选择必修第二册 第五章 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 2.函数的最大（小）值 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
选择必修
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数的在研究函数中的应用
5.3.2 函数的极值与最大（小）值
3.函数的最大（小）值
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解函数最值的概念． 1.数学抽象素养.
2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 2.数学抽象素养和数学运算素养.
3.掌握函数极值的判定及求法． 3.数学运算素养和逻辑思维素养.
温故知新
1.函数极值的概念
2.函数极值的求法
我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点， f(a)叫做函数y=f(x)的极小值； b叫做函数y=f(x)的极大值点， f(b)叫做函数y=f(x)的极大值；极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值(extremum).
⑴如果在x0附近的左侧f ′(x)>0 ，右侧f ′(x)<0 ，那么f (x0)是极大值；
解方程f ′(x)=0，当f ′(x0)=0时：
⑵如果在x0附近的左侧f ′(x)<0 ，右侧f ′(x)>0 ，那么f (x0)是极小值.
知新探究
观察如图所示的函数y＝f(x)，x∈[－3，2]的图象，回忆函数极值的定义，回答下列问题：
o
x
y
2
3
－2
－3
－3
2
⑴图中所示函数的极值点与极值分别是什么？
⑵图中所示函数最值点与最值分别是什么？
我们知道，极值是一个局部概念，而不是在整个定义域内
的性质.也就是说，如果x0是函数y＝f(x)的极大（小）值点，那么在x=x0附近找不到比f (x0)更（小）大的值.但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个 值最小.
如果x0是某个区间上函数y＝f(x)的最大（小）值点，那么f (x0)不小（大）于函数y＝f(x)在此区间上的所有函数值.
知新探究
如图为函数y＝f(x)，x∈[a，b]的图象，你能找出它的极小值、极大值吗？
观察图象我们发现，f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值.
从上图可以看出，函数y=f(x)在区间[a，b]上的最小值是f(a)，最大值是f(x3).
进一步地，你能找出函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值、最大值吗？
知新探究
在如下图中，观察[a，b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a，b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值、最小值分别是什么？
⑴
⑵
由图可知，函数y=f(x)在[a，b]上的最大值是f(b),最小值是f(a)；函数y=g(x)在[a，b]上的最大值是g(x3),最小值是g(x4).
一般地，如果在区间[a，b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断地曲线，那么它必有最大值和最小值.
知新探究
观察下列函数在开区间上的连续函数的图象，它们有最大值和最小值吗？
⑴
⑵
⑶
⑷
显然，图⑴中函数y=f(x)在区间(a,b)上有最大值，但没有最小值；图⑵中函数y=f(x)在区间(a,b)上既没有最大值，也没有最小值；图⑶中函数y=f(x)在区间(a,b)上有最小值，但没有最大值；图⑷中函数y=f(x)在区间(a,b)上既有最大值，也有最小值.
在区间(a，b)上的连续函数y=f(x)不一定有最大值和最小值.
知新探究
如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意x∈I，总有f(x)≤f(x0)，那么f(x0)为函数在定义域上的最大值；如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意x∈I，总有f(x)≥f(x0)，那么f(x0)为函数在定义域内的最小值．
⑴开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；
注意：
⑵函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件．
函数最值与极值的区别与联系
⑴函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．
⑵在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．
⑶极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．
⑷对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
知新探究
【例1】求函数f(x)=在区间[0,3]上的最大值和最小值.
解：
∴函数f(x)=在区间[0,3]上的最大值是4，最小值是
由上节例1可知，在区间[0,3]上，当x=2函数f(x)=有极小值，并且极小值为f (2)=.
又由于f (0)=4,f (3)=1，
上述结论可以从函数f(x)=在区间[0,3]上的图象(如图)得到验证.
知新探究
⑵将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
一般地，求函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值；
前面例题：设x>0,f(x)=,g(x)=，两个函数的图象如图所示.判断f(x)，g(x)的图象与C1,C2之间的对应关系．
怎样证明这个结论呢？
我们发现，当x>0时，. ①
我们将不等式①转化为
.
