2024届浙江省普通高校招生考试选考科目考试冲刺卷（一）数学试题
1．（2024高三下·浙江模拟）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：因为，得，即，
因为，即，得，即，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用绝对值不等式求解方法得出集合A，利用指数函数的单调性得出集合B，再结合交集的运算法则，从而得出集合.
2．（2024高三下·浙江模拟）已知向量，，若，则（ ）
A．4或2 B． C．2 D．2或
【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由，则，得.
故答案为：C.
【分析】根据向量平行的坐标表示，从而得出m的值.
3．（2024高三下·浙江模拟）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】利用角之间的关系结合诱导公式，从而得出的值.
4．（2024高三下·浙江模拟）如图，一个底面半径为，母线长为的圆锥形封闭容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，液面的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锥体的体积公式及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为圆锥的底面半径为，母线长为，
所以高为，
当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，
所以液面的半径为2，此时液体的体积为，
当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，此时液体的形状是倒立的圆锥，
设圆锥的底面半径为，高为，则有，即，
此时液体的体积为，
由，得，所以.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和勾股定理得出圆锥的高，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，从而得出液面的半径，再利用圆台的体积公式得出此时液体的体积，当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，此时液体的形状是倒立的圆锥，从而得出圆锥的底面半径和圆锥的高的关系式，由液体的体积相等，得出圆锥的底面半径，圆锥的高。
5．（2024高三下·浙江模拟）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则数字3在五位数中位于1和5之间（可以不相邻）的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，
基本事件总数，
数字3在五位数中位于1和5之间的基本事件个数，
则数字3在五位数中位于1和5之间（可以不相邻）的概率为．
故答案为：D．
【分析】先求出基本事件总数n，求出数字3在五位数中位于1和5之间的基本事件数m，再利用古典概型求概率公式，从而由排列数公式得出数字3在五位数中位于1和5之间（可以不相邻）的概率.
6．（2024高三下·浙江模拟）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则原点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的切线方程
【解析】【解答】解：由图可知，，，
则四点共圆，圆的直径是，点，，
所以，的中点坐标为，
所以四边形的外接圆的方程为，
即，圆，
两式相减得直线的方程，
则原点到直线的距离.
故答案为：A.
【分析】首先求出四边形的外接圆的方程，求出直线的方程，再根据点到直线的距离公式得出原点到直线的距离.
7．（2024高三下·浙江模拟）已知，，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，
，
设，
则，
，
当时，即当，时等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：D.
【分析】首先变形得出，再化简后换元为，转化为关于的式子，最后利用基本不等式求最值的方法得出的最大值.
8．（2024高三下·浙江模拟）函数的极小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为，
记，则，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减.
所以，当时，，
因为，且当时，，
所以，当时，，即，在上单调递减；
当时，，即，在上单调递增.
所以，当时，取得极小值.
故答案为：B.
【分析】利用二次求导判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，再结合函数的零点，从而由导数判断函数的单调性，进而得出函数的极小值.
9．（2024高三下·浙江模拟）已知复数，，且在复平面内对应的点在第一象限，则以下结论正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；共轭复数
【解析】【解答】解：设，
因为，可知，即，
又因为，则，
可知，解得，
则或，且在复平面内对应的点在第一象限，
则，可知，即.
对于选项A：因为，所以，故A正确；
对于选项B：可知，故B错误；
对于选项C：因为，故C正确；
对于选项D：，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】根据复数的模长公式和复数加法运算法则以及复数相等的判断方法，可得复数，再结合共轭复数定义、复数相等的判断方法、复数乘法运算法则、复数乘法的运算法则，从而逐项判断各选项，进而找出结论正确的选项.
10．（2024高三下·浙江模拟）已知函数，则以下结论正确的为（ ）
A．的最小正周期为
B．图象关于点对称
C．在上单调递减
D．将图象向左平移个单位后，得到的图象所对应的函数为偶函数
【答案】A,B,D
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】解：
.
