福建省厦门外国语学校2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

福建省厦门外国语学校 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 = { | 2 + 2 < 0}， = { | = √ }，则 ∩ =( )
A. [0,2) B. (1, +∞) C. [0,1) D. ( 2,1)
2.下列函数的图象关于原点对称，又在定义域内单调递增的是( )
1
A. = + B. = 3 +

C. = 2 + 2 D. = lg(10 10 )
3.下列函数 ( )与 ( )表示同一函数的是( )
2 1
A. ( ) = 和 ( ) = + 1
1
B. ( ) = 1和 ( ) = 0
C. ( ) = + 1和 ( ) = √ 2 + 2 + 1
D. ( ) = 和 ( ) =
4.已知 > 0， > 0，则“ = = 1”是“ + = 0”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
1+
5.函数 = |2 |ln 在( 1,1)上的图象大致为( )
1
A. B.
C. D.
12 2
6.已知 = (√ 2) 5 ， = 95， = 3 23，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
7.函数 ( ) = log (2 3) + 1( > 0，且 ≠ 1)的图象恒过定点 ( , )，若对任意正数 ， 都有 + =
1 2
4，则 + 的最小值是( )
+1
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39 4
A. 2 B. C. 1 D.
22 3
( 1)
1
, 1, 1
8.已知 ( ) = { 4 ( > 1)的值域为 ， [ , +∞)，则 的取值范围是( )
+ 1, > 1, 2

3 5 5 3 7
A. [ , 2] B. [ , ) C. [ , 2) D. [ , 2]
2 4 3 2 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 命题“ ∈ ，1 < ( ) ≤ 2”的否定是“ ∈ ， ( ) ≤ 1或 ( ) > 2”
B. 已知集合 = {0,2 + 1, 2 + 3 + 1}，若 1 ∈ ，则实数 = 1或 2
C. 函数 (1 )的定义域为( 1,2)，则函数 (2 + )的定义域为( 3,0)
+
D. 若 > > 0， > 0，则 <
+
10.已知正实数 ， 满足 = ，则( )
A. ≥ 4 B. √ 2 + 2 ≥ 4
1 1 2
C. + 4 ≥ 9 D. + ≤
+1 +1 3
11.已知 ( )是定义在 上的不恒为零的函数，对于任意 ， ∈ 都满足 ( ) = ( ) + ( )，则下列说
法正确的是( )
A. (1) = 0
B. ( )是奇函数
1 1
C. 若 (2) = 2，则 ( ) =
2 2
( )
D. 若当 > 1时， ( ) < 0，则 ( ) = 在(0, +∞)单调递减

三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1 2
12.( ) 3 + 20 4 2 5 =______．
64
13.已知函数 ( ) = ( 2 1) 2 1是幂函数，且 ( )在( ∞, 0)上单调递减，则实数 = ______．
14.已知函数 ( ) = + ln(√ 4 2 + 1 + 2 ) + 2.若 ∈ ，不等式 (|2 |) ≥ 4 (|3 2 | 2)恒成
立，则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
4
已知 = { | 1 ≤ ≤ + 1}, = { | ≤ 0}．
+1
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(1)当 = 1时，求 ∩ ；
(2)在① ∈ 是 ∈ 的必要条件；② ∩ = ；③ ∪ = 这三个条件中任选一个，求实数 的取值范
围. (如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
16.(本小题12分)
2+2 +5
已知函数 ( + 1) = ．
+1
(1)求 ( )的解析式；
(2)判断 ( )在[2, +∞)上的单调性，并用定义法证明；
(3)若对任意的 ∈ [4, +∞)，都有 ( ) ≥ 2 + 1，求 的取值范围．
17.(本小题12分)
某企业为生产某种产品，每月需投入固定成本2万元，每生产 万件该产品，需另投入流动成本 ( )万元，
1
2 + , 0 < < 9
且 ( ) = {3 ，每件产品的售价为4.75元，且该企业生产的产品当月能全部售完．
81
5 + 18, ≥ 9

