福建省部分优质高中2024-2025学年高二（上）期末数学试卷（PDF版，含答案）

福建省部分优质高中 2024-2025 学年高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线 的一个方向向量 = (1, √ 3)，则 的倾斜角为( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
2.已知点 ( 2,1,1)关于 轴的对称点为 ，则| |等于( )
A. 3√ 2 B. 2√ 6 C. 2√ 5 D. 2
2 2
3.双曲线 ： = 1的渐近线方程为( )
4 2
A. ± √ 2 = 0 B. √ 2 ± = 0 C. ± 2 = 0 D. 2 ± = 0
4.在等差数列{ }中， 3 = 5， 6 = 3，则 9 =( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
5.已知圆 的方程为 2 + 2 2 + 2 + 2 2 5 = 0，若点(1,2)在圆外，则 的取值范围是( )
1
A. ( ∞, ) ∪ (0,+∞) B. (0,+∞)
2
1 1
C. ( ∞, ) D. ( 5, ) ∪ (0,+∞)
2 2
2 2 3
6.设椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的右焦点为 ，点 (1, )在 上，且 ⊥ 轴，过点 且斜率为 1的直线 2
与椭圆 交于 , 两点，则 的面积为( )
6√ 2 4√ 2 2√ 2 6
A. B. C. D.
7 7 7 7
7.如图，在平行六面体 中，以顶点 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60 1 1 1 1 ，
在下列结论中错误的是( )
A. = + + 1 1 B. 1 = 6√ 6
C. ⊥ 1 D. 向量 1 与 1的夹角是60

8.已知 为坐标原点，抛物线 : 2 = 2 ( > 0)上一点 (2, 0)到其准线的距离为3，过 的焦点 的直线交
于 , 两点．当 = 2√ 2时，| | | |的值为( )
7
A. √ 2 B. 3√ 2 C. D. 8
4
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1
9.已知数列{ }的前 项和为 ， 1 = 3， +1 = ，则( ) 1
2 1
A. 3 = B. 5 > 0 C. 2024 = D. = 40 3 2 37
2
10.已知 1， 2分别是双曲线 :
2 = 1的左、右焦点，经过点 1且倾斜角为钝角的直线 与 的两条渐近3
线分别交于 ， 两点，点 为 上第二象限内一点，则( )
2 2
A. 若双曲线 与 有相同的渐近线，且 的焦距为8，则 的方程为 = 1
4 12
B. 若 ( 2,2)，则| 1| + | |的最小值是2√ 5 2
C. 若△ 1 2内切圆的半径为1，则点 的坐标为( 2,3)
√ 15
D. 若线段 的中垂线过点 2，则直线 的斜率为 5
11.已知圆 1:
2 + 2 2 + 4 + 1 = 0与圆 2:
2 + 2 2 8 = 0，下列说法正确的是( )
A. 过点 (3,1)作圆 2的切线有且只有一条
B. 圆 1和圆 2共有4条公切线
C. 若 ， 分别为两圆上的点，则 ， 两点间的最大距离为5 + √ 10
D. 若 ， 为圆 2上的两个动点，且| | = 4，则线段 的中点的轨迹方程为
2 + ( 1)2 = 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知过点(0, 2)的直线 与以点 (3,1)和 ( 2√ 3, 4)为端点的线段 相交，求直线 的斜率的取值范
围 ．
13.已知 为抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点， 、 为 上在第一象限内的两点，且满足| | = 6√ 2，| |
| | = 6，线段 的中点的纵坐标为6，则 的方程为 ．
14.《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似地下车库入口形状的几何体.如图，
在羡除 中，四边形 ， 均为等腰梯形， ， ， 互相平行，平面 ⊥平面 ，
梯形 ， 的高分别为2，4，且 = 3， = 5， = 7，则异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的长轴长是短轴长的√ 2倍，且椭圆 经过点(0,1)．
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(1)求椭圆 的标准方程；
2
(2)直线 : = ( 2)交椭圆 于 ， 两点，若线段 中点的横坐标为 ，求直线 的方程．
3
16.(本小题12分)
已知在 中， 边上的高所在的直线方程为 + = 0， 边上的高所在的直线方程为2 3 + 1 = 0，
点 的坐标为(1,2)．
(1)求垂心 的坐标；
(2)若 ( 3,4)关于直线 : + 3 = 0的对称点为 ，求点 到直线 的距离．
17.(本小题12分)
已知数列{ }是等差数列，设 ( ∈ )为数列{ }的前 项和，数列{ }是等比数列， > 0，若 1 = 3，
1 = 1， 3 + 2 = 12， 5 2 2 = 3．
(1)求数列{ }和{ }的通项公式；