对于A，，所以A正确；
对于B，因为，
所以点是函数的对称中心，所以B正确；
对于C，因为，
所以函数的图象关于对称，
又因为，所以在上不单调，所以C错误；
对于D，将图象向左平移个单位后，
得出，
显然为偶函数，所以D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用二倍角的余弦公式、辅助角公式、诱导公式，则将函数f(x)转化为余弦型函数，再利用余弦型函数的最小正周期公式，则判断出选项A；利用换元法和余弦函数的图象的对称性，则判断出函数的对称中心，从而判断出选项B；利用换元法和余弦函数的图象的单调性，则判断出函数在上的单调性，则判断出选项C；利用余弦型函数的图象变换和偶函数的图象的对称性，则判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
11．（2024高三下·浙江模拟）已知函数为偶函数，对，，且，若，则以下结论正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：由题意可知，，
即函数关于对称，所以，
在中，
令，得，
又因为，所以，故A正确；
令，得，
即，得，
又因为，故B错误；
由已知得，则，
得出，那么，
所以函数是周期为6的函数，故，故C正确；
因为函数关于对称，所以，
又因为函数的周期为6，所以，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由抽象函数结合已知条件和函数图象的对称性判断方法，从而判断出函数的对称性，再利用赋值法得出函数的值，从而判断出选项A和选项B；利用已知条件结合周期函数的定义，从而得出函数的周期，则得出函数的值的关系，从而判断出选项C；利用函数的图象的对称性和周期性，从而得出函数的值的关系，则判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
12．（2024高三下·浙江模拟）已知，，，则 .
【答案】
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：因为，
，，
即，则.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和全概率公式以及对立事件求概率公式，从而得出的值.
13．（2024高三下·浙江模拟）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线渐近线上的点，且，若，则该双曲线的离心率 .
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨取M为渐近线上一点，
因为，所以，
又因为为的中点，所以，
因为，设，则，
因为，所以，
在和中，分别用余弦定理，
则，，
所以，
所以，，
则为锐角，，即，
则，，，.
故答案为：.
【分析】根据，得到，利用直角三角形斜边中线性质和，从而表示出和的各边，再依据，在两个三角形中分别用余弦定理和正切函数的定义，从而列出等量关系式，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式和双曲线的离心率公式，从而得出该双曲线的离心率.
14．（2024高三下·浙江模拟）已知数列的前项和为，且，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为 .
【答案】15
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为，所以，
整理得，
所以，
所以
，
令，解得.
所以正整数的最小值为15.
故答案为：15.
【分析】利用裂项相消的方法求出，代入已知条件，从而整理得出，然后取对数结合裂项相消的方法可得，再由对数函数的单调性，从而解不等式得出n的取值范围，则得出满足的正整数的最小值.
15．（2024高三下·浙江模拟）如图，在平面内的四个动点，，，构成的四边形中，，，，.
（1）求面积的取值范围；
（2）若四边形存在外接圆，求外接圆面积.
【答案】（1）解：由三角形的性质可知，，
即且，
即，所以，
在中，，
所以，则，
则，
所以面积的取值范围是.
（2）解：在中，，
在中，，
即，
因为四边形存在外接圆，
所以，
即，
即，
得出，，
此时，即，
由，
所以，四边形外接圆的面积为.
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据三角形的性质，从而求出的范围，根据余弦定理求出的取值范围，再结合同角三角函数基本关系式得出的取值范围，利用三角形的面积公式和不等式的基本性质，从而得出三角形面积的取值范围.
（2）由余弦定理和四边形的外接圆的性质，从而求出d 长和的值，再利用正弦定理的性质得出三角形外接圆的半径，即得出四边形的外接圆的半径，根据圆的面积公式得出四边形外接圆的面积.
（1）由三角形的性质可知，，即，
且，即，所以，
中，，
所以，则，
，
所以面积的取值范围是；
（2）中，，
中，，
即
因为四边形存在外接圆，所以，即，
即，得，，
此时，即，
由，
四边形外接圆的面积.