(1)写出月利润 ( )(单位：万元)关于月产量 (单位：万件)的函数关系式；
(2)试问当月产量为多少万件时，企业所获月利润最大？最大利润是多少？
18.(本小题12分)
3 +1
已知函数 ( ) = 为奇函数． 3 +
(1)求实数 的值并判断 ( )的单调性(无需证明)；
(2)若 ( + 1) > (3 2 )，求 的取值范围；

(3)设函数 ( ) = 3 3 + ，若对任意的 1 ∈ [3,27]，总存在 2 ∈ (0,1]，使得 ( 1) = ( 2)成立，3 9
求实数 的取值范围．
19.(本小题12分)
若函数 ( )满足：对于任意正数 ， ，都有 ( ) > 0， ( ) > 0，且 ( ) + ( ) < ( + )，则称函数 ( )
为“速增函数”．
(1)试判断函数 1( ) =
2与 2( ) = log2( + 1)是否是“速增函数”；
(2)若函数 ( ) = 2 1 + 2 (2 1)为“速增函数”，求 的取值范围；
1 2
(3)若函数 ( )为“速增函数”，且 (1) = 1，求证：对任意 ∈ (2 1 , 2 )( ∈ )，都有 ( ) ( ) > ．
2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】15
13.【答案】 1
1 1
14.【答案】[ , ]
3 3
4 ( + 1)( 4) ≤ 0
15.【答案】解：(1)由分式不等式 ≤ 0可化为{ ，
+1 + 1 ≠ 0
则不等式解集为{ | 1 < ≤ 4}，
即 = { | 1 < ≤ 4}，
= 1， = { | 2 ≤ ≤ 0}，
故 A∩ = { | 1 < ≤ 0}；
1 > 1
(2)条件①②③均等价于 ，则有{ ，解得0 < ≤ 3，
+ 1 ≤ 4
实数 的取值范围为(0,3]．
2 2 +2 +5 ( +1) +4 4
16.【答案】解：(1)因为 ( + 1) = = = + 1 + ，
+1 +1 +1
4
所以 ( ) = + ．

(2) ( )在[2, +∞)上单调递增，证明如下：
任取 2 > 1 ≥ 2，则
4 4 4( 1 2) 4 ( ( ) ( ) = + = ( )+ = ( )(1 ) = 2
1)( 1 2 4)
2 1 2 1
，
2
2 1
1 1
2 1
2 1 2 1 2
因为 2 > 1 ≥ 2，所以 2 1 > 0， 1 2 > 4，所以 ( 2) ( 1) > 0，即 ( 2) > ( 1)，
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所以 ( )在[2,+∞)上单调递增．
(3)由(2)知， ( )在[4, +∞)上单调递增，
所以当 = 4时， ( )取得最小值5，
所以2 + 1 ≤ 5，解得 ≤ 2，
所以 的取值范围为( ∞, 2]．
17.【答案】解：(1)因为每件产品的售价为4.75元，所以 万件产品的销售收入为4.75 万元，
1 2 15
当0 < < 9时， ( ) = 4.75 ( 2 + ) 2 = + 2；
3 3 4
81 81
当 ≥ 9时， ( ) = 4.75 (5 + 18) 2 = 16 ( + )，
4
2 15
+ 2,0 < < 9
所以 ( ) = { 3 4 ;
81
16 ( + ), ≥ 9
4
1 45 547
(2)当0 < < 9时， ( ) = ( )2 + ，
3 8 64
45 547
此时，当 = 时， ( )取得最大值 (万元)，
8 64
81 81
当 ≥ 9时， ( ) = 16 ( + ) ≤ 16 2√ = 7，
4 4
81
此时，当且仅当 = ，即 = 18时， ( )取得最大值7(万元)，
4
547 45 547
因为 > 7，所以当月产量为 万件时，企业所获月利润最大，最大利润为 万元．
64 8 64
3 +1
18.【答案】解：(1)函数 ( ) = 中，3 + ≠ 0， 3 +
3 +1 3 +1
因为 ( )为奇函数，所以 ( ) = ( )，即
3
= ，
+ 3 +
整理得( + 1)(3 + 1) = 0，必有 = 1，
3 +1 2
则 ( ) = = 1 + ， 3 1 3 1
其定义域为( ∞, 0) ∪ (0,+∞)，
设 = 3
2
1，则 = 1 + ，
1
= 3 1在( ∞, 0)为增函数，此时 1 < < 0，
2
= 1 + 在( 1,0)上为减函数，
1
由复合函数的单调性可知， ( )在( ∞, 0)上单调递减；
同理可得： ( )在(0,+∞)上单调递减；
故 ( )在( ∞, 0)和(0,+∞)上单调递减；
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(2)因为 ( )在( ∞, 0)和(0, +∞)上单调递减，并且 ( + 1) > (3 2 )，
2
所以①0 < + 1 < 3 2 ，解得 1 < < ，
3
② + 1 < 3 2 < 0，无解，
{ + 1 > 0 3③ ，解得 > ，
3 2 < 0 2
2 3
综上所述， 的取值范围为( 1, ) ∪ ( , +∞)；
3 2
2
(3) ( ) = 1 +
3
，
1
当0 < ≤ 1时，0 < 3
2
1 ≤ 2，故1 + ≥ 2， 3 1
2
所以 ( ) = 1 + 在(0,1]上值域为[2, +∞)， 3 1

