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专题5：抛物线中的特殊四边形存在性问题 导学案
学习目标：
1.会利用中点坐标公式求平行四边形四个顶点的坐标.（重点）
2.分情况讨论，是否存在符合条件的点.（难点）
3.在相互交流中增强合作交流意识和探究精神，培养良好的学习习惯，增强求知欲望.
一、复习引入
我们学过的特殊四边形有哪些？分别有什么性质？
_____________ ___________ ____________ ___________
二、推进新课
若在平面直角坐标系中，有平行四边形ABCD.四点的坐标分别为A（xa,ya）、B（xb,yb）、C（xc,yc）、D（xd,yd）.则点O的坐标为
例1 如图，抛物线 y ＝-0.5x2+ bx +c经过 B，D 两点，与x轴的另一个交点为 A，与 y 轴相交于点C.
（1）求抛物线的解析式； （2）设点 Q 在 y 轴上，点 P 在抛物线上，要使以 A，B，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点 P 的坐标．
解：（1）把 B_________和 D__________代入抛物线的解析式，
得______________，解得________________所以抛物线的解析式为______________．
设 Q（0，n），由题可知AB = ______.
①若______为平行四边形的边，则AB∥PQ，AB＝______.
②若 AB 为平行四边形的_________，如图，设 AB 与 PQ 交于点 E，则 E 为 AB 的中点，易得 E（1，0）.
因为 P，Q 两点关于点 E 对称，所以点 P 的坐标为___________.
综上，满足条件的点 P 的坐标为__________________________________.
例2 如图，已知抛物线 y = ax2+ bx + c 与 x 轴交于点 A(-1,0)，B(3,0)，与 y 轴交于点 C(0,3). 顶点为 D.
（1）该抛物线的解析式为_______________，点 D 的坐标为____________；
（2）若点 P 在抛物线上，点 Q 在 x 轴上，当以 D，C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 P 的坐标．
解：(2)①若 CD 为平行四边形的一边，因为 yD-yC=1,所以|yP-yQ|= ______.
∵|yQ| = 0，∴|yP| = 1.
当 yP=1时，-x2+2x+3= 1，解得___________.
当 yP=-1时，-x2+2x+3= -1解得____________.
所以_____________________________________.
②若 CD 为平行四边形的对角线，可知点
P ____________在抛物线上，则这种情况_____________.
三、课堂练习
如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，过点 A 的直线l交抛物线于点 C(2，m)．
（1）求抛物线的解析式．
（2）P是线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点 E，求线段 PE 最长时点 P 的坐标．
（3）F 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 D，使得以 A，C，D，F 为顶点的四边形是平行四边形？
如果存在，请直接写出所有满足条件的点 D 的坐标；如果不存在，请说明理由．
四、课堂小结
谈谈你本节课的收获.
平行四边形存在性问题，基本都可以利用坐标模型求解，具体步骤如下：
第一步：写出或设出平行四边形_____________的坐标；
第二部：以___________为分类标准，分情况讨论，求出四个顶点的坐标；
第三步：_检验_求出的点是否____________,即能否构成平行四边形.
五、作业布置
见精准作业布置单.中小学教育资源及组卷应用平台
专题5：抛物线中的特殊四边形存在性问题 教学设计
教学目标
1.会在平面直角坐标系中解决抛物线中的平行四边形的存在性问题.
2.会利用中点坐标公式求平行四边形四个顶点的坐标.
3.在相互交流中增强合作交流意识和探究精神，培养良好的学习习惯，增强求知欲望.
教学重点
会利用中点坐标公式求四个顶点的坐标.
教学难点
分情况讨论，是否存在符合条件的点.