(2)求数列{ }的前 项和；
2
, 为奇数
(3)若 = {
，求数列{ }的前2 项和．
, 为偶数
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，侧棱 ⊥底面 , = = 1， 是 的中点，作
⊥ 交 于点 ．
(1)求证： ⊥平面 ；
√ 15
(2)若平面 与平面 的夹角的正弦值为 ，
5
( )求 长；
( )求直线 与平面 所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
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2 2
已知圆 : 2 + 2 = 4与双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)只有两个交点，过圆 上一点 的切线 与双曲线
交于 , 两点，与 轴交于 点．当 与 重合时，| | = 4√ 5．
(1)求双曲线 的方程；
4
(2)若直线 的斜率为 ，求| |；
3
4 | |
(3)当 ∈ [1, ]时，求 的最小值． 3 | |
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】( ∞, √ 3] ∪ [1,+∞)
13.【答案】 2 = 12
1
14.【答案】 ##0.2
5
15.【答案】解：(1)
∵椭圆 经过点(0,1)，∴ = 1，
∵椭圆 的长轴长是短轴长的√ 2倍，∴ = √ 2 = √ 2，
2
∴椭圆 的标准方程为 + 2 = 1；
2
(2)
如图，设 ( 1, 1), ( 2, 2)，
2
+ 2 = 1,
由{ 2 消去 得：(2 2 + 1) 2 8 2 + 8 2 2 = 0，
= ( 2),
由 = 64 4 4(2 2 + 1)(8 2
√ 2 √ 2
2) > 0，可得 < < ，
2 2
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2 2
8 8 2
则 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ，
2 +1 2 +1
2
∵线段 中点的横坐标为 ，
3
2
1+ 2 4 2∴ =
2 2
= ，
2 +1 3
1 1 √ 2 √ 2
解得 2 = ，则 = ± ，因两个值都满足 ∈ ( , )，
4 2 2 2
1
故直线 的方程为 = ± ( 2)，即 2 2 = 0或 + 2 2 = 0．
2
16.【答案】解：(1)因为 点不在这两条直线上，
如图所示：设 的边 上的高为 ，边 上的高为 ，
设 : + = 0, : 2 3 + 1 = 0 ，
1
+ = 0 =
联立得{ ，解得{ 5
2 3 + 1 = 0 1 =
5
1 1
所以垂心 ( , ) ；
5 5
1
2
5 3(2) = 1 = ，
1 ( ) 2
5
由“三条高线交于一点”可得： ⊥ ，
2
所以 = ， 3
因为 ⊥ ，
设 所在直线方程为3 + 2 + = 0，
代入 (1,2)解得： = 7 ，
所以 所在直线方程: 3 + 2 7 = 0，
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3 + 2 7 = 0
联立直线 与 的方程，可得{ ,
+ = 0
= 7
解得{ ，所以 (7, 7)，
= 7
2
所以 所在直线方程: + 7 = ( 7)整理后可得：2 + 3 + 7 = 0 ，
3
设 ( 3,4)关于直线 : + 3 = 0的对称点 ( 0, 0),，则有 ⊥ ，
3 +4
且 的中点( 0 , 0 )在 上，
2 2
0 4 = 1
0+3所以{ ,
0 3 0+4 + 3 = 0
2 2
+
整理得{ 0 0
1 = 0 = 1
，解得{ 0 ,
0 0 1 = 0 0 = 0
所以 (1,0)，
|2+7| 9√ 13所以 到直线 的距离为 = = ．
√ 13 13
17.【答案】解：(1)
设等差数列{ }的公差为 ，等比数列{ }的公比为 ，
3 + 2 = 12因为 1 = 3， 1 = 1，则由{ , 5 2 2 = 3
1
2 + 1 + 1 + = 12
2 + 6 + = 12
即{ ，得{ ,
3 + 4 2 1 = 3 + 2 3 + 4 2 = 3 + 2
= 2 = 3 = 3
解得{ 或{ ，因为 > 0，故舍去{ , = 2 = 3 = 3
所以 = 3 + 2( 1) = 2 + 1， = 2
1
．
(2)
由(1)得 1 = 2 + 1， = 2 ，所以 = (2 + 1) 2
1，
令数列{ }的前 项和为 ，则 = 1 1 + 2 2 + 3 3 + + ，
即 = 3 × 1 + 5 × 2
1 + 7 × 22 + + (2 + 1) 2 1①，
2 = 3 × 21 + 5 × 22 + 7 × 2
3 + (2 1) 2 1 + (2 + 1) 2 ②，
两式相减得： = 3 + 2 × 21 + 2 × 22 + + 2 × 2 1 (2 + 1) × 2

2 2 2 ( )
= 3 + 2(2 + 22 + 2 1) (2 + 1) 2 = 3 + (2 + 1) × 2
1 2
= (2 1) 2 1，
所以 = (2 1) 2
+ 1( ∈ )．
(3)
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设数列{ }的前 项和为
