北京市延庆区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（PDF版，含答案）

2025北京延庆高二（上）期末
数 学
2025.1
本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考
试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
2 4i
（1）复数 z = ，则 z 的虚部为
1+ i
（A） 3i （B） 3i （C） 3 （D） 3
2
2 y
（2）双曲线 x = 1的离心率为
3
6 2 3
（A） 2 （B） （C） （D） 3
3 3
2 2
（3）若直线 x + y + a = 0与圆 (x +1) + y = 2 相切，则实数 a的值为
（A） 3 （B） 1 （C） 3或 1 （D） 3或1
2 2
x y
（4）已知 P 是双曲线C : = 1上的动点，则 P 到双曲线两个焦点距离之差的绝对
4 12
值为
（A） 4 （B） 4 （C）8 （D） 4 3
2
（5）已知抛物线C : y = 12x 的焦点为 F ，点 M 在C 上，若 M 到直线 x = 6 的距离为
7 ，
则 | MF |=
（A） 4 （B） 5 （C） 6 （D） 7
2 2
（6） x y已知椭圆C : + =1(a b 0)的左右焦点为 F1， F2 ，上下顶点为 B ，2 2 1
a b
B C2 ，若△F1B1F2 为等腰直角三角形，则椭圆 的离心率为
1 2 3 3（A） （B） （C） （D）
2 2 4 2
（7）如图，在正方体 ABCD A B C D 中， E 是棱CD1 1 1 1 上的
动点．则下列结论不正确的是
（A） D E / / 平面 A1B1 1BA （B） EB1 ⊥ AD1
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（C）二面角 E A1B1 A的大小为
4
（D）直线 EB1 与平面 ABCD 所成角的大小不变
2 2
x y
（8）“m 3”是“方程 = 1表示焦点在 y 轴上双曲线”的
3 m 1 m
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）已知圆C 的方程为 x2 + y2 8x +15 = 0，若直线 y = kx 2 上至少存在一点，使得以
该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则 k 的最大值是
4 3 5
（A） （B） （C） （D）1
3 2 3
（10）如图，在长方体 ABCD A B C D 中， AB = BC = 41 1 1 1 ，
AA = 3， BE = CF1 ， EF = 2 3， A1N = 4，M 是平
面 A1D1CB 上的动点，且满足△MEF 的周长为 4 + 2 3 ，
则△MD1N 面积的最小值是
（A） 4 （B） 2 （C）5 2 3 （D） 6 2 5
第二部分 （非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
（11）以 A(2, 4) , B ( 2, 2)为直径的两个端点的圆的标准方程是 ．
2 2
2 y x
（12）若抛物线 x = 2 py( p 0) 的焦点与椭圆 + = 1的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．
4 3
x2
（13）已知直线 y = kx +1与双曲线 y2 =1的一条渐近线垂直，则斜率 k 的一
4
个取值是 ．
（14）“中国天眼”反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕着其对称轴旋转所形
成的曲面称为抛物面），利用了抛物线的光学性质：由其焦点出发的光线
照射到抛物线，经反射后的光线平行于抛物线的对称轴．如图所示：抛
2
物线C : y = 4x ，一条光线经过M (4, 3)，与 x轴平行照射到抛物线上
的点 A处，第一次反射后经过抛物线的焦点 F 到抛物线上的点 B 处， B
第二次反射后经过 N (4, y2 ) ，则 A的坐标为 ， | MA | + | AB | + | BN |
的值为 ．
2 A
（15）已知曲线C : 4y x | x |= 4，点 F ( 3, 0)，下面有四个结论：
①曲线C 关于 x轴对称；
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②曲线C 与 y 轴围成的封闭图形的面积大于 2；
③曲线C 上任意点 P 满足 | PF |≥ 2；
④曲线C 与曲线 (x 2y m)(x + 2y m) = 0, (m R)的交点个数可以是 0 个、 2个、
3个、 4个．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（16）（本小题 13 分）
2 1
已知函数 f (x) = 3 sin x cos x sin x + ( 0)．
2
7
（Ⅰ）若 = 1，当 x [ , ]时，求 f (x) 的最大值和最小值及相应的 x；
12 12