16．（2024高三下·浙江模拟）如图，在三棱柱中，，，，平面平面，，分别为和的中点.
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：取中点，因为在三棱柱中，
，，
所以三角形是等边三角形，则，
因为平面平面，
平面，平面平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
因为分别是的中点，
所以，
因为，
所以，
所以两两互相垂直，
则以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
所以，
，
所以，
所以，
所以，即.
（2）解：由（1）可知，
设平面与平面的法向量分别为，
则，，
令，解得，
所以，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用三棱柱的结构特征和等边三角形三线合一得出线线垂直，结合面面垂直的性质定理得出线面垂直，从而得出线线垂直，进而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再根据两向量垂直数量积为0的等价关系，从而证出.
（2）由（1）得出向量的坐标，结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面与平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面夹角的余弦值.
（1）取中点，因为在三棱柱中，，，
所以三角形是等边三角形，从而，
而平面平面，平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为分别是的中点，
所以，
因为，
所以，
所以两两互相垂直，
所以以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
所以，
，
所以，
所以，
所以，即；
（2）由（1）可知，，
设平面与平面的法向量分别为，
则有，，
令，解得，
所以，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17．（2024高三下·浙江模拟）已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，判断的零点个数.
【答案】（1）解：当时，，
所以，
当时，，所以，则，
所以，函数在上单调递减；
当时，记，则，
因为，所以，在单调递增，
所以，即，
所以在上单调递增，
综上所述，的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）解：当时，，则，
记，则，
当时，，所以，在单调递增，
所以，在上单调递增，
所以，在上无零点；
当时，因为，
所以，此时无零点，
当时，记，则，
因为当趋近于0时，趋近于0，所以的变化越来越慢，图象下凹，
当时，，当时，，
作出函数和的图象如图，
由图可知，当时，两个函数图象有一个交点，
即有一个零点，易知是的一个零点，
综上所述，函数共有2个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间.
（2）当时，利用二次导数判断函数的单调性，当时，利用指数函数的性质和正弦函数有界性，从而判断出函数值的符号，当时，记，再利用导数研究函数的图象，根据函数与的图象交点个数，从而判断出函数的零点个数.
（1）当时，，所以，
当时，，所以，则，
所以，在上单调递减.
当时，记，则，
因为，所以，在单调递增，
所以，即，所以在上单调递增.
综上，的减区间为，增区间为.
（2）当时，，则，
记，则，
当时，，所以，在单调递增，
所以，在上单调递增，
所以，在上无零点.
当时，因为，
所以，此时无零点.
当时，记，则，
因为当趋近于0时，趋近于0，所以的变化越来越慢，图象下凹，
当时，，当时，，
作出函数和的图象如图，
由图可知，当时，两个函数图象有一个交点，即有一个零点.
易知是的一个零点.
综上，函数共有2个零点.
18．（2024高三下·浙江模拟）已知椭圆：与直线相切于点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设，为椭圆上异于点的点，直线，与轴分别交于点，，若，证明：直线恒过定点.
【答案】（1）解：联立，
可得，
可得，
化简可得，
又因为点在椭圆上，因此，
解得：，，
故椭圆的方程为.
（2）解：设直线的方程为，
设点，，
由可得，
又因为
则
故，
由，
即，则，
则直线的方程为，
当时，恒成立，
因此直线过定点.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）联立直线与椭圆的方程，利用直线与椭圆相切的位置关系判断方法，则，从而得出a，b的方程，再结合点在椭圆上和代入法，则得出a，b的另一个方程，解关于a，b的方程组，从而得出a，b的值，进而得出椭圆的标准方程.
（2）利用齐次化方程的思想，设出直线的方程，结合椭圆的标准方程，从而转化为关于斜率的一元二次方程，再结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式和韦达定理，从而证出直线恒过定点，并求出定点坐标.
