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2025年人教版数学中考一轮复习29个单元核心素养检测试卷（全国通）
13 轴对称单元素养达标检测试卷
（答题时间90分钟，试卷满分120分）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称．
A．是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．
2. 观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（ ）
A. 主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
B. 左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
C. 俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
D. 主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形
【答案】C
【解析】先判断该几何体的三视图，再根据轴对称和中心对称图形定义逐项判断三视图，即可求出答案.
A选项：主视图是上下两个等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
B选项：左视图是上下两个等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
C选项：俯视图是圆（带圆心），既是中心对称图形，又是轴对称图形，故符合题意；
D选项：由A和B选项可知，主视图和左视图都不是中心对称图形，故不符合题意.
故选：C.
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图、轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于掌握轴对称和中心对称的定义. 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.
3. （2024贵州省）“黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了轴对称图形概念，一个图形沿着某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形．根据轴对称图形概念，结合所给图形即可得出答案．
【详解】A．不是轴对称图形，不符合题意；
B． 是轴对称图形，符合题意；
C． 不是轴对称图形，不符合题意；
D． 不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
4. （2024广西）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可．
【详解】A．图案不成轴对称，故不符合题意；
B．图案成轴对称，故符合题意；
C．图案不成轴对称，故不符合题意；
D．图案不成轴对称，故不符合题意；
故你：B．
5.如图,△ABC关于直线l的对称图形是△DEF，下列判断错误的是（ ）
A. AB=DE B.BC∥EF C.直线l⊥BE D.∠ABC=∠DEF
【答案】B
【解析】轴对称图形的相关性质。结合轴对称图形的相关性质逐一检验，从而找到合理答案.
成轴对称的图形是全等形，故AB=DE，∠ABC=∠DEF，对称点之间的线段被对称轴垂直平分即直线l⊥BE，而BC∥EF没有依据，故B选项错误.
6.小莹和小博士下棋，小莹执白子，小博士执黑子．如图，棋盘中心黑子的位置用（-1，0）表示，右下角黑子的位置用（0，-1）表示．小莹将第4枚白子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．他放的位置是（ ）
A．（-2，1） B．（-1，1） C．（1，-2） D．（-1，-2）
【答案】B
【解析】本题考查了轴对称图形和坐标位置的确定.棋盘中心黑子的位置用（-1，0）表示，则这点所在的横线是x轴，右下角黑子的位置用（0，-1），则这点所在的纵线是y轴，则当放的位置是（-1，1）时构成轴对称图形．故选B.
7.如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（ ）
A．2+2 B．2+ C．4 D．3
【答案】A
【解析】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力．
过A作AF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，得到AB=AC=2，根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE，即可得到结论．
过A作AF⊥BC于F，
∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴AB=AC=2，
∵DE垂直平分AB，∴BE=AE，
∴AE+CE=BC=2，
∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2
8.如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ）
A. 25 B. 22 C. 19 D. 18
【答案】C
【解析】由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．
由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵，，
∴ △ABD的周长＝AB＋AD＋BD
＝AB＋AD＋CD
＝AB＋AC
＝19．
故选：C
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
9．如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出AF＝FC＝AE＝5，由勾股定理求出AB，AC，进而求出OA即可．
∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∴∠EFC＝∠AEF，
∴AE＝AF＝3，
由折叠得，FC＝AF，OA＝OC，
∴BC＝3+5＝8，
在Rt△ABF中，AB4，
在Rt△ABC中，AC4，
∴OA＝OC＝2，
10．（2024福建省）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；
A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断；
B.不一定等于，即可判断；
C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断；
D. 过作，可得 ，由对称性质得同理可证，即可判断；
掌握轴对称的性质是解题的关键．
【详解】A.，
，
由对称得，
点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形，
，，
，
，结论正确，故不符合题意；
B.不一定等于，结论错误，故符合题意；
C.由对称得，
∵点 E ，F分别是底边的中点，
，结论正确，故不符合题意；
D.
过作，
，
，
，由对称得，
，
同理可证，
，结论正确，故不符合题意；
故选：B．
二、填空题（本大题有10个小题，每空3分，共30分）
1.平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为_______。
【答案】（﹣2，﹣3）
【解析】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出答案．
点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3）．
2. 已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b = _．
【答案】5
【解析】根据平面直角坐标系中，关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，求出a，b的值即可．
∵点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，
∴，，
∴
故答案为：5．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标的特点，掌握特殊位置关系的点的坐标变化是解答本题的关键．
3. （2023湖北荆州）如图，，点在上，，为内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点到的距离为___________．
【答案】1
【解析】首先利用垂直平分线的性质得到，利用角平分线，求出，再在中用勾股定理求出，最后利用角平分线的性质求解即可．
【详解】如图所示，
由尺规作图痕迹可得，是的垂直平分线，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
由尺规作图痕迹可得，是的平分线，
∴点到的距离等于点P到的距离，即的长度，
∴点到的距离为1．
故答案为：1 ．
【点睛】本题考查角平分线和垂直平分线的性质，勾股定理，数形结合思想是关键．
4. 如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF= ．
【答案】2．
【解析】作EH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出EH，根据直角三角形的性质求出EF，根据等腰三角形的性质解答．
作EH⊥OA于H，
∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，
∴EH=EC=1，∠AOB=30°，
∵EF∥OB，
∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，
∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，
∴OF=EF=2，
5. 等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为 ．
【答案】36°．
【解析】首先根据等腰三角形的性质可得∠A的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，进而可得∠ABE=∠A=36°，然后可计算出∠EBC的度数．
∵等腰△ABC的底角为72°，
∴∠A=180°﹣72°×2=36°，
∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=36°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°．
【点拨】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等边对等角．
6.如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．则CD的长为 ．
【答案】a
【解析】观察图形可以发现，在Rt△ADC中，AC=2a，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，可求出CD．
∵∠ABC=∠ACB=15°，
∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°．
∴CD=AC=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．
7.已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为 .
