杭州2024学年第一学期期末学业水平测试
高三数学试题卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,则
A.B.C.D.
【答案】
【解析】,故.
故选择:
2.为虚数单位,为的共轭复数,若,则
A.-iB.iC.D.
【答案】
【解析】,故.故选择:
3.已知函数是奇函数,则下列关系中正确的是
A.B.C.D.
【答案】
【解析】因为为奇函数,所以,即,可得-1,所以,所以.
故选择:
4.已知,则
A.B.C.D.
【答案】
【解析】由题得,可知,
所以,所以.
故选择:
5.在平行四边形中,若,且,则
A.-8B.8C.10D.3
【答案】
【解析】.
故选择:
6.已知双曲线的右焦点为,一条渐近线被以为圆心,为半径的圆截得的弦长为,则双曲线的离心率为
A.B.C.D.2
【答案】
【解析】由垂径定理定理可知到渐近线的距离为,由定义可知到渐近线的距离为,故.
故选择:
7.锐角的内角,,所对的边分别为,,,角的平分线交于点,若,且,则下列结论中错误的是
A.B.C.D.
【答案】
【解析】原式可得:,
,
所以,所以,
根据余弦定理:,所以,可解得或,当时,可知,此时为负值,所以.故选择:
8.已知正三棱锥的四个顶点都在体积为的球上,则该三棱锥体积的最大值是
A.B.C.D.
【答案】
【解析】由题意可知:,所以,
设边长为,所以,所以,
所以,
所以.
故选择:
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知函数的最小正周期为,则
A.B.
C.D.
【答案】
【解析】项:因为函数的最小正周期为,则,故错误;
项:,则,所以,故正确;
项:
,所以,故正确;
项:,
则,故正确;
故选择:
10.已知定义在上的函数的导函数为,若对任意实数有,且,则
A.B.C.D.
【答案】
【解析】项:赋值法:令,则,即,故错误;
项:令,而,所以,
求得:,再令,则,故正确;
项:对求导得:,令,则,求得:,故正确;
项:由于,令,则,可将其看成等差数列,所以,故正确
故选择:
11.已知抛物线的焦点为,准线与轴交于点为抛物线上的点,且满足,过作的垂线,垂足为与交于点,则
A.直线的斜率为定值B.
C.D.
【答案】
【解析】项:设,则,即为定值,又,则,也为定值,故为定值,故正确;
项:由项可知,易知错误;
项:为平分线,则,故正确;
项:易知,故,且,故,故正确.故选择:
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若二项式的展开式中的系数是84,则实数_____.
【答案】1
【解析】展开式的通项为:,
令,得,所以的系数为,得.
故答案为:1
13.设,且,函数的值域为,则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】当时,,
根据题意,当时,,所以,且,所以.
故答案为:
14.一个综艺节目中,3名主持人与33位参与者随机站成一个圆圈,则参与者连续站在一起的人数不超过13人的概率是_____.
【答案】
【解析】可以假定33位参与者与主持人甲已经坐定,此时,剩下两位主持人的就座情况种数,对应于三元不定方程的非负整数解的个数,即,其中,故总的情况数为.
另一方面,要满足条件,则还要求,将整数33进行分拆,共有七种情形,当然每一组中顺序可以交换,所以满足条件的就座情况共有种.所以,所求概率为.
故答案为:
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知等比数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的相邻项与之间插入个相同的数,使其与原数列构成新数列,设为数列的前项和,求.
【答案】;(2)9840
【解析】(1)由
两式相减得即
2分
又等比数列得,-3分
当时,,所以4分
所以5分
(2)数列为:,6分
以如下划分:
得项数
当时共有项数;当时共有项数9分
所以分
(能准确确定项数,写出正确的求和形式就可以,可以不考虑具体写法)
16.(15分)如图,三棱锥的底面是边长为2的正三角形,且,平面平面.