（Ⅱ）若函数 f (x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，求 的值和 f (x) 的单调递增区间．
4
（17）（本小题 13 分）
3
在△ABC 中， A为钝角， a = 7 ， sin 2B = bcos B．
7
（Ⅰ）求 A；
（Ⅱ）若 b = 3，求△ABC 的面积．
（18）（本小题 14 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PA= AB = 2， PA⊥ AD ， E 为线段 PD 上的
中点．
（Ⅰ）求证： PB // 平面 ACE ；
（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个，使
得 PA⊥平面 ABCD ，并求直线 PC 与平面 ACE 所成角的
正弦值和二面角 E AC B 的余弦值．
条件①： PB = 2 3 ；
条件②： PB = PD；
条件③：平面 PAD ⊥平面 ABCD ．
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（19）（本小题 15 分）
已知椭圆的中心是坐标原点O ，它的短轴长为 2 2 ，一个焦点 F 的坐标为
10
(c, 0) (c 0)，点T 的坐标为 ( c, 0)，且椭圆两个焦点之间的距离为 4．
c
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）如果过点 F 且斜率为1的直线与椭圆相交于点 M ， N 两点，求△OMN 的面积；
（Ⅲ）如果过点T 的直线与椭圆相交于点 P ，Q 两点，且OP ⊥ OQ，求直线 PQ 的斜率．
（20）（本小题 15 分）
2 2
x y 1
已知椭圆C : + = 1
2 2 (a b 0)的离心率为 ，右焦点为 F ，点 A(a, 0)，且 AF = 1，过点 F
a b 2
的直线 l （不与 x轴重合）交椭圆C 于点 M ， N ，直线MA， NA 分别与直线 x = 4 交于点 P ，Q .
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若 | PQ |≤12，求直线 l 斜率的取值范围；
（Ⅲ）判断点 A与以 PQ 为直径的圆的位置关系，并证明你的结论.
（21）（本小题 15 分）
设正整数 n≥ 4，若由实数组成的集合 A = a1, a2 , , an 满足如下性质，则称 A为 Hn 集合：对 A中
任意四个不同的元素 a,b,c,d ，均有 ab + cd A .
1 1
例如，判断 A ={0, ,1,3}是否为 H4 集合：当 ab = 0 时，此时 ab + cd = 3 A；
3 3
1 1
当 ab = 0 1时，此时 ab + cd = 1 A；当 ab = 0 3时，此时 ab + cd = A .所以 A ={0, ,1,3}是 H4 集合.
3 3
1 1
（Ⅰ）判断集合 A1 = 0, ,1, 4 和 A 是否为 H 集合； 2 = ,1, 2,3 4
4 3
（直接写出答案，结论不需要证明）
（Ⅱ）若集合 A = { 1,1, x, y}为 H4 集合，求出所有集合 A，并说明理由；
（Ⅲ）若集合 A = a1, a2 , a , a 为 H4 集合，求证： A中元素不能全为正实数． 3 4
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
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参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）D （2）A （3）C （4）B （5）A
（6）B （7）D （8）C （9）A （10）D
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（ ） x2 +（y +1）211 =13 （12） y =1
（13） 2或 2（两个都答不给分）
9
（14） ( , 3) ，10 （注： 第一问 3 分，第二问 2 分）
4
（15）①②④ （注：对一个 2 分，两个 3 分，有选错 0 分）
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（共 13 分）
1
解： f (x) = 3sin xcos x sin
2 x +
2
3 1 cos2 x 1
= sin 2 x + ……2 分
2 2 2

= sin 2 xcos + cos2 xsin … …3 分
6 6

= sin(2 x + ) … … 4 分
6

（Ⅰ）当 = 1时， f (x) = sin(2x + )
6
7 4
由 x [ , ] ，可得 2x + [ , ] ……5 分
12 12 6 3 3

当 2x + = 时， f (x) 取最大值1，此时 x = ……7 分
6 2 6
4 3 7
当 2x + = 时， f (x) 取最小值 ，此时 x = ……9 分
6 3 2 12
（Ⅱ）因为函数 f (x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为
4
所以 2 T = = ，且 0，所以 = 2， ……10 分
| 2 | 2