（1）联立，可得，
可得，
化简可得，，
又点在椭圆上，因此，解得：，，
故椭圆的方程为；
（2）设直线的方程为，
设点，，
由可得，
又，
则，
，
故，
由，
即有，因此有，
则直线的方程为，
当时，恒成立，
因此直线过定点.
19．（2024高三下·浙江模拟）某手机销售商为了了解一款5G手机的销量情况，对近100天该手机的日销量（单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值，样本的标准差.
（1）经分析，可以认为该款手机的日销售量近似服从正态分布，用样本的平均值作为的近似值，用样本的标准差作为的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在之间的概率；
（2）为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球和白球各10个，顾客随机摸取一个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分；放回后进行下一次摸取.设顾客的初始积分为0，当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元.活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数.（结果四舍五入取整数）
参考数据：若随机变量，则，，.
【答案】（1）解：由题意可知，，，
所以这一天该款手机的销量恰好在之间的概率为.
（2）解：每一次摸到红球和白球的概率都是，设积分为，
所以，
，
，
依次类推，，
且，，
所以，
所以是首项为，
公比为的等比数列，则
，
，
，
则人，所以估计获得一等奖的顾客人数为200人.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；正态密度曲线的特点；类比推理
【解析】【分析】（1）根据随机变量X服从正态分布，再结合正态分布的区间的概率公式和正态分布对应的密度函数的图象的对称性，从而估计出这一天该款手机的销量恰好在之间的概率.
（2）利用已知条件和正态分布求概率公式，结合类比推理的方法和等比数列的定义，从而判断出数列是等比数列，再利用累加法和等比数列的前n项和公式，从而求出的值，利用频数等于频率乘以样本容量公式，从而估计出获得一等奖的顾客人数.
（1）由题意可知，，
，
所以这一天该款手机的销量恰好在之间的概率为；
（2）每一次摸到红球和白球的概率都是，
设积分为，
，
，
，
依次类推，
，
且，，，
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，
，
，
，
则人，
所以估计获得一等奖的顾客人数为200人.
1 / 12024届浙江省普通高校招生考试选考科目考试冲刺卷（一）数学试题
1．（2024高三下·浙江模拟）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三下·浙江模拟）已知向量，，若，则（ ）
A．4或2 B． C．2 D．2或
3．（2024高三下·浙江模拟）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三下·浙江模拟）如图，一个底面半径为，母线长为的圆锥形封闭容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，液面的高度为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三下·浙江模拟）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则数字3在五位数中位于1和5之间（可以不相邻）的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三下·浙江模拟）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则原点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三下·浙江模拟）已知，，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三下·浙江模拟）函数的极小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三下·浙江模拟）已知复数，，且在复平面内对应的点在第一象限，则以下结论正确的为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高三下·浙江模拟）已知函数，则以下结论正确的为（ ）
A．的最小正周期为
B．图象关于点对称
C．在上单调递减
D．将图象向左平移个单位后，得到的图象所对应的函数为偶函数
11．（2024高三下·浙江模拟）已知函数为偶函数，对，，且，若，则以下结论正确的为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024高三下·浙江模拟）已知，，，则 .
13．（2024高三下·浙江模拟）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线渐近线上的点，且，若，则该双曲线的离心率 .
14．（2024高三下·浙江模拟）已知数列的前项和为，且，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为 .
15．（2024高三下·浙江模拟）如图，在平面内的四个动点，，，构成的四边形中，，，，.
（1）求面积的取值范围；
（2）若四边形存在外接圆，求外接圆面积.
16．（2024高三下·浙江模拟）如图，在三棱柱中，，，，平面平面，，分别为和的中点.
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17．（2024高三下·浙江模拟）已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，判断的零点个数.
18．（2024高三下·浙江模拟）已知椭圆：与直线相切于点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设，为椭圆上异于点的点，直线，与轴分别交于点，，若，证明：直线恒过定点.
19．（2024高三下·浙江模拟）某手机销售商为了了解一款5G手机的销量情况，对近100天该手机的日销量（单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值，样本的标准差.