( +
由 1
)
1 = 3， = 2 + 1，得 = = ( + 2)， 2
2
, 为奇数 1 1 , 为奇数
则 = { ( +2) ，即 = { +2 ；
2 1, 为偶数 2 1, 为偶数
故 2 = ( 1 + 3 + + 2 1) + ( 2 + 4 + + 2 )
1 1 1 1 1
= [(1 ) + ( ) + + ( )] + (2 + 23 + + 22 1)
3 3 5 2 1 2 +1
1 2(1 4 ) 1+22 +1 1
= 1 + =
2 +1 1 4 3 2 +1
18.【答案】解：(1)
以 为原点， , , 所在直线分别为 轴 轴 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
1 1
设 = ，则 (0,0,1), (0, , ) , ( , 0,0), ( , 1,0)．
2 2
1 1
因为 = ( , 1, 1), = (0, , )，
2 2
1 1
故 = 0 + = 0，所以 ⊥ ．
2 2
由已知 ⊥ ，且 ∩ = ， , 平面 ．
所以 ⊥平面 ．
(2)
( )设平面 的法向量 = ( , , )，因为 = (0,1, 1)，
所以{
= 0 + = 0，所以{ ，令 = 1，得 = (0,1,1)；
= 0 = 0
设平面 的法向量 = ( 1, 1, 1)，
所以{
= 0 + = 0，所以{ 1 1 ，令 1 = 1，得 = (1, , 0)；
= 0 1 = 0
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设平面 与平面 的 夹角为 ，则cos = |cos , | = ，
√ 2( 2+1)
√ 15 √ 10 √ 10
因为sin = ，所以cos = ，所以 = ，
5 5 5
√ 2( 2+1)
解得 = 2(取正)，所以 长为2．
( )由(1)可知 ⊥ ，故∠ 是直线 与平面 所成角的一个平面角，
√ 2 √ 3
在直角 中，cos∠ = = = ，
√ 6 3
又 ，则∠ 与∠ 互余，
√ 3 √ 3
所以sin∠ = cos∠ = ，即直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
3 3
2 2
19.【答案】解：(1)由圆 : 2 + 2 = 4与双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)只有两个交点可知： = 2，
2
(2√ 5) 4
又根据题意，双曲线过点(2√ 5, 2)，所以 2 = 1
2 = 1，
4
2
所以双曲线 的标准方程为： 2 = 1．
4
(2)如图：
4 3
因为直线 的斜率为 ，且直线 与直线 垂直，所以直线 的斜率为 ，
3 4
3
设直线 的方程为： = + ，即3 4 + 4 = 0，
4
|4 | 5
由 = 2 | | = ，
2
√ 32+( 4)2
5 3 5
不妨令 = ，则直线 的方程为： = + ，
2 4 2
2 3 5 2
代入 2 = 1得： 2 4( + ) = 4，
4 4 2
整理得：5 2 + 60 + 116 = 0，
116
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 1 + 2 = 12， 1 2 = ， 5
116 256
所以( 1
2 2
2) = ( 1 + 2) 4 1 2 = 144 4 × = ， 5 5
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3 2 5 16
所以| | = √ 1 + ( ) |
4 1
2| = × = 4√ 5， 4 √ 5
5
若 = ，亦可得| | = 4√ 5，
2
综上：| | = 4√ 5．
| |
(3)设直线 的方程为 = + ，由 = 2 | | = 2√ 1 + 2，
√ 2 1+
4 2√ 5 4
不妨设 点在第二象限，因为 ∈ [1, ]，则 的两个端点为( √ 3, 1)，( , )， 3 3 3
2√ 5 √ 3
则 ∈ [ , ]，因为 ⊥ ， 5 3
√ 5
所以 ∈ [ , √ 3]， = 2√ 1 + 2，
2
2
将 = + 2√ 1 + 2代入双曲线 2 4 2 = 4可得： 2 4( + 2√ 1 + 2) = 4，
整理得：(1 4 2) 2 16 √ 1 + 2 16(1 + 2) 4 = 0，
16 √
2
1+ 220+16
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ，
1 4 1 4
√ 5
因为 ∈ [ , √ 3]，所以1 4 2 < 0，
2
2
√ 216 1+ 220+16 80
所以( 1
2
2) = ( 1 + 2)
2 4 1 2 = ( 2 ) + 4 × 2 = 2，
1 4 1 4 2(1 4 )
√ 24√ 5 1+
所以| | = √ 1 + 2 | 1 2| = 2 ，
4 1
又| | = 2√ 1 + 2，
2 2
| | 2√ 1+ 4 1
所以 = = ，
| | 2 2√ 5
4√ 5√ 1+
2
4 1
√ 5 | | 4 2√ 5
因为 ∈ [ , √ 3]，所以 ≥ = ，
2 | | 2√ 5 5
| | 2√ 5
即 的最小值为 ．
| | 5
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