f (x) = sin(4x + )
6

由 + 2k 4x + + 2k ……11 分
2 6 2
k k
得 f (x)的单调递增区间为 [ + , + ],k Z ……13分
6 2 12 2
（17）（共 13 分）
3
解：（Ⅰ）由题意得 2sin B cos B = b cos B ，因为 A为钝角， ……1 分
7
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3
得 cos B 0 ，则 2sin B = b， ……2 分
7
a b
由正弦定理 = ……4 分
sin A sin B
b 2 a 7 3
得 = = = ，解得 sin A = ， ……5 分
sin B 3 sin A sin A 2
7
2π
因为 A为钝角，则 A = . ……7 分
3
（Ⅱ）当b = 3时，
2 2 2
由余弦定理 a = b + c 2bc cos A ， ……9 分
2 2
得 49 = 9 + c 6c cos ，
3
解得 c = 5 ……10 分
1 1 3 15 3
则 S ABC = bcsin A = 5 3 = . ……13 分
2 2 2 4
（18）（共 14 分）
（Ⅰ）证明：设 BD交 AC于点 O，连结OE .
因为底面 ABCD 为正方形，所以 O是 BD中点， E 为线段 PD 上的中点
所以OE 是 PBD的中位线 ……1 分
所以 PB / / OE ， ……2 分
OE 平面 ACE ， ……3分
PB 平面 ACE ， ……4分
所以直线 PB / / 平面 ACE ．
（Ⅱ）解：选择②， PB = PD，又因为底面 ABCD 为正方形， PA⊥ AD
可得 PAB PAD，所以 PA⊥ AB，所以 PA⊥平面 ABCD ， ……5分
以 A为原点， AB ， AD ， AP 的方向分别为 x，y，z轴正方向建立空间直角坐标
系，则 A(0, 0, 0)， B(2, 0, 0)， C(2, 2, 0) ， D(0, 2, 0) ， P(0, 0, 2)， E(0,1,1) ，
AE = (0,1,1) , AC = (2, 2, 0) , PC = (2, 2, 2) ……6 分
设平面 ACE 的法向量为 n = (x, y, z)
n AC = 2x + 2y = 0
由 ，得 n = (1, 1,1) ； ……8 分
n AE = x + z = 0
设直线 PC 与平面 ACE 所成角为 θ．
| n PC | 1
则 sin =| cos n, PC |= = ． ……10分
| n || PC | 3
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1
∴直线 PC 与平面 ACE 所成角的正弦值为 ．
3
设二面角 E AC B 的为 ， 为钝角，
平面 ABCD 的法向量为m = (0, 0,1) ……11分
n m 3
cos = | cos n, m |= | |= ， ……13 分
| n || m | 3
3
二面角 E AC B 的余弦值为 ． ……14 分
3
选择③，平面 PAD ⊥平面 ABCD ，又因为平面 PAD 平面 ABCD = AD ， PA⊥ AD ，
PA 平面 PAD，所以 PA⊥平面 ABCD ，
选择①，错误
（19）（共 15 分）
2 2
x y
解：（Ⅰ）由题意椭圆的焦点在 x 轴上，标准方程设为 + = 1
2 2 (a b 0)
a b
2b = 2 2

所以 2c = 4 解得b = 2,c = 2,a = 6 ， ……3 分

a
2 = b2 + c2
x2 y2
所以椭圆 C的方程为 + =1， ……4 分
6 2
6
椭圆离线率 e = ． ……5 分
3
（Ⅱ）过点 F 且斜率为1的直线方程为 y＝x 2， ……6 分
y = x 2，
2
联立 x2 y2 得4x 12x + 6 = 0． ……7 分
+ =1，
6 2
3
则 x1 + x2 = 3， x1x ． 2 =
2
1+ k 2 (x + x )2| MN |= 1 2 4x1x2 = 6 ……9 分
| 2 |
OMN 的高 h = = 2
2
1
S OMN = | MN | h = 3 ……10 分
2
（Ⅲ）当直线过点T 且斜率存在时，设方程为 y＝k(x 3) ，
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y = k (x 3)，

