2024-2025学年黑龙江省新时代高中教育联合体高一上学期期末联合考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省新时代高中教育联合体高一上学期期末联合考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则集合( )
A. B. C. D.
2.已知命题，则( )
A. 是假命题，
B. 是假命题，
C. 是真命题，
D. 是真命题，
3.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
4.已知扇形的半径为，它的周长为，那么该扇形的圆心角为( )
A. B. C. D.
5.若且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知角的终边在直线上，则的值为( )
A. B. C. D.
7.方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若有四个不同的零点且则下列说法不正确的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
10.给定函数，对于，用表示中的最小者，记为，下列关于函数的说法正确的是( )
A. 函数是偶函数 B. 函数有三个零点
C. 函数在递增 D. 函数有四个单调区间
11.已知，下面结论正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为 ．
13.已知，则 ．
14.已知函数为定义在上的奇函数，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是第二象限角．
化简；
若，求的值．
16.本小题分
已知函数为奇函数．
求实数的值；
求不等式的解集；
若关于的不等式在区间恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
近几年手办深受青少年的喜爱，某工厂计划在年利用技术生产手办，通过调研分析：生产手办全年需要投入固定成本万元，生产手办千件，其它成本为万元，且，经调研可知每件手办的售价为元，且每年内生产的手办当年全部销售完．
求出年的利润万元关于年产量千件的表达式；
年的年产量为多少千件时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？
18.本小题分
设，已知．
求函数的解析式；
判断在区间上的单调性并证明；
解关于 的 不等式．
19.本小题分
定义三阶行列式运算：，其中已知函数．
求函数的解析式；
若函数在区间上的最大值为，求的值；
若函数，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：
为第二象限角，
由，得，
所以
．

16.解：
由得，解得，所以的定义域为，
由为奇函数，得，即，
化简得，解得．
由可知，
由得，又对数函数增函数，
所以，即，化简得，解得，
因此，不等式的解集为．
由在区间上恒成立，
得在区间上恒成立，
即，
令，
则，，令，
由对勾函数单调性知在上单调递减，又对数函数是增函数，
所以函数在上单调递减，
所以，
，解得．

17.解：
由题意得总收入：万元，
当时，，
当时，
所以年总利润为：
当时，，
当时，利润最大，最大利润是万元．
当时，，
当且仅当，即：时，利润最大，最大利润是万元．
因为，所以年产量为千件时，利润最大，最大利润是万元．

18.解：
当时，，
所以，即，与题意矛盾．
当时，，
所以，解得，
所以．
在上单调递增，证明如下：
任取，则
，
因为，
所以，所以，
所以，
所以在上单调递增．
因为，所以原不等式等价于，
因为，由问知在上单调递增，
所以，解得或，
所以原不等式解集为．

19.解：
由三阶行列式运算的定义，得．
由可知，，
当，即时，函数在上单调递增，
此时，解得舍去，
当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，
此时，解得，
当，即时，函数在上单调递减，
此时，解得舍或，
综上所述，实数的值为或．
因为，使得成立，所以，
因为函数在上单调递增，所以，从而．
当，即时，函数在上单调递增，
此时恒成立，
当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，
此时恒成立，
当，即时，函数在上单调递减，
此时，解得或，
综上所述，实数的取值范围是．

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