教学过程
一、复习引入
我们学过的特殊四边形有哪些？说说分别有什么性质？
平行四边形 矩形 菱形 正方形
性质：对角线互相平分
二、推进新课
若在平面直角坐标系中，有平行四边形ABCD.四点的坐标分别为A（xa,ya）、B（xb,yb）、C（xc,yc）、D（xd,yd）.则点O的坐标为
例1 如图，抛物线 y ＝-0.5x2+ bx +c经过 B，D 两点，与 x 轴的另一个交点为 A，与 y 轴相交于点 C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点 Q 在 y 轴上，点 P 在抛物线上，要使以 A，B，P，Q
为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点 P 的坐标．
解：（1）把 B（3，0）和 D（-2，）代入抛物线的解析式，
得 解得 所以抛物线的解析式为 y＝-0.5x2+x+1.5．
（2）设 Q（0，n），由题可知AB = 4.①若AB为平行四边形的边，则AB∥PQ，AB＝PQ.
如图：
②若 AB 为平行四边形的对角线，如图，设 AB 与 PQ 交于点 E，则 E 为 AB 的中点，易得 E（1，0）.
因为 P，Q 两点关于点 E 对称，所以点 P 的坐标为（2，-n）.
综上，满足条件的点 P 的坐标为
例2 如图，已知抛物线 y = ax2+ bx + c 与 x 轴交于点 A(-1,0)，B(3,0)，与 y 轴交于点 C(0,3). 顶点为 D.
该抛物线的解析式为__y=-x2+2x+3_，点 D 的坐标为__(1,4)_；
（2）若点 P 在抛物线上，点 Q 在 x 轴上，当以 D，C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 P 的坐标．
(2)①若 CD 为平行四边形的一边，因为 yD-yC=1,所以|yP-yQ|= 1.
∵|yQ| = 0，∴|yP| = 1.
当 yP=1时，-x2+2x+3= 1，解得
所以
当 yP=-1时，-x2+2x+3= -1，
解得所以
②若 CD 为平行四边形的对角线，可知点 P 不可能在抛物线上，
则这种情况不存在. 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为
三、课堂练习
如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，过点 A 的直线l交抛物线于点 C(2，m)．
（1）求抛物线的解析式．
解：（1）将 A（-1，0），B（3，0）代入 y=x2+bx+c,
得 解得
所以抛物线的解析式为 y=x2-2x-3.
（2）P是线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点 E，求线段 PE 最长时点 P 的坐标．
解：（2）将 C（2，m）代入y=x2-2x-3，得m=-3，所以 C（2，-3）.
从而易得直线 AC 的解析式是 y = -x-1.
设点 P 的横坐标为x(-1≤x≤2)，则点 P（x,-x-1），E(x,x2-2x-3).
因为点 P 在点 E 的上方，所以 PE=-x-1-(x2-2x-3) =-x2+x+2=
因为 -1＜0，所以当 x=时，PE 取最大值为，此时 P(，)?.
（3）F 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 D，使得以 A，C，D，F 为顶点的四边形是平行四边形？
如果存在，请直接写出所有满足条件的点 D 的坐标；如果不存在，请说明理由．
四、课堂小结
本节课，你有什么收获.
平行四边形存在性问题，基本都可以利用坐标模型求解，具体步骤如下：
第一步：写出或设出平行四边形__四个顶点_的坐标；
第二部：以_对角线__为分类标准，分情况讨论，求出四个顶点的坐标；
第三步：_检验_求出的点是否_符合题意_,即能否构成平行四边形.
五、作业布置
见精准作业布置单.
六、板书设计
专题5：抛物线中的特殊四边形存在性问题 右边板书
四顶点坐标模型：
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课前诊测
对于二次函数y＝x2－6x＋11的图象，下列叙述正确的是( )
A．开口向下 B．对称轴为直线x＝3
C.顶点坐标为(－3，2) D．当x≥3时，y随x增大而减小
用配方法把二次函数y＝x2－4x＋5化为y＝a(x＋m)2＋k的形式，并指出该函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．
抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为(3，0)，点C坐标为(0，3).求抛物线的解析式．
精准作业
必做题
1．如图，抛物线 y = ax2+ bx + 6?(a ≠ 0)?经过 A(1,0)，B(3,0) 点．
（1）求抛物线的解析式.