【答案】
【解析】本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P到三边的距离之和等于等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观．
作出图形，根据等边三角形的性质求出高AH的长，再根据三角形的面积公式求出点P到三边的距离之和等于高线的长度，从而得解．
如图，∵等边三角形的边长为3，
∴高线AH=3×=，
S△ABC=BC AH=AB PD+BC PE+AC PF，
∴×3 AH=×3 PD+×3 PE+×3 PF，
∴PD+PE+PF=AH=，
即点P到三角形三边距离之和为．
8．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）测得的相关数据为：米，则______米．
【答案】48
【解析】先说明△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答．
∵∴∠BAC=180°-60°-60°=60°
∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°∴△ABC是等边三角形
∴AC=BC=48米．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，证得△ABC是等边三角形是解答本题的关键．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E、F分别是边BC、CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△ECF，连接AC，当BE＝ 时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形．
【答案】或．
【解析】设BE＝x，则EC＝4﹣x，由翻折得：EC′＝EC＝4﹣x．当AE＝EC′时，由勾股定理得：32+x2＝（4﹣x）2；当AE＝AC’时，作AH⊥EC’，由∠AEF＝90°，EF平方∠CEC′可证得∠AEB＝∠AEH，则△ABE≌△AHE，所以BE＝HE＝x，由三线合一得EC′＝2EH，即4﹣x＝2x，解方程即可．
【解答】解：设BE＝x，则EC＝4﹣x，
由翻折得：EC′＝EC＝4﹣x，当AE＝EC′时，AE＝4﹣x，
∵矩形ABCD，
∴∠B＝90°，
由勾股定理得：32+x2＝（4﹣x）2，
解得：，
当AE＝AC′时，如图，作AH⊥EC′
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝∠AEC′+∠FEC′＝90°，
∴∠BEA+∠FEC＝90°，
∵△ECF沿EF翻折得△ECF，
∴∠FEC′＝∠FEC，
∴∠AEB＝∠AEH，
∵∠B＝∠AHE＝90°，AH＝AH，
∴△ABE≌△AHE（AAS），
∴BE＝HE＝x，
∵AE＝AC′时，作AH⊥EC′，
∴EC′＝2EH，
即4﹣x＝2x，
解得，
综上所述：BE＝或．
故答案为：或．
10. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是 ．
【答案】10°或100°
【解析】分两种情况画图，由作图可知得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
如图，点即为所求；
在中，，，
，
由作图可知：，
，
；
由作图可知：，
，
，
，
．
综上所述：度数是或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了作图复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形判定与性质，解题的关键是掌握基本作图方法．
三、解答题（6个小题，共60分）
1.（8分）（2024广西）如图，在中，，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）所作的图中，连接，若，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】（1）分别以A、B为圆心，大于为半径画弧，分别交，于点D，E，作直线，则直线l即为所求．
（2）连接，由线段垂直平分线的性质可得出，由等边对等角可得出，由三角形内角和得出，则得出为等腰直角三角形，再根据正弦的定义即可求出的长．
【小问1详解】
解：如下直线l即为所求．
【小问2详解】
连接如下图：
∵为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及正弦的定义．掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
2．（8分）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：
（1）∠ECB＝∠FCG；
（2）△EBC≌△FGC．
【答案】见解析。
【解析】依据平行四边形的性质，即可得到∠A＝∠BCD，由折叠可得，∠A＝∠ECG，即可得到∠ECB＝∠FCG；依据平行四边形的性质，即可得出∠D＝∠B，AD＝BC，由折叠可得，∠D＝∠G，AD＝CG，即可得到∠B＝∠G，BC＝CG，进而得出△EBC≌△FGC．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠BCD，
由折叠可得，∠A＝∠ECG，
∴∠BCD＝∠ECG，
∴∠BCD﹣∠ECF＝∠ECG﹣∠ECF，
∴∠ECB＝∠FCG；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B，AD＝BC，
由折叠可得，∠D＝∠G，AD＝CG，
∴∠B＝∠G，BC＝CG，
又∵∠ECB＝∠FCG，
∴△EBC≌△FGC（ASA）．
3.（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O．
（1）求证：△DBC≌△ECB；
（2）求证：OB＝OC．
【答案】见解析。
【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ECB＝∠DBC根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
证明：∵AB＝AC，
∴∠ECB＝∠DBC，
在△DBC与△ECB中，
∴△DBC≌△ECB（SAS）；
（2）根据全等三角形的性质得到∠DCB＝∠EBC根据等腰三角形的判定定理即可得到OB＝OC
证明：由（1）知△DBC≌△ECB，
∴∠DCB＝∠EBC，
∴OB＝OC．
4．（10分）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF=FD．求证：AD=CE．
【答案】见解析。
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
作DG∥BC交AC于G，先证明△DFG≌△EFC，得出GD=CE，再证明△ADG是等边三角形，得出AD=GD，即可得出结论．
解答：
证明：作DG∥BC交AC于G，如图所示：
则∠DGF=∠ECF，
在△DFG和△EFC中，，
∴△DFG≌△EFC（AAS），
∴GD=CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵DG∥BC，
∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，
∴∠A=∠ADG=∠AGD，
∴△ADG是等边三角形，
∴AD=GD，
∴AD=CE．
5.（12分）（2023龙东） 如图①，和是等边三角形，连接，点F，G，H分别是和的中点，连接．易证：．
若和都是等腰直角三角形，且，如图②：若和都是等腰三角形，且，如图③：其他条件不变，判断和之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．
【答案】图②中，图③中，证明见解析
【解析】【分析】图②：如图②所示，连接，先由三角形中位线定理得到，，再证明得到，则，进一步证明，即可证明是等腰直角三角形，则；
图③：仿照图②证明是等边三角形，则．
【详解】图②中，图③中，
图②证明如下：
如图②所示，连接，
∵点F，G分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理可得，
