解决问题的基础，找等量关系列方程是关键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与解法的难易，它可以为正确合理的答案提供有利的条件．方程的解必须进行实际题意的检验．
问题一：增长率问题
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为元,两年后甲种药品成本为元,
根据题意得：=3000
解得：.225,1.775(舍)
答:甲种药品成本的年平均下降率约22.5%.
归纳：若平均增长(或下降)百分率为x,增长(或下降)前的量是a,增长(或下降)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为_________
问题二：利润问题
某商店进了一批服装，进货单价为50元，若按每件60元出售，则可销售800件；若每件再提价1元出售，则其销售量就减少20件。现在预算要获利润12000元，应按每件多少元出售？
法1：如果设衬衫单价为x元，根据题意可列得
(x-50)[ 800-20(x-60)]=12000
法2：如果设提价x元，你能根据提示信息列出方程吗？
(10+x)(800-20x)=12000
问题三：循环问题
活动1：某中学组织一次乒乓球赛，比赛采用单循环制，要求每两队之间赛一场．若整个比赛一共赛了45场，若有x个球队参赛，根据题意可列方程：__________________.
活动2：某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为________．
问题四：几何问题
活动1：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？
解法一：依据题意知，中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定:上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意得：中央矩形的长为cm，宽为cm．
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的______,则中央矩形的面积是封面面积的____．
所以可列方程得：(27-18x)(21-14x)=×27×21
整理，得:16x2-48x+9=0
解方程，得x1≈2.8cm，x2≈0.2
所以，9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm
因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．
解法二:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm，
列方程得：2721
解得 x 2.6
上、下的边衬的宽为（27-92.6）0.5=1.8cm
左、右的边衬的宽为（21-72.6）0.5=1.4cm
活动2：如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，
则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.
由题意得 x(25-2x+1)=80
整理，得 x2-13x+40=0
解方程，得(x-5)(x-8)=0
即： x1=5 , x2=8
当x=5时，26-2x=16>12(舍去);当x=8时，26-2x=10<12
故所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m.
总结梳理
（三）作业布置：见精品作业设计
板书设计：
专题3：一元二次方程与实际问题
（一）变化率问题
（二）几何问题
（三）销售问题中小学教育资源及组卷应用平台
专题3：一元二次方程与实际问题（作业设计）
课前诊测
1．解方程：
(1)； (2)．
精品作业
必做题
1．比亚迪公司今年月份生产机器万台，今年，月份共生产万台，设，月份生产量的月平均增长率为，则根据题意列出的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，张老汉想用长为75米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为720平方米的矩形羊圈，并在边上留一个5米宽的门（门用其他材料）．设的长为x米，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．为了响应“绿水青山就是金山银山”的倡导，某市年投入经费万元用于环境治理，年投入经费万元．设经费投入的年平均增长率为，根据题意可列方程为 ．
5．某大型超市一天销售甲种饮料30箱，乙种饮料50箱，其中甲种饮料每箱利润比乙种饮料每箱利润高4元，两种饮料的总利润为1080元．
(1)求甲、乙两种饮料每箱利润各是多少元？
(2)年底该超市为了尽快清空库存，进行了促销活动．若该超市平均每天可售出乙种饮料50箱，为了扩大销售量，超市准备降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出10箱．要使每天销售该饮料获利700元，则每箱应降价多少元？
选做题
7．近年来，抽盲盒成为当下青少年喜欢的消费方式，小王同学就乐于收集某商家出品的星球大战系列盲盒和精灵天团系列盲盒，十月份他在线下实体店购买了若干盒星球大战盲盒和精灵天团盲盒，分别花费260元和375元，若星球大战的单价比精灵天团的单价少10元，精灵天团的数量比星球大战的数量多1个．
(1)十月份，小王购买的星球大战和精灵天团的盲盒单价分别为多少元？
(2)十一月份，商家在“双十一”开启了打折促销活动．其中星球大战的单价下降了5元，精灵天团的单价下降了．小王为了抽取隐藏款，果断增加了购买量，星球大战购买数量在十月份基础上增加了，精灵天团购买数量在十月份的基础上增加了，结果这次购物的金额比十月份增加了208元，求m的值．
参考答案
课前诊测：（1）解：
∵，，
∴
∴，
∴，；
（2）解：原方程变形得，
，
因式分解得，，
∴，．
必做题：
C
B
C
4．
5.（1）解：设乙两种饮料每箱利润为元，则
解得
甲：
答：甲，乙两种饮料每箱利润各是16元，12元．
（2）解：设每箱应降元，则
解得，．
超市为了尽快清空库存，扩大销售量，所以．
答：每箱应降5元．
6.（1）解：设小王购买的星球大战的盲盒单价为x元，则精灵天团的盲盒单价为元，
由题意得：，
解得：，，
经检验，，都是原方程的解，但不符合题意，舍去，
∴，
∴，
答：小王购买的星球大战的盲盒单价为65元，精灵天团的盲盒单价为75元；