（2）P 为抛物线上的一动点，Q 为对称轴上的一动点，是否存在这样的点 P，使以 A，D，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象交x轴于点A(－3，0)，B(1，0)，交y轴于点C.点P(m，0)是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N.
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
探究题
在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于A(－3，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，直线y＝x＋与抛物线交于A，D两点，与直线BC交于点E.若M(m，0)是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H.
①当点F在直线AD上方的抛物线上，且S△EFG＝S△OEG时，求m的值；
②在平面内是否存在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
课前诊断
B
解：y＝x2－4x＋5＝(x－4)2－3，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝4，顶点坐标是(4，－3).
解：y＝－x2＋2x＋3.
精准作业
解：（1）抛物线的解析式为 y = 2x2-8x + 6.
（2）若 AD 为平行四边形的边，因为以 A，D，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形，
所以AD = PQ，所以 xD - xA = xP - xQ 或 xD- xA = xQ -xP .
因为点 Q 在 l 上，所以 xQ = 2,所以 xP = 4-1+2 = 5 或 xP = 2-4+1 = -1，
此时 yP = 2（xP-2)2-2 = 16,所以点 P 的坐标为 (5,16) 或 (-1,16)；
若 AD 为平行四边形的对角线，因为以 A，D，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形，
所以 AD 与 PQ 互相平分，所以 (xA + xD)/2 = (xP + xQ)/2，
所以 xP = 3，此时 yP = 2(xP-2)2-2 = 0,所以点 P 的坐标为 (3,0).
综上所述，当点 P 的坐标为 (5,16) 或 (-1,16) 或 (3,0) 时，可以使以 A，D，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形．
2.解：(1)y＝x2＋2x－3.
(2)①由A(－3，0)，C(0，－3)得直线AC的解析式为y＝－x－3，
∵点P(m，0)是x轴上的一动点，且PM⊥x轴，∴M(m，－m－3)，N(m，m2＋2m－3)，
∴MN＝(－m－3)－(m2＋2m－3)＝－m2－3m＝－(m＋)2＋.
∵a＝－1＜0，∴当m＝－时，MN有最大值.
②Ⅰ如图①中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．
∵MN＝－m2－3m，MC＝－m，∴－m2－3m＝－m，解得m1＝－3＋或m2＝0(舍去).∴MN＝3－2，∴CQ＝MN＝3－2，∴OQ＝3＋1，∴Q(0，－3－1).
Ⅱ如图②中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ＝2，可得Q(0，－1).
Ⅲ如图③中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，则有m2＋3m＝－m，解得m1＝－3－或m2＝0(舍去)，∴MN＝CQ＝3＋2，∴OQ＝CQ－OC＝3－1，∴Q(0，3－1)；
Ⅳ当点P在y轴的右侧时，显然MN＞CM，此时满足条件的菱形不存在．综上所述，满足条件的点Q的坐标为(0，－3－1)或(0，－1)或(0，3－1).
探究题
解：(1)y＝－x2＋x＋4
①如图，由B(4，0)，C(0，4)可得BC的解析式为y＝－x＋4，
令－x＋4＝x＋，解得x＝1，∴E(1，3)，
∵M(m，0)，且MH⊥x轴，∴G(m，m＋)，F(m，－m2＋m＋4)，
∵S△EFG＝S△OEG，∴FG×|xE－xF|＝×ON×|xE－xG|，即[(－m2＋m＋4)－(m＋)]|1－m|＝×|1－m|，解得m1＝，m2＝－2，m3＝1(舍去)；
②存在，点P的坐标为(1，)或(1，).(共14张PPT)
专题5：抛物线中的特殊四边形
存在性问题
复 习 导 入
我们学过的特殊四边形有哪些？分别有什么性质？
平行四边形
矩形
菱形
正方形
推 进 新 课
若在平面直角坐标系中，有平行四边形ABCD.四点的坐标分别为A（xa,ya）、B（xb,yb）、C（xc,yc）、D（xd,yd）.则点O的坐标为
解：（1）把 B（3，0）和 D（-2， ）代入抛物线的解析式，
得 解得
例1 如图，抛物线 y ＝ -0.5x2+ bx + c 经过 B，D 两点，与 x 轴的另一个交点为 A，与 y 轴相交于点 C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点 Q 在 y 轴上，点 P 在抛物线上，要使以 A，B，P，Q
为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点 P 的坐标．
推 进 新 课
所以抛物线的解析式为 y＝-0.5x2+x+1.5．
（2）设点 Q 在 y 轴上，点 P 在抛物线上，要使以 A，B，P，Q
为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点 P 的坐标．
解：设 Q（0，n），由题可知AB = 4.
