辽宁省沈阳市五校协作体2024-2025学年高一（上）期末联考数学试卷（PDF版，含答案）

辽宁省沈阳市五校协作体 2024-2025 学年高一（上）期末联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { ∈ |2 < 4}， = { ∈ | 1 < < 2}，则 ∪ =( )
A. { | 1 < < 2} B. { | < 2} C. {0,1} D. {1}
2.已知向量 = (3,2), = ( , 10 )，若 // ，则 + =( )
A. (9,6) B. (6,4) C. ( 3, 2) D. (6,9)
2
3.函数 ( ) = 2 的大致图象为( ) 2 1
A. B.
C. D.
4.已知数据 1, 2, 3 , , 10，且满足 1 < 2 < < 10，若去掉 1， 10后组成一组新数据，则新数据与原
数据相比，有可能变大的是( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 方差
5.如图，矩形 中，点 是线段 上靠近 的三等分点，点 是线段 的中点，则 = ( )
8 5 10 5 8 5 10 5
A. B. C. + D. +
9 9 9 9 9 9 9 9
+1 9 3
6.设 = ，若∑
14 2 2
= 10 = ( ∈ , ≤ 20)，则 的值为( )( ) 1+ 25
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
7.已知正实数 、 满足 2 +3 + 9 2 = 6，则 + 3 的最大值为( )
第 1 页，共 9 页
A. 2√ 5 B. 2√ 2 C. √ 5 D. 2
8.已知函数 ( )是定义域为 的函数， (1 + ) = (1 )，对任意 1、 2 ∈ [1,+∞)( 1 < 2)，均有 ( 2)
( 1) > 0，已知 、 ( ≠ )为关于 的方程
2 2 + 2 3 = 0的两个解，则关于 的不等式 ( ) + ( ) +
( ) > 0的解集为( )
A. ( 2,1) B. ( ∞,1) C. (1,+∞) D. (1,2)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1 2 1
9.若 ( ) = ， ( ) = ， ( ) = ，则下列说法正确的是( )
6 3 2
1
A. ( ) = B. 事件 与 不互斥
2
C. 事件 与 相互独立 D. 事件 与 不一定相互独立
10.下列结论中正确的是( )
1
A. 若幂函数 ( )的图象经过点( , 2)，则 ( ) = 2
2
B. 函数 ( ) = +2 2( > 0且 ≠ 1)的图象必过定点( 2, 1)
2 2
1
C. 函数 ( ) = ( ) 的单调增区间是(1,+∞)
2
( 1)+ ( ) +
D. 若幂函数 ( ) = √ ，则对任意 1、 2 ∈ [0,+∞)，都有
2 ≤ ( 1 2)
2 2
( ) {
2 + 6 5, ≥ 1,
11.已知函数 = 关于 的方程 ( ) = 有从小到大排列的四个不同的实数根
| 2(1 )|, < 1,
1
1, 2, 3 , 4，若 = 1 2 2 + 3 + 4，则( ) 2
11 93
A. ∈ (0,4) B. 1 ∈ ( 14,0) C. 的最小值为 D. 的最大值为 2 8
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知函数 = ( 1)为奇函数，则函数 = ( ) + 1的图象关于 对称．
13.如图，△ 中，延长 到 ，使 = ，当 点在线段 上移动时，若 = + ，则 =
的最大值是 ．
第 2 页，共 9 页
14.已知 ( ), ( )是定义域为 的函数，且 ( )是奇函数， ( )是偶函数，满足 ( ) + ( ) = 2 + +2，
( 1) ( 2)若对任意的1 < 1 < 2 < 2，都有 > 3成立，则实数 的取值范围是 ． 1 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
随着国家将低空经济纳入战略新兴发展规划，无人机行业迎来前所未有的发展机遇．某无人机厂家为了解
所生产的某类型无人机的飞行时长，随机抽取100架该类型无人机进行测试，统计得到如下频率分布表：
飞行时长(分钟) [10,20)[ 20,30) [30,40)[ 40,50) [50,60]
频率 0.1 0.2 0.35 0.25 0.1
(1)估计该类型无人机飞行时长的平均数及第60百分位数(同一组数据用该组区间的中点值为代表，最终结
果保留整数)；
(2)记飞行时长大于等于第60百分位数的为优良品，大于等于10且小于第60百分位数的为合格品．从该厂家
生产的该类型无人机中按照是否为优良品并用分层抽样的方法抽取5架，再从这5架无人机中随机抽取2架，
求至少有一架无人机为优良品的概率．
16.(本小题12分)
如图，在 中，点 满足 = 2 ， 是线段 的中点，过点 的直线与边 ， 分别交于点 , ．
2
(1)若 = ，求 的值；
3
1 1(2)若 = ( > 0)， = ( > 0)，求 + 的最小值．
+1
17.(本小题12分)
为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮
不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则
1
比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为 ，乙每次投篮命中
2
1
的概率为 ，且两人每次投篮的结果均互不干扰．
3
第 3 页，共 9 页
(1)求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率；
(2)求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率．
18.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 + 2 ， ( ) = 2 2 ．
(1)若存在 ∈ (0,+∞)，使得 ( ) = 2 + 1成立，求实数 的取值范围；
(2)若不等式 (2 ) + 2 ( ) ≥ 0，对任意的 ∈ [1,2]恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题12分)
定义一种新的运算“ ”： ， ∈ ，都有 = lg(10 + 10 ).