(1)证明:平面;
(2)若与平面所成角的正弦值为,求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】(1)取中点,中点,连接,,.1分
因为,所以,
又,所以
所以平面,故有.3分
因为
平面平面
平面平面
所以平面,故有6分
又,故有平面.7分
(2)解法一:以点为坐标原点,分别以的方向为轴,轴,轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则
设点,-8分
设平面的法向量,
,则
可取,10分
于是有,得.12分
平面的法向量,平面的法向量,
设平面与平面夹角为,则.·15分
(2)解法二:如图,作,垂足为,连接。
因为平面,
,故平面,8分
为与平面所成角,
有,
得到,10分
设,则,由,得,解得·11分作,垂足为,连接为平面与平面夹角
,由得,,·13分
平面与平面夹角的余弦值为.15分
17.(15分)已知椭圆过点,离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于,两点,与轴交于点,与轴交于点,
(i)若点为线段的中点,求证:;
(ii)若原点总在以为直径的圆外,求直线斜率的取值范围.
【答案】(1);(2)(i)见解析(ii)
【解析】(1)由题意得,又,解得,.2分
所以椭圆的方程为3分
(2)由题意可知:直线的斜率必定存在,故设直线的方程为4分
联立方程,整理得
6分
所以,7分
(i)由,解得,所以直线的方程为9分令,得,令,得,所以的中点为,
即与有相同的中点,所以,命题得证;·11分
(ii)又.12分
则分
令,即,
解得15分
18.(17分)阿尔法狗(AlphaGo)是谷歌公司开发的人工智能程序,它第一个战胜了围棋世界冠军.它可以借助计算机,通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策.工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来训练阿尔法狗(AlphaGo),三个阶段的阿尔法狗(AlphaGo)依次简记为甲、乙、丙.
(1)测试阶段,让某围棋手与甲、乙、丙三个阿尔法狗(AlphaGo)各比赛一局,各局比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为.记该棋手连胜两局的概率为,试判断该棋手在第二局与谁比赛最大,并写出判断过程.
(2)工程师让甲和乙进行围棋比赛,规定每局比赛胜者得1分,负者得0分,没有平局,比赛进行到一方比另一方多两分为止,多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,且每局比赛结果相互独立.
(i)若比赛最多进行5局,求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值；
(ii)若比赛不限制局数,记“甲赢得比赛”为事件,证明:.
【答案】(1)第二局与甲比赛最大;
(2)(i)分布列如下;期望:(ii)见解析
2 4 5
【解析】(1)该棋手在第二局与甲比赛最大..1分
该棋手连胜两盘,则第二盘为必胜盘,先设
记该棋手在第二盘与甲比赛连胜两局的概率为,
比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为,
则
.2分
同理,该棋手在第二盘与乙比赛连胜两局的概率,-3分
该棋手在第二盘与丙比赛连胜两局的概率,
因为,该棋手在第二局与甲比赛最大。·5分
(或者,不求具体值直接比较大小)
(2)(i)因为没有平局,所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”,则,由题意得的所有可能取值为:2,4,5,
所以的分布列为:.8分所以的期望为:
2 4 5
.10分
因为,所以,等号成立时,,所以,
所以,
故的最大值为.·12分
(ii)分别用表示甲或乙赢得一场比赛,记“甲最后赢得比赛”为事件,
前两局甲赢得比赛事件为,前两局甲没有赢得比赛事件为或者,
当甲、乙得分总数相同时,甲最后赢得比赛的概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同,
故,所以
15分
所以,得,因为,
所以·17分
19.(17分)若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合,则称该切线为函数的图象的“自公切线”,称这两点为函数的图象的一对“同切点”.
(1)判断函数与的图象是否存在“自公切线”,并说明理由；
(2)若,求证:函数在区间上有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”;
(3)设,函数在内的零点为,求证:存在,使得点与是函数的图象的一对“同切点”的充要条件是“是数列中的项”.