①若AB为平行四边形的边，则AB∥PQ，AB＝PQ.
（-4，n）
（0，n）
（0，n）
（4，n）
推 进 新 课
（2）设点 Q 在 y 轴上，点 P 在抛物线上，要使以 A，B，P，Q
为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点 P 的坐标．
②若 AB 为平行四边形的对角线，如图，
设 AB 与 PQ 交于点 E，则 E 为 AB 的中点，易得 E（1，0）.
因为 P，Q 两点关于点 E 对称，所以点 P 的坐标为（2，-n）.
（1，0）
综上，满足条件的点 P 的坐标为
推 进 新 课
例2 如图，已知抛物线 y = ax2+ bx + c 与 x 轴交于点 A(-1,0)，B(3,0)，与 y 轴交于点 C(0,3). 顶点为 D.
（1）该抛物线的解析式为___________，点 D 的坐标为________；
（2）若点 P 在抛物线上，点 Q 在 x 轴上，当以 D，C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 P 的坐标．
(2)①若 CD 为平行四边形的一边，因为 yD-yC=1,所以|yP-yQ|= 1.
∵|yQ| = 0，∴|yP| = 1.
当 yP=1时，-x2+2x+3= 1，
解得
所以
推 进 新 课
（2）若点 P 在抛物线上，点 Q 在 x 轴上，当以 D，C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 P 的坐标．
(2)①若 CD 为平行四边形的一边，因为 yD-yC=1,所以|yP-yQ|= 1.
∵|yQ| = 0，∴|yP| = 1.
当 yP=-1时，-x2+2x+3= -1，
解得
所以
②若 CD 为平行四边形的对角线，可知点 P 不可能在抛物线上，
则这种情况不存在. 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为
推 进 新 课
课 堂 练 习
如图，抛物线 y＝x2+bx+c 与 x 轴交于 A(-1，0)，B(3，0)两点，过点 A 的直线 l 交抛物线于点 C(2，m)．
（1）求抛物线的解析式．
解：（1）将 A（-1，0），B（3，0）代入 y=x2+bx+c,
得 解得
所以抛物线的解析式为 y=x2-2x-3.
设点 P 的横坐标为x(-1≤x≤2)，
则点 P（x,-x-1），E(x,x2-2x-3).
因为点 P 在点 E 的上方，
所以 PE=-x-1-(x2-2x-3)
=-x2+x+2=
因为 -1＜0，所以当 x= 时，
PE 取最大值为 ，此时 P( ， )?.
（2）P 是线段 AC 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 E，求线段 PE 最长时点 P 的坐标．
课 堂 练 习
（2）将 C（2，m）代入y=x2-2x-3，得m=-3，所以 C（2，-3）.
从而易得直线 AC 的解析式是 y = -x-1.
（3）F 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 D，使得以 A，C，D，F 为顶点的四边形是平行四边形？
如果存在，请直接写出所有满足条件的点 D 的坐标；如果不存在，请说明理由．
课 堂 练 习
课 堂 小 结
第三步：______求出的点是否_________,即能否构成平行四边形.
平行四边形存在性问题，基本都可以利用坐标模型求解，具体步骤如下：
本节课，你学到了什么，结合你的收获回答问题.
第一步：写出或设出平行四边形______________的坐标；
第二部：以_________为分类标准，分情况讨论，求出四个顶点的坐标；
四个顶点
对角线
检验
符合题意
作 业 布 置
见精准作业单.