(Ⅰ)对于任意实数 ， ， ，试判断( ) 与( ) ( )的大小关系；
(Ⅱ)若关于 的不等式( 1)2 > [( 2 2) ( 2 2)] 2的解集中的整数恰有3个，求实数 的取值范围；
(Ⅲ)已知函数 ( ) = lg{[ + 4 ( + 4)] √ 2 + 3 2}， ( ) = (1 ) ( )，若对任意的 1 ∈ ，
3
总存在 2 ∈ [ , +∞)，使得 ( 1) = lg|3 2| + ( 2)，求实数 的取值范围． 2
第 4 页，共 9 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】( 1,1)
13.【答案】3
3
14.【答案】[ ,+∞)
4
15.【答案】解：(1)
该类型无人机飞行时长的平均数为15 × 0.1+ 25× 0.2+ 35× 0.35 + 45 × 0.25+ 55× 0.1 ≈ 36；
飞行时长在区间[10,30)的频率为0.3，在[10,40)的频率为0.65，
则该类型无人机飞行时长的第60百分位数 ∈ (30,40)，
30
由0.3+ × 0.35 = 0.6，解得 ≈ 39，
40 30
所以该类型无人机飞行时长的第60百分位数约为39分钟．
(2)
依题意，合格品与优良品的 比例为60:40，即为3:2，
则抽取的5架无人机中，合格品有3架，优良品有2架，
1 1+ 2 7
所以从这5架无人机中随机抽取2架，至少有一架无人机为优良品的概率 = 2 3 2
2
= ．
10
5
16.【答案】解：(1)因为 = 2 ，
所以 =
1
+ = +
1 2 1
= + ( + ) = + ，
3 3 3 3
第 5 页，共 9 页
1 1
因为 是线段 的中点，所以 = =
1
+ ，
2 3 6
2
又因为 = ，设 = ，则有 =
1
+ ，
3 3 4
1 9 4
因为 , , 三点共线，所以 + = 1，解得 = ，即 = ，
3 4 4 9
4
所以 = ；
5
(2)因为 = + = + = (1 + ) ， = + = + = (1 + ) ，
1 1 1 1+ 1+ 由(1)可知， = = + ，所以 = + ，
2 3 6 3 6
1+ 1+
因为 , , 三点共线，所以 + = 1，即2 + = 3，
3 6
1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 +1 2 3+2√ 2
所以 + = ( + ) (2 + + 1) = (2 + + + + + ) (3 + 2√ ) = ，
+1 4 +1 4 +1 +1 +1 4 +1 4
当且仅当 + 1 = √ 2 ，即 = 4 2√ 2， = 4√ 2 5时取等号，
1 1 3+2√ 2
所以 + 的最小值为 ．
+1 4
17.【答案】解：(1)若甲、乙投篮总次数为2次，则乙不可能获胜；
若甲、乙投篮总次数为3次且乙获胜，
则第一次甲未投中，乙投中第2、3次，
1 1 1 1
所以 1 = (1 ) × × = ； 2 3 3 18
若甲、乙投篮总次数为4次乙获胜，
则第一次甲投中、第二次甲未投中，
乙投中第3、4次，
1 ( 1) 1 1 1所以 2 = × 1 × × = ； 2 2 3 3 36
记甲、乙投篮总次数不超过4次时且乙获胜为事件 ，
1 1 1
则 ( ) = 1 + 2 = + = ， 18 36 12
所以甲、乙投篮总次数不超过4次时，
1
乙获胜的概率为 ；
12
(2)若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮，
1 1 1
则甲连续投中2次，则概率 3 = × = ； 2 2 4
第 6 页，共 9 页
若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了2次篮，
①甲投中第一次，第二次甲未投中，
乙投中第3、4次，
1 ( 1) 1 1 1则 4 = × 1 × × = ； 2 2 3 3 36
②甲第一次未投中，第二次乙未投中，
第3次甲未投中，第4、5次乙投中，
