2024-2025学年佛山市普通高中教学质量检测(一)
高三数学
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若,则
A. B. C. D.
2.已知集合,若,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
3.等比数列中,,设甲:,乙:,则甲是乙的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.函数在区间上的零点个数为
A.4 B.5 C.6 D.7
5.随着中国经济高速增长,人民生活水平不断提高,旅游成了越来越多家庭的重要生活方式,某景区的旅游人数大约每年以11%的增长率呈指数增长,那么至少经过多少年后,该景区的旅游人数翻一倍？(参考数据:,)
A.6 B.7 C.8 D.9
6.在平面直角坐标系中,满足不等式组,的点 表示的区域面积为
A. B. C. D.
7.若直线与曲线相切,则的最小值为
A. B.1 C. D.2
8.已知直线与平面所成的角为,若直线,直线,设与的夹角为,与的夹角为,则
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.有一组成对样本数据,设,由这组数据得到新成对样本数据,下面就这两组数据分别先计算样本相关系数,再根据最小二乘法计算经验回归直线,最后计算出残差平方和,则
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
相关系数.
A.两组数据的相关系数相同 B.两组数据的残差平方和相同
C.两条经验回归直线的斜率相同 D.两条经验回归直线的截距相同
10.在中,,则下列说法正确的是
A. B.
C.在方向上的投影向量为 D.若,则
11.已知定义域为的函数满足,且为的导函数,则
A.为偶函数 B.为周期函数
C. D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.的展开式中的系数是_____.
13.记的内角的对边分别为且,则_____.
14.直线过双曲线的左焦点,交的渐近线于两点.若,且,则的离心率为_____.
四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)如图,直三棱柱的体积为,侧面是边长为1的正方形,,点分别在棱上.
(1)若分别是的中点,求证:平面;
(2)若,求.
16.(15分)球是指在网球对局中,一方发球,球落在有效区内,但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球.甲、乙两人进行发球训练,规则如下:每次由其中一人发球,若发出球,则换人发球,若未发出球,则两人等可能地获得下一次发球权.设甲,乙发出球的概率均为,记“第次发球的人是甲”.
(1)证明:;
(2)若,,求和.
17.(15分)已知函数,其中.
(1)当时,讨论关于的方程的实根个数；
(2)当时,证明:对于任意的实数,,都有.
18.(17分)已知的顶点在轴上,,且边的中点在轴上,设的轨迹为曲线.
(1)求的方程;
(2)若正三角形的三个顶点都在上,且直线的倾斜角为,求.
19.(17分)将项数列重新排序为的操作称为一次“洗牌”,即排序后的新数列以为首项,将排在之后,将排在之后.对于数列,将“洗牌”后得到的新数列中数字的位置定义为.例如,当时,数列(1,2,3,4,5,6)经过一次“洗牌”后变为(4,1,5,2,6,3),此时.
(1)写出数列(1,2,3,4,5,6,7,8)经过3次“洗牌”后得到的新数列；
(2)对于满足的任意整数,求经过一次“洗牌”后的解析式；
(3)当(其中)时,数列经过若干次“洗牌”后能否还原为 如果能,请说明至少需要多少次“洗牌”;如果不能,请说明理由.2024-2025学年佛山市普通高中教学质量检测(一)
高三数学解析
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若,则
A.B.C.D.
【答案】
【解析】,故选.
2.已知集合,若,则实数的取值范围是
A.B.C.D.
【答案】
【解析】若,则,此时,符合要求;
若,则,此时要使,则当且仅当.
综上,的取值范围是,故选.
3.等比数列中,,设甲:,乙:,则甲是乙的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】由等比数列的性质得,若,
则;若,则(因为符号相同,故舍去),
所以甲是乙的充要条件,选.
4.函数在区间上的零点个数为
A.4B.5C.6D.7
【答案】
【解析】,
故或,又,
故共五个零点,选
5.随着中国经济高速增长,人民生活水平不断提高,旅游成了越来越多家庭的重要生活方式,某景区的旅游人数大约每年以11%的增长率呈指数增长,那么至少经过多少年后,该景区的旅游人数翻一倍？(参考数据:,)
A.6B.7C.8D.9
【答案】
【解析】设至少要经过年旅游人数翻一倍,则,
两边取常用对数得,
故,故至少要经过7年.选
6.在平面直角坐标系中,满足不等式组,的点(x,y)表示的区域面积为
A.B.C.D.