【答案】存在,不存在;证明见解析.
【解析】(1)显然直线切的图象于点,
直线是的图象的一条“自公切线”,
因此函数的图象存在“自公切线”;.2分
对于是严格减函数,则在不同点处的切线斜率不同,
所以函数的图象不存在“自公切线”·4分
(2)由恒成立,且仅当时,
则是上的严格增函数,可得它至多有一个零点,
令,
由的图象是连续曲线,且,
因此在上存在零点,即在上存在零点,
所以有唯一零点;.7分
假设的图象存在“自公切线”,则存在且,
使得的图象在与处的切线重合,即,有,
不妨设,切线,
切线有相同截距,即
,而,
则,即,
则有,即,
令,
即函数在上单调递增,,因此当时,,
即在上无解,所以的图象不存在“自公切线”10分
(3)对给定的,由(2)知有唯一零点,即唯一确定,
又在点处的切线方程为,即,
在点处的切线方程为
若存在,使得点与是函数图象的一对“同切点”,
则,又,则,所以,
又由(2)有,从而存在,使得,代入,
可得,则,即是数列中的项;-13分
反之,若是数列中的项,则存在,使得,即,
由(2)中的严格增,可知严格增,又且,可知,
令,则且,
即,可得,所以存在,
使得点与是函数的图象的一对“同切点”.
所以存在,使得点与是函数图象的一对“同切点”
的充要条件是“是数列中的项”·17分杭州2024学年第一学期期末学业水平测试高三数学试题卷
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则
A. B. C. D.
2.为虚数单位，为的共轭复数，若，则
A. B.i C. D.
3.已知函数是奇函数，则下列关系中正确的是
A. B. C. D.
4.已知，则
A. B. C. D.
5.在平行四边形中，若，且，则
A.-8 B.8 C.10 D.3
6.已知双曲线的右焦点为，一条渐近线被以为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.2
7.锐角的内角，，所对的边分别为，，，角的平分线交于点，若，且，则下列结论中错误的是
A. B. C. D.
8.已知正三棱锥的四个顶点都在体积为的球上，则该三棱锥体积的最大值是
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数的最小正周期为，则
A. B.
C. D.
10.已知定义在上的函数的导函数为，若对任意实数有，且，则
A. B. C. D.
11.已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点为抛物线上的点，且满足，过作的垂线，垂足为与交于点，则
A.直线的斜率为定值 B.
C. D.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若二项式的展开式中的系数是84，则实数_____.
13.设，且，函数的值域为，则实数的取值范围是_____.
14.一个综艺节目中，3名主持人与33位参与者随机站成一个圆圈，则参与者连续站在一起的人数不超过13人的概率是_____.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知等比数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的相邻项与之间插入个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前项和，求.
16.(15分)如图，三棱锥的底面是边长为2的正三角形，且，平面平面.
(1)证明:平面;
(2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
17.(15分)已知椭圆过点，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，与轴交于点，与轴交于点，
(i)若点为线段的中点，求证:;
(ii)若原点总在以为直径的圆外，求直线斜率的取值范围.
18.(17分)阿尔法狗(AlphaGo)是谷歌公司开发的人工智能程序，它第一个战胜了围棋世界冠军.它可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策.工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来训练阿尔法狗(AlphaGo)，三个阶段的阿尔法狗(AlphaGo)依次简记为甲、乙、丙.
(1)测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个阿尔法狗(AlphaGo)各比赛一局，各局比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为.记该棋手连胜两局的概率为，试判断该棋手在第二局与谁比赛最大，并写出判断过程.
(2)工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立.
(i)若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值；
(ii)若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件，证明:.
19.(17分)若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”.
(1)判断函数与的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；
(2)若，求证:函数在区间上有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”;
(3)设，函数在内的零点为，求证:存在，使得点与是函数的图象的一对“同切点”的充要条件是“是数列中的项”.
