北京市房山区2024-2025学年高二（上）期末考试数学试卷（PDF版，含答案）

2025北京房山高二（上）期末
数 学
本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考
试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共 50 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
2
（1）在复平面内，复数 (3 4i) 对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
（2）已知 a = (1，0，2) ， b = (x，0，1)，如果 a与 b 为共线向量，则 x的值为
1 1 1
（A）1 （B） （C） （D）
2 3 6
1 2
（3）二次函数 y = x 的图象是抛物线，该抛物线的焦点坐标为
4
1 1
（A） (0，1) （B） (1，0) （C） (0， ) （D） ( ，0)
16 16
（4）已知空间中直线 l 的一个方向向量 u = ( 1，0，2) ，平面 的一个法向量 n = (2，1，1) ，则
（A） l // （B） l
（C） l ⊥ （D）直线 l 与平面 不相交
（5）已知直线 l1 : x + 2ay 1= 0与直线 l2 : (a 1)x ay 1= 0平行，则 a的值为
1 1
（A） 0 （B） （C） 或 0 （D）1
2 2
（6）已知圆C : (x 1)2 + (y 2)2 = 4与直线 l : x y +m = 0交于 A，B 两点，若 ACB = 90 ，则m 的值为
（A） 1 （B） 3 （C） 1或 3 （D） 3
（7）条件 p : m 0，n 0 ，条件 q :方程mx2 + ny2 =1表示的曲线是椭圆，则 p 是 q的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
x2
（8）已知双曲线C 的方程为 y2 =1，点 P ，Q 分别在双曲线的左支和右支上，则直线 PQ 的斜率的取
4
值范围是
（A） ( ， 2) (2，+ ) （B） ( 2，2)
1 1 1 1
（C） ( ， ) ( ，+ ) （D） ( ， )
2 2 2 2
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（9）庑殿（图 1）建筑是古代传统建筑中的最高型制．这种建筑形式常用于宫殿、坛庙一类皇家建筑，是
北京中轴线上主要建筑最常采取的形式．如故宫午门、太和殿、乾清宫等，都是庑殿式建筑．庑殿殿
顶的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成 5 根屋脊，又称“四阿殿”或“五脊殿”．图 2 是根据
庑殿顶构造的多面体模型，底面 ABCD 是矩形，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰
三角形，且等腰梯形和等腰三角形所在的平面与平面 ABCD 的夹角都相等．若 AB = 25m ，
BC =10m，则 EF 的长为
E F
D C
A B
图 1 图 2
（A）10m （B）10 2m （C）15m （D） 20m
x2 y2
（10）已知椭圆C : + =1(a b 0)的左、右焦点分别是 F1( c，0) ， F2 (c，0) ，若离心率
a2 b2
5 1
e = (e 0.618) ，则称椭圆C 为“黄金椭圆”．给出下列三个命题：
2
①在黄金椭圆C 中，b2 = e a2；
②在黄金椭圆C 中，若上顶点、右顶点分别为 E ， B ，则 F1EB = 90 ；
③在黄金椭圆C 中，以 A( a，0) ， B(a，0)， D(0， b) ， E(0，b)为顶点的菱形 ADBE 的内切圆过焦
点 F1 ， F ． 2
其中正确命题的个数是
（A） 0 （B）1 （C） 2 （D） 3
第二部分（非选择题 共 100 分）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
（11）若复数 z 满足 z(1+ 2i) = 5，则 z = _____．
x2 y2
（12）已知双曲线C： =1的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，则双曲线C 的离心率为_____；若M 是
4 9
双曲线C 上任意一点，则 ||MF1| |MF2 || = _____．
（13）直线 y = mx + 2m 1经过一定点C ，则点C 的坐标为_____，以点C 为圆心且过原点的圆
的方程为_____．
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（14）一只盛水的圆柱形茶杯倾斜后得到椭圆形水面，若水面与底面所成的二面角为 45 ，则水面
椭圆的离心率为_____．
（15）在空间直角坐标系中，已知点 A(0，0，2)， B(2，0，1) ，C(0，2，1) ，若点 P(x，y，0)在平面 ABC内，
则一个符合题意的点 P的坐标为_____．
（16）如图，在边长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 是棱 AA1 上的
D1 C1
一个动点，给出下列四个结论：
①三棱锥 B1 BED 的体积为定值； A1 1 B1
②不存在点 E ，使得 B1D ⊥平面 BED1；
E
D
③对每一个点 E ，在棱 DC 上总存在一点 P ，使得 AP 平面 C
BED1；
A B
④点 E 到 DC1 的距离的最小值为1．
其中正确结论的序号是_____．
三、解答题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（17）（本小题 13 分）
已知抛物线C：y2 = 2 p x ( p 0) 的焦点 F 到准线的距离是 2 .
（Ⅰ）求抛物线C 的方程和准线方程；
（Ⅱ）若斜率为1的直线 l 经过抛物线C 的焦点 F ，且与抛物线C 相交于 A， B 两点，求线段 AB 的长．
（18 ）（本小题14分）
D1 F C1
如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 ， AB = AD = 2， AA ，点 为 中点． 1 = 4 E DD1
A1 B
（Ⅰ）若平面 AB E 与棱C D 交于点 F ，求证点
1
1 1 1 F 为C D 的中点； 1 1
（Ⅱ）求平面 AB E 与平面 ABCD 夹角的余弦值． 1 E
D C
A B
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（19 ）（本小题14分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD ，底面 ABCD 为矩形， E 为线段 PD的中点，
AB =1， PA= AD = 2．
（Ⅰ）求证： PB 平面 ACE ；
P
（Ⅱ）从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知，
求（i）点 P 到平面 ACE 的距离；
E
（ii）直线 AP 与平面 ACE 的夹角的正弦值．
条件①： PB⊥ AD；
A D
条件②： AE = 2 .
B C
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
（20）（本小题满分 14 分）
x2 y2 1 3
已知椭圆C : + =1(a b 0)的离心率为 ，且经过点 A(1， ) ．
a2 b2 2 2
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
