2024-2025学年陕西省榆林市八校联考高一上学期1月期末质量检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省榆林市八校联考高一上学期1月期末质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
2.如图，已知表示全集，，是的两个非空子集，则阴影部分可表示为( )
A. B.
C. D.
3.若角的终边过点，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，且的图象恒过点，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数的图象在上连续不断，则“”是“在区间上有零点”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
6.小张、小胡两人解关于的不等式，小张写错了常数，得到的解集为；小胡写错了常数，得到的解集为，则原不等式的解集为( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.定义：对于定义域内的任意一个自变量的值，都存在唯一一个使得成立，则称函数为“正积函数”下列函数是“正积函数”的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列不等式正确的是( )
A. B.
C. D.
10.下列等式成立的有( )
A.
B.
C.
D.
11.已知，，且，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角正角的弧度数为 ．
13.已知函数在区间上的最大值记为，则的取值范围为 ．
14.已知，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集，集合．
若，求；
若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
16.本小题分
已知幂函数的图象过点．
求实数的值
设函数，用单调性的定义证明：在上单调递增．
17.本小题分
已知函数．
若的定义域为，求的取值范围；
若在区间上单调递减，求的取值范围．
18.本小题分
近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从到年，每年年末该平台的会员人数如下表所示．
建立平台第年
会员人数千人
请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立第年年末会员人数千人，求出你所选择模型的解析式，并预测年年末的会员人数；
；；．
为了更好地维护管理平台，该平台规定第年年末的会员人数上限为千人，请根据中得到的函数模型，求的最小值．
19.本小题分
已知函数．
已知集合，函数的值域为，若是的一个子集，求实数的取值范围；
已知函数，若，求使函数取得最小值的自变量的取值集合；
若函数的定义域为，求函数的单调区间．
参考答案
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15.解：
由题意知，
，
若，则，所以
所以
因为“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，
所以且等号不同时成立，
解得，即的取值范围是．

16.解：由幂函数的定义可知，解得，
当时，，
又的图象不过点，显然不满足题意
当时，，
将点代入得．
故．
由可知，，则，
证明如下：
任取，，不妨设，
则
因为，所以，，
则，，
所以，
则，
所以，
则，即，
故在上单调递增．
得证．
17.解：
由题意知对任意的 恒成立，
当时，，解得，不符合题意；
当时，，解得．
综上，的取值范围是．
当时，在区间上单调递减，符合题意；
当时，若在区间上单调递减，则，所以；
当时，若在区间上单调递减，则，所以．
综上，的取值范围是．

18.解：
由表格中的数据知，所求函数是一个增函数，且增长越来越快，
模型的函数递减，模型的函数即使递增，增长也较缓慢，因此选择模型，
于是，解得，
所以函数模型对应的解析式为，
当时，预测年年末的会员人数为千人．
由及已知得，对，都有，令，则，
令，则不等式右边等价于函数，
函数在区间上单调递增，因此，
则，所以的最小值为．

19.解：
，
令，则，其中，
，
函数的值域为，
集合，且是的一个子集，
解得，
实数的取值范围是．
当时，函数，
令，
得，
使函数取得最小值的自变量的集合．
二次函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，即，
由，得，
又函数在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数的单调性可知，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，即，则有，
又函数 在 上单调递减，在上单调递增，
由复合函数法的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．

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