又 ( ) = 3 3 + = ( 3 1)( 3 2) + 3 9
= ( 3 )
2 3 + 2 + ， ∈ [3,27]，
3 1
令log3 = ，( ∈ [1,3])，则 =
2 3 + 2 + = ( )2 + ，
2 4
3 1
所以当 = 时， = + ，当 = 3时， = 2 + ， 2 4
1
所以函数 ( )在[3,27]上值域为[ + , 2 + ]，
4
因为对任意的 1 ∈ [3,27]，总存在 2 ∈ (0,1]，使得 ( 1) = ( 2)成立，
1 1 9
所以[ + , 2 + ] [2, +∞)，所以 + ≥ 2，解得 ≥ ，
4 4 4
9
所以实数 的取值范围为[ , +∞)．
4
19.【答案】解：(1)对于函数 1( ) =
2，当 > 0， > 0时， 1( ) =
2 > 0， 21( ) = > 0，
又 1( ) + 1( ) 1( + ) = 2 < 0，故 1( ) + 1( ) < 1( + )，
∴函数 1( ) =
2是“速增函数”；
对于函数 2( ) = log2( + 1)，当 > 0， > 0时， 2( ) = log2( + 1) > log21 = 0， 2( ) = log2( + 1) >
log21 = 0，

又 2( ) + 2( ) 2( + ) = log2( + 1) + log2( + 1) log2( + + 1) = log2(1 + ) > + +1
log21 = 0，即 2( ) + 2( ) > 2( + )，
∴函数 2( ) = log2( + 1)不是“速增函数”；
(2)由题意可得， ( ) = 2 1 + 2 (2 1) > 0，即(2 1)(2 2 ) > 0对一切正数 都成立，
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1
又2 1 > 0，可得2 < 2 对一切正数 都成立，∴ ≤ ，
2
由 ( ) + ( ) < ( + )可得(2 1)(2 1)(2 + + 2 ) > 0，
又(2 1)(2 1) > 0，故2 + + 2 > 0，
1
∴ 2 + 1 ≥ 0，即 ≥ ，
2
1 1
综上，实数 的取值范围为[ , ]；
2 2
(3)证明：由函数 ( )为“速增函数”，可知对于任意正数 ， ，都有 ( ) > 0， ( ) > 0，且 ( ) + ( ) <
( + )，
(2 )
令 = ，可知， (2 ) > 2 ( )，即 > 2，
( )
(2 ) (2 ) (2 1 ) (2 )
故对于正整数 与正数 ，都有 = … … > 2 ，
( ) (2 1 ) (2 2 ) ( )
1
对任意 ∈ (2 1 ,2 )( ∈ )，可得 ∈ (2 , 21 )，又 (1) = 1，

2
∴ ( ) > ( 2 1) + (2 1) > (2 1) ≥ 2 1 (1) = > ，
2 2
1
同理， ( ) < (21
1 2
) (21 ) < (21 ) ≤ 21 (1) = 21 < ，

1 2
∴ ( ) ( ) > ．
2
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