数学华师大版9年级反证法 教案
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反证法
教学目标
1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法.
2.培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力.
教学重点
反证法证题的步骤.
教学难点
理解反证法的推理依据及方法.
教学方法
讲练结合教学.
教具准备
投影片共3张
教学过程
（I）复习回顾
师：初中已学过反证法，什么叫做反证法？
生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.
师：本节将进一步研究反证法证题的方法.
(II)讲授新课
§1.7.3 反证法证题的步骤是什么？
生：共分三步：（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
(注：学生回答时，教师投影出：反证法证明命题的一般步骤.)
师：反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。
例如：“在ΔABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角。”显然命题的结论是正确的，但直接证明是较困难的，而用反证法就容易证明之。请一同学证明。
生：假设∠B是直角，因∠C是直角，所以∠C+∠B=1800，此时∠A=00，这与ABC为三角形相矛盾。所以∠B为锐角。
师：请讨论上述证明推理是否正确？为什么？
生：上述证明推理不完整。因∠B不是锐角有两种情况，即∠B为直角或钝角，必须对两种可能均加以否定，才能证明∠B一定是锐角。
师：分析正确。由此在运用反证法证明命题中如果命题结论的反面不止一个时，必须将结论所有反面的情况逐一驳证，才能肯定原命题的结论正确.
下面看例题：（投影片2）
例3：用反证法证明：如果a>b>0,那么 。
（由学生回答，教师书写）
说明：假设 不大于 ，即 或 。
∵ a>0,b>0;∴
(由学生回答上述步骤转化的目的是什么？)
(推理利用了不等式的传递性)。
又由 ，但这些都与已知条件a>b>0矛盾.
∴ 成立。
（投影片3）
例4：用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。已知：如图：在⊙0中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径。求证：弦AB、CD不被P平分。
师分析：假设弦AB、CD被P平分，连结OP，由平面几何知识可推出：
生：OP⊥AB且OP⊥CD。又推出：在平面内过一点P有两条直线
AB和CD同时与OP垂直，这与垂线性质矛盾，则原命题成立。
证明：（略）（可由投影片给出证明）
师：由上述两例题可看：利用反证法证明时，关键是从假设结论的反面出发，经过推理论证，得出可能与命题的条，或者与已学过的定义、公理、定理等相矛盾的结论，这是由假设所引起的，因此这个假设是不正确的，从而肯定了命题结论的正确性。
例5：若p>0,q>0,p3+p3=2.试用反证法证明：p+q≤2.
师：此题直接由条件推证p+q≤2是较难的，由此用反证法证之。
师生共同分析：
证明：假设p+q>2,∵p>0,q>0.则：（p+q）3=p3+3p2q+3pq2+q3>8.
又∵p3+q3=2。∴代入上式得：3pq(p+q)>6,即：(pq(p+q)>2.(1)
又由p3+q3=2，即(p+q)(p2-pq+q2)=2代入（1）得：
pq(p+q)>(p+q)(P2-pq+q2).
但这与（p-q）2≥0矛盾，∴假设p+q>2不成立。故p+q≤2.
师：对反证法的掌握，还有待于随着学习的深入，逐步提高。
（III）课堂练习：（略） （课本P33 1、2）
（IV）课时小结
本节重点研究了反证法证题的一般步骤及反证法证明命题的应用。对于反证法的熟练掌握还需在今后随着学习的深入，逐步加强和提高。
（V）课后作业
一、书面作业：课本P34，习题1.7:5题。
二、预习：下节内容，预习提纲：
1.充分条件与必要条件的意义是什么？
2.命题“若p则q”的真假与p是q的充分条件，q是p的必要条件的关系是什么？
板书设计
§1.7.3 反证法1.反证法证明命题的步骤。2.反证法应用：例题。小结：
教学后记
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反证法
教学目标
1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法.
2.培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力.
教学重点
反证法证题的步骤.
教学难点
理解反证法的推理依据及方法.
教学方法
讲练结合教学.
教具准备
投影片共3张
教学过程
（I）复习回顾
师：初中已学过反证法，什么叫做反证法？
生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.
师：本节将进一步研究反证法证题的方法.
(II)讲授新课
§1.7.3 反证法证题的步骤是什么？
生：共分三步：（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
(注：学生回答时，教师投影出：反证法证明命题的一般步骤.)
师：反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。
例如：“在ΔABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角。”显然命题的结论是正确的，但直接证明是较困难的，而用反证法就容易证明之。请一同学证明。
生：假设∠B是直角，因∠C是直角，所以∠C+∠B=1800，此时∠A=00，这与ABC为三角形相矛盾。所以∠B为锐角。
师：请讨论上述证明推理是否正确？为什么？
生：上述证明推理不完整。因∠B不是锐角有两种情况，即∠B为直角或钝角，必须对两种可能均加以否定，才能证明∠B一定是锐角。
师：分析正确。由此在运用反证法证明命题中如果命题结论的反面不止一个时，必须将结论所有反面的情况逐一驳证，才能肯定原命题的结论正确.
下面看例题：（投影片2）
例3：用反证法证明：如果a>b>0,那么 。
（由学生回答，教师书写）
说明：假设 不大于 ，即 或 。
∵ a>0,b>0;∴
(由学生回答上述步骤转化的目的是什么？)
(推理利用了不等式的传递性)。
又由 ，但这些都与已知条件a>b>0矛盾.
∴ 成立。
（投影片3）
例4：用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。已知：如图：在⊙0中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径。求证：弦AB、CD不被P平分。
师分析：假设弦AB、CD被P平分，连结OP，由平面几何知识可推出：
生：OP⊥AB且OP⊥CD。又推出：在平面内过一点P有两条直线
AB和CD同时与OP垂直，这与垂线性质矛盾，则原命题成立。
证明：（略）（可由投影片给出证明）
师：由上述两例题可看：利用反证法证明时，关键是从假设结论的反面出发，经过推理论证，得出可能与命题的条，或者与已学过的定义、公理、定理等相矛盾的结论，这是由假设所引起的，因此这个假设是不正确的，从而肯定了命题结论的正确性。
例5：若p>0,q>0,p3+p3=2.试用反证法证明：p+q≤2.
师：此题直接由条件推证p+q≤2是较难的，由此用反证法证之。
师生共同分析：
证明：假设p+q>2,∵p>0,q>0.则：（p+q）3=p3+3p2q+3pq2+q3>8.
又∵p3+q3=2。∴代入上式得：3pq(p+q)>6,即：(pq(p+q)>2.(1)
又由p3+q3=2，即(p+q)(p2-pq+q2)=2代入（1）得：
pq(p+q)>(p+q)(P2-pq+q2).
但这与（p-q）2≥0矛盾，∴假设p+q>2不成立。故p+q≤2.
师：对反证法的掌握，还有待于随着学习的深入，逐步提高。
（III）课堂练习：（略） （课本P33 1、2）
（IV）课时小结
本节重点研究了反证法证题的一般步骤及反证法证明命题的应用。对于反证法的熟练掌握还需在今后随着学习的深入，逐步加强和提高。
（V）课后作业
一、书面作业：课本P34，习题1.7:5题。
二、预习：下节内容，预习提纲：
1.充分条件与必要条件的意义是什么？
2.命题“若p则q”的真假与p是q的充分条件，q是p的必要条件的关系是什么？
板书设计
§1.7.3 反证法1.反证法证明命题的步骤。2.反证法应用：例题。小结：
教学后记