（1）经分析，可以认为该款手机的日销售量近似服从正态分布，用样本的平均值作为的近似值，用样本的标准差作为的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在之间的概率；
（2）为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球和白球各10个，顾客随机摸取一个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分；放回后进行下一次摸取.设顾客的初始积分为0，当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元.活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数.（结果四舍五入取整数）
参考数据：若随机变量，则，，.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：因为，得，即，
因为，即，得，即，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用绝对值不等式求解方法得出集合A，利用指数函数的单调性得出集合B，再结合交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由，则，得.
故答案为：C.
【分析】根据向量平行的坐标表示，从而得出m的值.
3．【答案】C
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】利用角之间的关系结合诱导公式，从而得出的值.
4．【答案】D
【知识点】锥体的体积公式及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为圆锥的底面半径为，母线长为，
所以高为，
当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，
所以液面的半径为2，此时液体的体积为，
当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，此时液体的形状是倒立的圆锥，
设圆锥的底面半径为，高为，则有，即，
此时液体的体积为，
由，得，所以.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和勾股定理得出圆锥的高，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，从而得出液面的半径，再利用圆台的体积公式得出此时液体的体积，当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，此时液体的形状是倒立的圆锥，从而得出圆锥的底面半径和圆锥的高的关系式，由液体的体积相等，得出圆锥的底面半径，圆锥的高。
5．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，
基本事件总数，
数字3在五位数中位于1和5之间的基本事件个数，
则数字3在五位数中位于1和5之间（可以不相邻）的概率为．
故答案为：D．
【分析】先求出基本事件总数n，求出数字3在五位数中位于1和5之间的基本事件数m，再利用古典概型求概率公式，从而由排列数公式得出数字3在五位数中位于1和5之间（可以不相邻）的概率.
6．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的切线方程
【解析】【解答】解：由图可知，，，
则四点共圆，圆的直径是，点，，
所以，的中点坐标为，
所以四边形的外接圆的方程为，
即，圆，
两式相减得直线的方程，
则原点到直线的距离.
故答案为：A.
【分析】首先求出四边形的外接圆的方程，求出直线的方程，再根据点到直线的距离公式得出原点到直线的距离.
7．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，
，
设，
则，
，
当时，即当，时等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：D.
【分析】首先变形得出，再化简后换元为，转化为关于的式子，最后利用基本不等式求最值的方法得出的最大值.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为，
记，则，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减.
所以，当时，，
因为，且当时，，
所以，当时，，即，在上单调递减；
当时，，即，在上单调递增.
所以，当时，取得极小值.
故答案为：B.
【分析】利用二次求导判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，再结合函数的零点，从而由导数判断函数的单调性，进而得出函数的极小值.
9．【答案】A,C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；共轭复数
【解析】【解答】解：设，
因为，可知，即，
又因为，则，
可知，解得，
则或，且在复平面内对应的点在第一象限，
则，可知，即.
对于选项A：因为，所以，故A正确；
对于选项B：可知，故B错误；
对于选项C：因为，故C正确；
对于选项D：，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】根据复数的模长公式和复数加法运算法则以及复数相等的判断方法，可得复数，再结合共轭复数定义、复数相等的判断方法、复数乘法运算法则、复数乘法的运算法则，从而逐项判断各选项，进而找出结论正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】解：
.