1
（Ⅱ） 斜率为 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点（M ，N 不与 A重合），直线 AM ，AN 与 x轴分别交于
2
P，Q 两点，求证：△APQ 是等腰三角形．
（ 21）（本小题15 分）
对于空间向量 ak = (xk ，yk ，zk ) (xk ，yk ，zk N，k = 0，1，2，3， )，定义： ak = xk yk zk ，
[ak ] = xk + yk + zk ．且 xk+1 = |xk yk |，yk+1 = |yk zk |，zk+1 = |zk xk | ．
（Ⅰ）若 a0 = (1，2，3) ，求 a2 及 [a2 ] ；
（Ⅱ）是否存在 [a1] = 2 025？若存在，写出一个 a0 ；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）证明：对于任意 a0 ，必存在m N+ ，使 am = 0 ．
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参考答案
一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A D C C B D C D
二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）
（11）1 2i
13
（12） 4
2
（13） ( 2， 1) (x + 2)2 + (y +1)2 = 5
2
（14）
2
（15） (2，2，0) （答案不唯一，满足 x+y = 4 ）
（16）①，②，④
三、解答题（共 5 小题，共 70 分）
（17）（本小题 13 分）
解：（Ⅰ）焦点 F 到准线的距离是 p = 2 ,
抛物线C 的方程为 y2 = 2 px，即 y2 = 4x .
准线方程为 x = 1 .
（Ⅱ）焦点 F (1，0) ，
直线 l 的方程为 y =1 (x 1) ,
y = x 1，
由 消去 y 得 x2 6x+1= 0 . 2
y = 4x ，
解方程得 x1 = 3+2 2，x = 3 2 2 .代入 y = x 1得 y = 2+2 2，y = 2 2 2 . 2 1 2
得 A， B 两点的坐标为 (3+2 2，2+2 2)， (3 2 2，2 2 2) ，
所以 AB= (x1 x2 )
2 + (y 21 y2 ) = (4 2)
2 + (4 2)2 = 8 .
解法二：不解方程 x1 + x
2
2 = 6，x1x2 =1， = 6 4 0 ，
AB = x1 + x2 + p = 6+ 2 = 8
解法三： AB= 1+ k 2 |x x |= 1+ k 21 2 (x1 + x2)
2 4x x = 8 . 1 2
（18）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）解法一： AB//CD，AA1 //DD1，AB AA1 = A，CD DD1 = D ,
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平面 ABB1A1 //CDD1C1.
又 平面 ABB1A1 AB1E = AB1,平面CDD1C1 AB1E = EF ,
AB1 //EF .
又 AD//B1C1，AD=B1C1，四边形 AB1C1D 为平行四边形.
AB1 //DC1 ,
EF //DC1 .
又点 E 为 DD1 中点，
点 F 为C1D1 的中点.
解法二：连结 DC1 ,
在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中， AD//B1C1，AD=B1C1，四边形 AB1C1D 为平行四边形，
AB1 //DC1 .
AB1 平面 AB1E ， DC1 平面 AB1E ，
DC1 平面 AB1E ，
又 DC1 平面CDD1C1，平面 AB1E 平面CDD1C1 = EF ，
EF //DC1 .
又点 E 为 DD1 中点，
z
C D C 点 F 为 1 1 的中点.
D1 F 1
A1
B
解法三：(建系求法向量的分值给在第二问) 1
设 F (0，y，4) ，则 AF = ( 2，y，4). E
由 n AF = 0 ，得 2 2y + 4 = 0 ，
D C y
y =1 点 F 为C1D1 的中点.
A B
（左手法则建系也可以） x
（Ⅱ）因为DA，DC，DD1两两互相垂直，以 D 为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系D-xyz ，
则 D（0，0，0），A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0) ， E(0，0，2) , AE = ( 2，0，2) ,
A1(2，0，4)，D1(0，0，4)，C1(0，2，4)，B1(2，2，4) , AB = (0，2，4) . 1
n AB1 = 0， 2y + 4z = 0，
设平面 AB1E 的法向量为 n = (x，y，z)，则
n AE1 = 0.
2x + 2z = 0.
令 x =1，得 n = (1， 2，1) .
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平面 ABCD 的法向量为m = (0，0，1) ，
设平面 ABCD 与平面 AB1E 夹角为 ，
| m n | 1 6
所以 cos =| cos m，n |= = = .
| m || n | 6 6
6
平面 ABCD 与平面 AB1E 夹角的余弦值为 .
6
（19）（本小题 14 分）
解： （Ⅰ）连结 BD交 AC 于点 F ，
E 是 PD的中点， F 是 BD中点
EF PB .
又 EF 平面 ACE ，
PB 平面 ACE ,
PB 平面 ACE . z
注：建空间直角坐标系的此问得 0分. P
E
（Ⅱ）选条件①： PB⊥ AD作为已知，
PB⊥ AD， AB⊥ AD， AB PB = B ，
A D y
AD⊥平面 PAB .
AD⊥ PA . B C
x
选条件②： AE = 2 作为已知，
因为等腰三角形 PAD 中， E 为线段 PD的中点，所以 AE ⊥ PD .
AE = 2 得 PE = ED = 2 .
所以 PA2 + AD2 = PD2， AD⊥ PA .
平面 PAD⊥平面 ABCD ，交线为 AD， AB⊥ AD，
AB⊥平面 PAD . AB⊥ PA .
建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz .
AE = (0，1，1)， AC = (1，2，0) .
n AC = 0
设平面 ACE 的法向量为n = (x，y，z) ，则
n AE = 0.
x + 2y = 0
令 x=2 ，则 y = 1，z =1 .
y + z = 0.
n = (2， 1，1) 是平面 ACE 的一个法向量.
AP = (0，0，2)，
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AP n 0 2 + 0 ( 1) + 2 1 6
点 P 到平面 ACE 的距离为 d = = = .
n 22 + ( 1)2 +12 3
设直线 AA1 与平面C1DM 所成角为 ，则直线 AA1 与平面C1DM 所成角的正弦值为
d 6
sin = =
AP 6
解法二： AP = (0，0，2)， n = (2， 1，1)
AP n 0 0+ 0 ( 1) + 2 1 6
cos AP，n = = = .
AP n 2 22 + ( 1)2 +12 6
6
设直线 AA 与平面C DM1 1 所成角为 ， sin = cos AA1，n = .
6
（20）（本小题 14 分）