【答案】
【解析】如图,依题意可知点(x,y)表示的区域为两圆公共部分(图中阴影区域),设圆和交于,连接和,
由于,故为正方形,
由对称性可知
阴影区域面积为,
也可根据容斥原理得阴影面积为
选
7.若直线与曲线相切,则的最小值为
A.B.1C.D.2
【答案】
【解析】设直线和曲线相切于,
则,所以,从而切线方程为,
即,故,
当且仅当时,取最小值,选.
8.已知直线与平面所成的角为,若直线,直线,设与的夹角为,与的夹角为,则
A.B.
C.D.
【答案】
【解析】如下左图,设,取,过作,垂足为,过作于,则平面,从而,
故,
当且仅当与重合时取等号,从而.
如上右图,设,取,过作,
垂足为,过作于,连接,则平面,
从而,所以,当且仅当与重合取等号,故.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.有一组成对样本数据,设,由这组数据得到新成对样本数据,下面就这两组数据分别先计算样本相关系数,再根据最小二乘法计算经验回归直线,最后计算出残差平方和,则
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
相关系数.
A.两组数据的相关系数相同B.两组数据的残差平方和相同
C.两条经验回归直线的斜率相同D.两条经验回归直线的截距相同
【答案】
【解析】方法一:新样本数据的平均数均为0,
由回归系数和相关系数的计算公式,可知新旧两组数据的相关系数相等,回归直线的斜率相同,新的回归直线为,残差平方和为,故两组数据的残差平方和相等,
两条经验直线截距不一定相同,选.
方法二:新数据相当于将原来每个数据和回归直线进行左右和上下平移,使原来数据的样本中心点变为原点,从而易知答案为.
10.在中,,则下列说法正确的是
A.B.
C.在方向上的投影向量为D.若,则
【答案】
【解析】取,则在直线上且(即为上的高),过分别作、的平行线,分别与、交于、,则,故,所以正确;
设,则,在中由余弦定理得,故,在中,由正弦定理得,正确;
显然为钝角,从而也是钝角,故显然错误.
事实上,易知,
选项正确结果应为.
11.已知定义域为的函数满足,且为的导函数,则
A.为偶函数B.为周期函数
C.D.
【答案】
【解析】法一:若为常数函数,则,
不成立.
令得;令得,
故是偶函数,正确;
令得从而,
即,故是周期的周期函数,正确;
由于,
周期,故,故错误;
由于,两边求导得,故为奇函数;
又,两边求导得,故是周期的周期函数,
从而正确.
法二:经观察试验,不难发现是满足要求的一个特殊函数,此时容易验证
正确,错误.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.的展开式中的系数是_____.
【答案】10
【解析】的展开式通项分别为,
令,得展开式的系数为.
13.记的内角的对边分别为且,则_____.
【答案】
【解析】因,即,
也就是,由于正弦定理及余弦定理得:
,化简得:,
故.
14.直线过双曲线的左焦点,交的渐近线于两点.若,且,则的离心率为_____.
【答案】
【解析】如图,由于到双曲线渐近线的距离为,而,故,又,故,设渐近线的倾斜角为,
则,从而,
即,而,故,
所以.
四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)如图,直三棱柱的体积为,侧面是.边长为1的正方形,,点分别在棱上.
(1)若分别是的中点,求证:平面;(2)若,求.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】(1)分别取,的中点,,连接,,,·1分
因为,
所以,四边形是平行四边形.2分
所以,
又平面平面,
所以平面.5分
(2)直三棱柱的体积
,
所以,即..7分
以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则-8分
9分
设,
则,10分
故,由
得,解得,.12分
所以,即的长度是.·13分
方法二:设公垂线的方向向量为,
由,得,取一个,·11分
,,即的长度是.·13分
16.(15分)球是指在网球对局中,一方发球,球落在有效区内,但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球.甲、乙两人进行发球训练,规则如下:每次由其中一人发球,若发出球,则换人发球,若未发出球,则两人等可能地获得下一次发球权.设甲,乙发出球的概率均为,记“第次发球的人是甲”.