1 1 1 1 1 1
则 5 = (1 ) × (1 ) × (1 ) × × = ； 2 3 2 3 3 54
④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中，
1 1 1 1 1 1
则 6 = (1 ) × × (1 ) × (1 ) × × 2 3 3 2 3 3
1
= ；
162
1 1 1 1 49
综上可得比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率 = 3 + 4 + 5 + 6 = + + + = ． 4 36 54 162 162
18.【答案】解：(1)
∵ ( ) = 2 +2 ，由 ( ) = 2 +1，
∴ = 2 2 2 + 1在 ∈ (0,+∞)有解，
令 = 2 ∈ (0,1)，所以， = 2 +1
1 3 3
当 = 时 min = ；当 趋向于0或1时 趋向于1，即 ∈ [ , 1)． 2 4 4
(2)
(2 ) + 2 ( ) ≥ 0，即，22 + 2 2 + 2 (2 2 ) ≥ 0
令2 2 = ，则22 +2 2 = 2 + 2，
3 15
因为 ∈ [1,2]， = 2 2 为增函数，所以 ∈ [ , ]，
2 4
2+2 3 15
所以化为 ≥ 对任意的 ∈ [ , ]恒成立，
2 2 4
( )
2+2 ( 1 3 15 = = + )在 ∈ [ , ]上单调递减，
2 2 2 4
3
当 = 时，取得最大值为 (
3) 3 2 17= ( + ) = ，
2 2 4 3 12
17 17
所以 ≥ ，实数 的取值范围为[ ,+∞)．
12 12
第 7 页，共 9 页
19.【答案】解：(Ⅰ) ∵ ， ∈ ，都有 = lg(10 + 10 )，
∴ ( ) = lg(10 + 10 ) ，
( ) ( )
= lg(10 + 10 )
= lg[10 (10 + 10 )]
= lg(10 +10 ) ，
∴ ( ) = ( ) ( )，
(Ⅱ) ∵ ( 2 2) ( 2 2
2 2 2 2
) = lg(10 + 10 )
2 2
= lg(2 × 10 ) = 2 2 + lg2，
∴关于 的不等式( 1)2 > [( 2 2) ( 2 2)] 2
可化为：( 1)2 > 2 2，
即(1 2) 2 2 +1 > 0，
不等式( 1)2 > [( 2 2) ( 2 2)] 2的解集中的整数恰有3个，
为满足题意，必有1 2 < 0，即 < 1或 > 1①，
令 ( ) = (1 2) 2 2 + 1，
由于 (0) = 1 > 0， (1) = 2，
结合①可得： (1) < 0，
∴ ( )的一个零点在区间(0,1)，另一个零点在区间[ 3, 2)，
( 3) ≤ 0
从而{ ②，
( 2) > 0
3 4 4 3
由①②可得： < ≤ 或 ≤ < ，
2 3 3 2
3 4 4 3
实数 的取值范围：( , ] ∪ [ , );
2 3 3 2
(Ⅲ)函数 ( ) = lg{[ + 4 ( + 4)] √ 2 + 3 2}，
( ) = lg( + 4 √ 2 3)，
( ) = (1 ) ( )， ( ) = lg(10 +10 + 10)，
3
设 = + 4 √ 2 + 3， ∈ [ ,+∞),
2
令√ 2 + 3 = ， ∈ [0,+∞)，
1
则 = ( 2 3)，
2
第 8 页，共 9 页
1
∴ = ( 2 3) + 4
2
1 5 1
= 2 + = ( 1)2 +2 ≥ 2，
2 2 2
∴ ( ) ≥ 2，
( ) = lg|3 2| + ( )的值域为 = [lg|3 2| + 2,+∞)，
∵ 10 +10 +10 ≥ 2√ 10 × 10 +10 = 12，
∴ ( ) ≥ 12，
( )的值域为 = [ 12,+∞)，
根据题意可知： ，
∴ lg|3 2| + 2 ≤ 12，
4 8 2
解之得： ≤ ≤ 且 ≠ ，
3 3 3
4 2 2 8
实数 的取值范围：[ , ) ∪ ( , ].
3 3 3 3
第 9 页，共 9 页