c 1
= ，a 2

a2 + b2 = c2 ，
9

1 + 4 =1.
2 2
解：（Ⅰ）由题意得 a b
a = 2 ，

又 a b 0 ，解得 b = 3，
c =1 .

x2 y2
所以椭圆C 的标准方程为 + =1 .
4 3
1 x2 y2
（Ⅱ）设直线方程为 y = x +m ，代入 + =1得，
2 4 3
x2 +mx +m2 3 = 0 ，设M (x1，y1)，N (x2 ，y2 )，
所以 0 ，得m2 4 1 (m2 3) 0， 2 m 2 .
x1 + x2 = m，x
2
1x2 = m 3 .
3 3 1
当M 或 N 坐标为 (1， ) 时， = +m ，m = 2 ，不合题意.
2 2 2
3 3
y1 y2
2 2
所以 kAM + kAN = +
x1 1 x2 1
3 3
(y1 )(x2 1) + (y2 )(x1 1)
= 2 2
(x1 1)(x2 1)
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(2y 3)(x 1) + (2y 3)(x 1)
= 1 2 2 1
2(x1 1)(x2 1)
(x
= 1
+ 2m 3)(x2 1) + (x2 + 2m 3)(x1 1)
2(x1 1)(x2 1)
2x1x2 + (2m 4)(x1 + x= 2
)
2(x1 1)(x2 1)
2(m2 3) + (2m 4)( m) 4m 6
=
2(x1 1)(x2 1)
=0
所以 AP = AQ . △APQ 是等腰三角形．
（21）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ）若 a0 = (1，2，3) ，则 x1 =1，y1 =1，z1 = 2 ， a1 = (1，1，2) ，
x2 = 0，y2 =1，z2 =1， a2 = (0，1，1)，
所以 a2 = 0 1 1= 0，
[a2 ] = 0 +1+1= 2．
（Ⅱ）不存在．
不防设 x0 ≤ y0 ≤ z0 ，
x1 = y0 x0，

所以 y1 = z0 y0，

z1 = z0 x0 .
相加得 x1 + y1 + z1 = 2(z0 x0)．
因为[a1] = x1 + y1 + z1 = 2025，
2025
所以 z0 x0 = ．
2
因为 xk ，yk ，zk N，k = 0，1，2，3， ，所以不存在满足条件的 a0 ．
（Ⅲ）设M k = max{xk，yk，zk} (k = 0，1，2，3， ) ，
假设对 k N， ak+1 0 ，即 xk+1，yk+1，zk+1均不为 0．
所以M k+1 M k+2 ．即M1 M 2 M3 ．
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又因为M k+1 N+ ，
所以M1 ≥ M 2 +1≥ M3 + 2≥ ≥ M 2+M +1+M1 1．
所以M 2+M ≤ 1． 1
与M 2+M N 矛盾，故假设不正确． 1
综上，对于任意 a0 ，必存在m N+ ，使 am = 0 ．
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