对于A，，所以A正确；
对于B，因为，
所以点是函数的对称中心，所以B正确；
对于C，因为，
所以函数的图象关于对称，
又因为，所以在上不单调，所以C错误；
对于D，将图象向左平移个单位后，
得出，
显然为偶函数，所以D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用二倍角的余弦公式、辅助角公式、诱导公式，则将函数f(x)转化为余弦型函数，再利用余弦型函数的最小正周期公式，则判断出选项A；利用换元法和余弦函数的图象的对称性，则判断出函数的对称中心，从而判断出选项B；利用换元法和余弦函数的图象的单调性，则判断出函数在上的单调性，则判断出选项C；利用余弦型函数的图象变换和偶函数的图象的对称性，则判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：由题意可知，，
即函数关于对称，所以，
在中，
令，得，
又因为，所以，故A正确；
令，得，
即，得，
又因为，故B错误；
由已知得，则，
得出，那么，
所以函数是周期为6的函数，故，故C正确；
因为函数关于对称，所以，
又因为函数的周期为6，所以，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由抽象函数结合已知条件和函数图象的对称性判断方法，从而判断出函数的对称性，再利用赋值法得出函数的值，从而判断出选项A和选项B；利用已知条件结合周期函数的定义，从而得出函数的周期，则得出函数的值的关系，从而判断出选项C；利用函数的图象的对称性和周期性，从而得出函数的值的关系，则判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
12．【答案】
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：因为，
，，
即，则.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和全概率公式以及对立事件求概率公式，从而得出的值.
13．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨取M为渐近线上一点，
因为，所以，
又因为为的中点，所以，
因为，设，则，
因为，所以，
在和中，分别用余弦定理，
则，，
所以，
所以，，
则为锐角，，即，
则，，，.
故答案为：.
【分析】根据，得到，利用直角三角形斜边中线性质和，从而表示出和的各边，再依据，在两个三角形中分别用余弦定理和正切函数的定义，从而列出等量关系式，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式和双曲线的离心率公式，从而得出该双曲线的离心率.
14．【答案】15
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为，所以，
整理得，
所以，
所以
，
令，解得.
所以正整数的最小值为15.
故答案为：15.
【分析】利用裂项相消的方法求出，代入已知条件，从而整理得出，然后取对数结合裂项相消的方法可得，再由对数函数的单调性，从而解不等式得出n的取值范围，则得出满足的正整数的最小值.
15．【答案】（1）解：由三角形的性质可知，，
即且，
即，所以，
在中，，
所以，则，
则，
所以面积的取值范围是.
（2）解：在中，，
在中，，
即，
因为四边形存在外接圆，
所以，
即，
即，
得出，，
此时，即，
由，
所以，四边形外接圆的面积为.
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据三角形的性质，从而求出的范围，根据余弦定理求出的取值范围，再结合同角三角函数基本关系式得出的取值范围，利用三角形的面积公式和不等式的基本性质，从而得出三角形面积的取值范围.
（2）由余弦定理和四边形的外接圆的性质，从而求出d 长和的值，再利用正弦定理的性质得出三角形外接圆的半径，即得出四边形的外接圆的半径，根据圆的面积公式得出四边形外接圆的面积.
（1）由三角形的性质可知，，即，
且，即，所以，
中，，
所以，则，
，
所以面积的取值范围是；
（2）中，，
中，，
即
因为四边形存在外接圆，所以，即，
即，得，，
此时，即，
由，
四边形外接圆的面积.
16．【答案】（1）证明：取中点，因为在三棱柱中，
，，
所以三角形是等边三角形，则，
因为平面平面，
平面，平面平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
因为分别是的中点，
所以，
因为，
所以，
所以两两互相垂直，
则以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
所以，
，
所以，
所以，
所以，即.
（2）解：由（1）可知，
设平面与平面的法向量分别为，
则，，
令，解得，
所以，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用三棱柱的结构特征和等边三角形三线合一得出线线垂直，结合面面垂直的性质定理得出线面垂直，从而得出线线垂直，进而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再根据两向量垂直数量积为0的等价关系，从而证出.
（2）由（1）得出向量的坐标，结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面与平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面夹角的余弦值.