（2）解：由（1）可知，，，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：的值为10．(共16张PPT)
人教版.九年级下册
专题3：一元二次方程与实际问题
学习目标
1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义；
2.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
3.会建立数学模型解决现实生活中的实际问题。
知识串讲
1．一元二次方程的一般形式______________________________
2．解方程的常见方法_________________________________________________
3．列方程解应用问题的步骤：
①审题 ②设未知数 ③列方程 ④解方程 ⑤答
列一元二次方程解应用题，步骤与以前列方程解应用题一样，其中审题是解决问题的基础，找等量关系列方程是关键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与解法的难易，它可以为正确合理的答案提供有利的条件．方程的解必须进行实际题意的检验．
①直接开方法②配方法③公式法④因式分解法
知识串讲
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为 元,两年后甲种药品成本为 元,
5000（1-x）
5000（1-x）2
依题意得 ：5000（1-x） =3000
解方程,得：
答:甲种药品成本的年平均下降率约22.5%.
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
问题一：增长率问题
知识串讲
归纳：若平均增长(或下降)百分率为x,增长(或下降)前的量是a,增长(或下降)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为___________________________
问题一：增长率问题
知识串讲
某商店进了一批服装，进货单价为50元，若按每件60元出售，则可销售800件；若每件再提价1元出售，则其销售量就减少20件。现在预算要获利润12000元，应按每件多少元出售？
明确几个名词的意义及它们之间的关系：
利润＝售价－______________；
总利润＝单件利润×______________.
进价
销售量
问题二：利润问题
知识串讲
某商店进了一批服装，进货单价为50元，若按每件60元出售，则可销售800件；若每件再提价1元出售，则其销售量就减少20件。现在预算要获利润12000元，应按每件多少元出售？
如果设衬衫单价为x元，根据题意可列得
（x-50）[ 800-20（x-60）]=12000
如果设提价x元，你能根据提示信息列出方程吗？
(10+x)(800-20x)=12000
方法一
方法二
问题二：利润问题
知识串讲
活动1：某中学组织一次乒乓球赛，比赛采用单循环制，要求每两队之间赛一场．若整个比赛一共赛了45场，若有x个球队参赛，根据题意可列方程：__________________________________.
活动2：某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为_______________________________________．
问题三：循环问题
知识串讲
问题三：循环问题
握手问题
送照片问题
甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行，所以总数要
除以2.
甲送乙照片与乙送甲照片是要两张照片，故总数
不要除以2.
单循环问题
双循环问题
x(x-1)
知识串讲
问题四：几何问题
几何图形的面积问题
活动1：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？
27cm
21cm
知识串讲
解法一：依据题意知，中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定:上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意得：中央矩形的长为 cm，宽为 cm．
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的______,则中央矩形的面积是封面面积的____．
(27-18x)
(21-14x)
所以可列方程得： （27-18x）（21-14x） = ×27×21
整理，得 16x2-48x+9=0
解方程，得 x= ，x1≈2.8cm，x2≈0.2
所以，9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm
因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．
知识串讲
解法二:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm，
列方程得：
解得 x 2.6
上、下的边衬的宽为（27-9 2.6） 0.5=1.8cm
左、右的边衬的宽为（21-7 2.6） 0.5=1.4cm
知识串讲
活动2：如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？
住房墙
1m
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，
由题意得 x(25-2x+1)=80
整理，得 x2-13x+40=0
解方程，得 （x-5）（x-8）=0
即： x1=5 , x2=8
当x=5时，26-2x=16>12 (舍去）;当x=8时，26-2x=10<12
故所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m.
则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.
总结梳理
平均变化率问题
增长率问题
a(1+x)2=b，其中 a 为增长前的量，x 为增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量.
降低率问题
a(1-x)2=b，其中 a 为降低前的量，x 为降低率，2 为降低次数，b 为降低后的量.注意 1 与 x 位置不可调换.
几何图形与一元二次方程问题
几何图形
常见几何图形面积是等量关系.
类 型
课本封面问题
小路宽度问题
常采用图形平移，聚零为整方便列方程.
总结梳理
总结梳理