(1)证明:;
(2)若,求和.
【答案】(1)证明见解析;.
【解析】,4分
则..5分
(2)因为,所以-8分解得,9分
设,由,10分
可得,-12分
即,·14分
故第次发球的人是甲的概率..15分
17.(15分)已知函数,其中.
(1)当时,讨论关于的方程的实根个数；
(2)当时,证明:对于任意的实数,,都有.
【答案】(1)当时,方程有0个解;当或时,方程有1个解;
当时,方程有2个解;
(2)证明见解析
【解析】(1)方程解的个数,转化为与有交点的个数.·1分
的定义域为,2分
令得,令得,
故在上单调递减,在上单调递增,.4分
当时,,当时,,且,.5分
当时,方程有0个解,
当或时,方程有1个解,
当时,方程有2个解.-8分
(2)要证,即证,-9分
由于,故只需证.,10分
不妨设,即证,
两边同时除以并化简,即证,-12分
令,则,设,.13分
,由(1)知在上单调递增,
故,故在上单调递增,
所以,从而命题得证.·15分
18.(17分)已知的顶点在轴上,,,且边的中点在轴上,设的轨迹为曲线.
(1)求的方程;
(2)若正三角形的三个顶点都在上,且直线的倾斜角为,求.
【答案】..
【解析】(1)设,由是中点且在轴上,
,.1分
.3分
因为,所以,即,·5分
所以的方程为..7分
(2)设,,,则,9分
同理可得分
因为直线的倾斜角为,所以直线的倾斜角为,
直线的倾斜角为.
所以
-12分
所以.·15分
因此,
17分
19.(17分)将项数列.重新排序为的操作称为一次“洗牌”,即排序后的新数列以为首项,将.排在之后,将排在之后.对于数列,将“洗牌”后得到的新数列中数字.的位置定义为.例如,当.时,数列(1,2,3,4,5,6)经过一次“洗牌”后变为(4,1,5,2,6,3),此时..
(1)写出数列(1,2,3,4,5,6,7,8)经过3次“洗牌”后得到的新数列；
(2)对于满足的任意整数,求经过一次“洗牌”后的解析式；
(3)当(其中)时,数列经过若干次“洗牌”后能否还原为 如果能,请说明至少需要多少次“洗牌”;如果不能,请说明理由.
【答案】；(2)
(3)能,至少需要次“洗牌”
【解析】(1)数列(1,2,3,4,5,6,7,8)经过一次“洗牌”变为(5,1,6,2,7,3,8,4),再经过一次“洗
牌”变为(7,5,3,1,8,6,4,2),第三次“洗牌”后变为(8,7,6,5,4,3,2,1).3分
(2)依题意,当时,;5分
当时,..7分
因此,-8分
(3)先观察简单的情形.
当时,数列(1,2)经过1次“洗牌”变为(2,1)(“倒序”),再经过1次“洗牌”就还原为(1,2);当时,数列(1,2,3,4)经过2次“洗牌”变为(4,3,2,1)(“倒序”),再经过2次“洗牌”就还原
为(1,2,3,4);
当时,由(1)知数列(1,2,3,4,5,6,7,8)经过3次“洗牌”变为(8,7,6,5,4,3,2,1)(“倒序”),再经过3次“洗牌”就还原为(1,2,3,4,5,6,7,8).
由此,我们猜想数列经过次“洗牌”后就能还原为.11分下面证明这个猜想.
令,其中是任意正整数,则为次“洗牌”后数字的位置.
由第(2)问可知
且
因此,
注意到总是的非负整数倍.·13分
下面用数学归纳法证明对任意正整数,总是的非负整数倍.
(i)当时,结论已成立;
(ii)假设时,,其中为非负整数,
则,
即
即当时结论仍成立.
综合(i)、(ii)知对任意正整数,总是的非负整数倍.15分
当时,能被整除.特别地,
能被整除.又能被整除,故能被整除.
而故,其中只有能被
整除,
·17分