知新探究
证明：设s(x)=,那么
s′(x)=.
令s′(x)=0，解得x=1，
当x变化时，s′(x)，s(x)令的变化情况如下表所示.
x (0,1) 1 (1,+∞)
s′(x) - 0 +
s(x) 单调递减 0 单调递增
∴当x=1时，s(x)取最小值.
∴s(x)≥s(1)=0,即,
∴当x>0时，.
知新探究
令x= (t∈R),代入上式，得
得到一个重要不等式：
当x>0时，.
.
拓展可得重要不等式:
对x∈R,都有.
当x>0时，令x=,代入上式，得
.
拓展可得重要不等式:
当x>0时，.
知新探究
【例2】求下列各函数的最值.
⑴f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]； ⑵f(x)＝，x∈[0，2π];
⑶f(x)＝,x∈[－1，1].
解：
⑴∵f′(x)=3x2-6x+6=3(x-1)2+3
∴f′(x)区间时内恒大于0，
∴f(x)在[-1,1]单调递增，
∴当x＝－1时，f(x)min＝－12；当x＝1时，f(x)max＝2.
即f(x)在[-1,1]上的最小值为－12，最大值为2.
知新探究
【例2】求下列各函数的最值.
⑴f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]； ⑵f(x)＝，x∈[0，2π];
⑶f(x)＝,x∈[－1，1].
解：
⑵∵f′(x)=
令f′(x)=0，又x∈[0，2π]，解得.
计算得f(0)=0，f(2π)=π，f()=,f()=.
∴当x＝0时，f(x)min＝0；当x＝2π时，f(x)max＝π.
即f(x)在[0，2π]]上的最小值为0，最大值为π.
知新探究
【例2】求下列各函数的最值.
⑴f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]； ⑵f(x)＝，x∈[0，2π];
⑶f(x)＝,x∈[－1，1].
解：
⑶∵f′(x)=,
又x∈[－1，1]，∴2-x>0,而ex>0.
∴当－1≤x<0时，f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当00,函数f(x)单调递增.
计算得f(-1)=e，f(1)=,f(0)=0.
即f(x)在[-1，1]]上的最小值为0，最大值为e.
∴当x＝0时，f(x)min＝0；当x＝-1时，f(x)max＝e.
知新探究
求解函数在定区间上的最值，需注意以下几点:
⑴对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内；
⑵研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值;
⑶比较所求的每一个极值与最值;
⑷确定最值,得出结论．
初试身手
⑴∵f′(x)=6x2-12x,
1.求下列各函数的最值.
⑴f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，3]； ⑵f(x)＝,x∈[0，a]，a为正实数
⑶f(x)＝.
解：
令f′(x)=0，又x∈[-2，3]，解得x=0或x=2
计算得f(0)=3，f(2)=-5,f(-2)=-37,f(3)=3,
∴当x＝-2时，f(x)min＝-37；当x＝0或x＝3时，f(x)max＝3.
即f(x)在[-2，3]]上的最小值为-37，最大值为3.
初试身手
⑵∵f′(x)=,
1.求下列各函数的最值.
⑴f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，3]； ⑵f(x)＝,x∈[0，a]，a为正实数
⑶f(x)＝.
解：
当x∈[0，a]时，f′(x)＜0恒成立，即f(x)在[0，a]上是减函数.
∴当x＝a时，f(x)min＝；当x＝0时，f(x)max＝0.
⑶∵f′(x)=,x∈(0,+∞),
即f(x)在[0，a]上的最小值为，最大值为0.
令f′(x)=0，解得x=,
当x∈(0,)时，f′(x)<0,f(x)在(0,)上单调递减；当x∈(,+∞)时，f′(x)<0,f(x)在(0,)上单调递增.
∴当x＝时，f(x)min＝-，而f(x)在(0,+∞)上无最大值.
课堂小结
1.求函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
2.几个重要不等式
⑴当x>0时，.
⑵当x>0时，.
⑵将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
⑴求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值；
⑶对x∈R,都有.
作业布置
作业： P94 练习 第2题
P98-99 习题5.3 第6,12题
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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