（1）取中点，因为在三棱柱中，，，
所以三角形是等边三角形，从而，
而平面平面，平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为分别是的中点，
所以，
因为，
所以，
所以两两互相垂直，
所以以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
所以，
，
所以，
所以，
所以，即；
（2）由（1）可知，，
设平面与平面的法向量分别为，
则有，，
令，解得，
所以，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17．【答案】（1）解：当时，，
所以，
当时，，所以，则，
所以，函数在上单调递减；
当时，记，则，
因为，所以，在单调递增，
所以，即，
所以在上单调递增，
综上所述，的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）解：当时，，则，
记，则，
当时，，所以，在单调递增，
所以，在上单调递增，
所以，在上无零点；
当时，因为，
所以，此时无零点，
当时，记，则，
因为当趋近于0时，趋近于0，所以的变化越来越慢，图象下凹，
当时，，当时，，
作出函数和的图象如图，
由图可知，当时，两个函数图象有一个交点，
即有一个零点，易知是的一个零点，
综上所述，函数共有2个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间.
（2）当时，利用二次导数判断函数的单调性，当时，利用指数函数的性质和正弦函数有界性，从而判断出函数值的符号，当时，记，再利用导数研究函数的图象，根据函数与的图象交点个数，从而判断出函数的零点个数.
（1）当时，，所以，
当时，，所以，则，
所以，在上单调递减.
当时，记，则，
因为，所以，在单调递增，
所以，即，所以在上单调递增.
综上，的减区间为，增区间为.
（2）当时，，则，
记，则，
当时，，所以，在单调递增，
所以，在上单调递增，
所以，在上无零点.
当时，因为，
所以，此时无零点.
当时，记，则，
因为当趋近于0时，趋近于0，所以的变化越来越慢，图象下凹，
当时，，当时，，
作出函数和的图象如图，
由图可知，当时，两个函数图象有一个交点，即有一个零点.
易知是的一个零点.
综上，函数共有2个零点.
18．【答案】（1）解：联立，
可得，
可得，
化简可得，
又因为点在椭圆上，因此，
解得：，，
故椭圆的方程为.
（2）解：设直线的方程为，
设点，，
由可得，
又因为
则
故，
由，
即，则，
则直线的方程为，
当时，恒成立，
因此直线过定点.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）联立直线与椭圆的方程，利用直线与椭圆相切的位置关系判断方法，则，从而得出a，b的方程，再结合点在椭圆上和代入法，则得出a，b的另一个方程，解关于a，b的方程组，从而得出a，b的值，进而得出椭圆的标准方程.
（2）利用齐次化方程的思想，设出直线的方程，结合椭圆的标准方程，从而转化为关于斜率的一元二次方程，再结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式和韦达定理，从而证出直线恒过定点，并求出定点坐标.
（1）联立，可得，
可得，
化简可得，，
又点在椭圆上，因此，解得：，，
故椭圆的方程为；
（2）设直线的方程为，
设点，，
由可得，
又，
则，
，
故，
由，
即有，因此有，
则直线的方程为，
当时，恒成立，
因此直线过定点.
19．【答案】（1）解：由题意可知，，，
所以这一天该款手机的销量恰好在之间的概率为.
（2）解：每一次摸到红球和白球的概率都是，设积分为，
所以，
，
，
依次类推，，
且，，
所以，
所以是首项为，
公比为的等比数列，则
，
，
，
则人，所以估计获得一等奖的顾客人数为200人.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；正态密度曲线的特点；类比推理
【解析】【分析】（1）根据随机变量X服从正态分布，再结合正态分布的区间的概率公式和正态分布对应的密度函数的图象的对称性，从而估计出这一天该款手机的销量恰好在之间的概率.
（2）利用已知条件和正态分布求概率公式，结合类比推理的方法和等比数列的定义，从而判断出数列是等比数列，再利用累加法和等比数列的前n项和公式，从而求出的值，利用频数等于频率乘以样本容量公式，从而估计出获得一等奖的顾客人数.
（1）由题意可知，，
，
所以这一天该款手机的销量恰好在之间的概率为；
（2）每一次摸到红球和白球的概率都是，
设积分为，
，
，
，
依次类推，
，
且，，，
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，
，
，
，
则人，
所以估计获得一等奖的顾客人数为200人.
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