联立 x2 y2 得 (3k
2 +1)x2 18k 2x + 27k 2 6 = 0 ．……11 分
+ =1，
6 2
18k 2
x + x = 27k
2 6
则 1 2 2 ， x ． ……12 分 1x2 =3k +1 3k 2 +1
因为过点T 的直线与椭圆相交于点 P ，Q 两点，且OP ⊥ OQ，
设 P(x1, y1),Q(x , y ) ，知 ＞0成立， x1x2 + y y = 02 2 1 2 ……13分
3k 2
y1y2 = k(x1 3) k(x2 3) = 2 3k +1
27k 2 6 3k 2 5
x1x2 + y1y2 = + = 0，解得 k = 2 2 ，经检验可知 ＞0 3k +1 3k +1 5
当斜率不存在时，OP ⊥ OQ不成立。 ……15 分
（20）（共 15 分）
c 1
= ，
（Ⅰ）解：由题意得 a = 2,c =1 a 2 解得 ， ……2 分

a c =1，
从而b = a2 c2 = 3 ， ……3 分
x2 y2
所以椭圆 C的方程为 + =1． ……4 分
4 3
3 3
（Ⅱ）解：当直线 l的斜率不存在时，有M 1, ， N 1, ，
2 2 P(4, 3),Q(4，3), F (1,0), A(2,0)
，

| PQ |= 6．
当直线 l的斜率存在时，设 l : y＝k(x 1)，其中 k 0．
y = k (x 1)，
联立 得 (4k
2 +3)x2 8k 2x + 4k 2 12 = 0．……5 分
3x2 + 4y
2 =12，
由题意，知 ＞0恒成立，设M (x1 , y1), N(x2 , y2 )，
8k 2 4k 2 12
则 x + x = ， x1x2 = ． ……6 分 1 2 2
4k 2 +3 4k + 3
y1
直线MA的方程为 y = (x 2)，
x1 2
2y 2y
令 x = 4
2y
，得 yP =
1 ，即 P 4,
1
，同理可得Q
2
4, ．……8 分
x1 2 x1 2 x2 2
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2y1 2y 2y| PQ |=| y y 2 1
(x2 2) 2y2 (x1 2)
所以 P Q |=| |=| |
x1 2 x2 2 x1x2 2(x1 + x2 )+ 4
2k(x x )
将 y = k (x 1)，y = k (x 1)代入整理得 | PQ |=| 2 1 |1 1 2 2 x1x2 2(x1 + x2 )+ 4
2k (x2 + x
2 2 2
1) 4x1x2 6 k +1 k +1
| PQ |=| |=| |= 6
2 ……10 分 x1x2 2(x1 + x2 )+ 4 k k
3 3
| PQ | 12，解得 k ( , ] [ ,+ ) ……11 分
3 3
（Ⅲ）点A 在以 PQ 为直径的圆的内部.
3 3
证明：当直线 l的斜率不存在时，有M 1, ， N 1, ， P(4, 3),Q(4，3), F (1,0), A(2,0) ，
2 2
则 AP = (2, 3)， AQ = (2,3)，故 AP AQ = 5，即 PAQ 90 ．……12分
2y 2y
由（Ⅱ）可知 P 4,
1 2
，Q 4, ．
x1 2 x2 2
2y 2y
所以 AP = 2,
1
， AQ =
2
2, ．
x1 2 x2 2
2 2
4y y 4k (x 1)(x 1) 4k x1x2 (x1 + x2 )+1 1 2
因为 AP AQ = 4+ 1 2 = 4+ = 4+
(x1 2)(x2 2) (x1 2)(x2 2) x1x2 2(x1 + x2 )+ 4
2 4k
2 12 8k 2
4k +1
4k 2 +3 4k 2

+3 4k
2 (4k 2 12) 8k 2 + (4k 2 +3 ) = 4+ = 4+ = 5 0，
4k 2 12 16k 2 (4k 2 12 16k 2 + 4 + 4 ) (4k
2 + 3)
4k 2 +3 4k 2 +3
所以 PAQ 90 ， ……14 分
综上 PAQ 90 ，点A 在以 PQ 为直径的圆的内部. ……15 分
（21）(共 15 分）
1
解：（Ⅰ）集合 A1 = 0, ,1,4 是H4 集合， ……2 分
4
1
集合 A = ,1,2,3 不是H4 集合， ……4 分 2
3
（Ⅱ）当 a,b,c,d = 1,1, x, y 时， ab + cd = 1+ xy A，
当 a,b,c,d = 1, x,1, y 时， ab + cd = x + y A，
当 a,b,c,d = 1, y, x,1 时， ab + cd = y + x A， ……5 分
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不妨设 x y ，由集合互异性可知： x 1, y 1
则 x + y y + x且互为相反数，
若{ y + x， x + y}={x, y}，可得 x = y = 0 ，不符合题意
则{ y + x， x + y}={ 1,1}，可得 y = x +1
当 1+ xy = 1时， xy = 0，不符合题意
当 1+ xy =1时，解得 x = 2， y = 1或 x =1， y = 2 ，不符合题意
当 1+ xy = x 时，解得 x = 1， y = 0或 x =1， y = 2 ，不符合题意……6 分
当 1+ xy = y 时，解得 x = 2 ， y = 2 +1或 x = 2 ， y =1 2 ，符合题意
所以集合 A = 1,1, 2, 2 +1 或 A = 1,1, 2, 2 +1 ……8 分
（Ⅲ）假设 A中元素全为正实数，不妨设0 a1 a2 a3 a4
当 a,b,c,d = a1,a2 ,a3,a4 时， ab + cd = a1a2 + a3a4 A，
当 a,b,c,d = a1,a3,a2 ,a4 时， ab + cd = a1a3 + a2a4 A，
当 a,b,c,d = a1,a4 ,a2 ,a3 时， ab + cd = a1a4 + a2a3 A，
(a a + a
由于 1 2 3
a4 ) (a1a3 + a2a4 ) = a4 (a3 a2 ) a1 (a3 a2 ) = (a4 a1 )(a3 a2 ) 0
(a1a3 + a2a4 ) (a1a4 + a2a3 ) = a2 (a4 a3 ) a1 (a4 a3 ) = (a4 a3 )(a2 a1 ) 0所以
a1a2 + a3a4 a1a3 + a2a4 a1a4 + a2a3 ……9 分
①当 A中元素至少 2个大于1时，此时1 a3 a4 ，
a1a2 + a3a4 a3a4 a4 A ……10 分
②所以 A中元素至多1个大于1，此时0 a1 a2 a3 1 a4
a1a4 + a2a3 a1a4 a1，0 a3 a1 1
所以{a1a2 + a3a4 ,a1a3 + a2a4 ,a1a4 + a2a3}={a4 ,a3 ,a2}，
a1a2 + a3a4 = a4

可得 a a + a a = a ，可得 a1a2 + a3a4 a1a4 a2a3 = a4 a2 ，即 (a4 a2 )(a3 a1) = a4 a1 3 2 4 3 2 不成

a1a4 + a2a3 = a2
立， ……12 分
③所以 A中元素小于等于1，即0 a1 a2 a3 a4 1
0 a4 a3 a4 a2 a4 a1 1
此时{a1a2 + a3a4 ,a1a3 + a2a4 ,a1a4 + a2a3} {a4 ,a3 ,a2 ,a1}，
包含以下几种情况：
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第一种：{a1a2 + a3a4 ,a1a3 + a2a4 ,a1a4 + a2a3}={a4 ,a3 ,a2}，
a1a2 + a3a4 = a4

可得 a a + a a = a ，可得 a1a2 + a3a a a a a1 3 2 4 3 4 1 4 2 3 = a4 a2 ，即 (a4 a2 )(a3 a1) = a4 a2 不成

a1a4 + a2a3 = a2
立，
第二种：当{a1a2 + a3a4 ,a1a3 + a2a4 ,a1a4 + a2a3}={a3,a2 ,a1}时，
a1a2 + a3a4 = a3

可得 a a + a a = a ，可得 a1a2 + a3a4 a1a4 a a = a1 3 2 4 2 2 3 3 a1 ，即 (a4 a2 )(a3 a1) = a3 a1不成

a1a4 + a2a3 = a1
立，
第三种：当{a1a2 + a3a4 ,a1a3 + a2a4 ,a1a4 + a2a3}={a4 ,a2 ,a1}或{a4 ,a3 ,a1}时，
a1a2 + a3a4 = a4
可得 ，可得 a1a2 + a3a4 a1a4 a2a3 = a4 a1，即 (a4 a2 )(a3 a1) = a4 a1，即
a1a4 + a2a3 = a1
a4 aa a = 1 1不成立， ……15 分 3 1
a4 a2
由①②③都错，可知假设集合A 中全为正实数为错误命题，所以集合A 中不全为正实数.
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