∵和都是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴是等腰直角三角形，
∴；
图③证明如下：
如图③所示，连接，
∵点F，G分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理可得，
∵和都是等腰三角形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴是等边三角形，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
6.（12分） （2023湖南郴州） 已知是等边三角形，点是射线上的一个动点，延长至点，使，连接交射线于点．
（1）如图1，当点在线段上时，猜测线段与的数量关系并说明理由；
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，
①线段与的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接．设，若，求四边形的面积．
【答案】（1），理由见解析
（2）①成立，理由见解析②
【解析】分析】（1）过点作，交于点，易得，证明，得到，即可得出结论．
（2）①过点作，交的延长线于点，易得，证明，得到，即可得出结论；②过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，根据已知条件推出，得到，证明，得到，求出的长，利用四边形的面积为进行求解即可．
【详解】（1），理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
过点作，交于点，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴；
（2）①成立，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
过点作，交的延长线于点，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴；
②过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，则：，
由①知：为等边三角形，，，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则：，，
∴，
∵，
∴，
∴，即：②，
联立①②可得：（负值已舍去），
经检验是原方程的根，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积为
．
【点睛】考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．本题的综合性强，难度大，属于中考压轴题，解题的关键是添加辅助线构造特殊三角形，全等和相似三角形．
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2025年人教版数学中考一轮复习29个单元核心素养检测试卷（全国通）
13 轴对称单元素养达标检测试卷
（答题时间90分钟，试卷满分120分）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B． C．D．
2. 观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（ ）
A. 主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
B. 左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
C. 俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
D. 主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形
3. （2024贵州省）“黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. （2024广西）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ）
A. B. C. D.
5.如图,△ABC关于直线l的对称图形是△DEF，下列判断错误的是（ ）
A. AB=DE B.BC∥EF C.直线l⊥BE D.∠ABC=∠DEF
6.小莹和小博士下棋，小莹执白子，小博士执黑子．如图，棋盘中心黑子的位置用（-1，0）表示，右下角黑子的位置用（0，-1）表示．小莹将第4枚白子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．他放的位置是（ ）
A．（-2，1） B．（-1，1） C．（1，-2） D．（-1，-2）
7.如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（ ）
A．2+2 B．2+ C．4 D．3
8.如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ）
A. 25 B. 22 C. 19 D. 18
9．如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为（ ）
A． B． C．2 D．4
10．（2024福建省）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题有10个小题，每空3分，共30分）
1.平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为_______。
（﹣2，﹣3）2. 已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b = _．
3. （2023湖北荆州）如图，，点在上，，为内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点到的距离为___________．
4. 如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF= ．
5. 等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为 ．
6.如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．则CD的长为 ．
7.已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为 .
8．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）测得的相关数据为：米，则______米．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E、F分别是边BC、CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△ECF，连接AC，当BE＝ 时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形．
10. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是 ．
三、解答题（6个小题，共60分）
1.（8分）（2024广西）如图，在中，，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）所作的图中，连接，若，求的长．
2．（8分）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：
（1）∠ECB＝∠FCG；
（2）△EBC≌△FGC．
3.（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O．
（1）求证：△DBC≌△ECB；
（2）求证：OB＝OC．
4．（10分）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF=FD．求证：AD=CE．
5.（12分）（2023龙东） 如图①，和是等边三角形，连接，点F，G，H分别是和的中点，连接．易证：．
若和都是等腰直角三角形，且，如图②：若和都是等腰三角形，且，如图③：其他条件不变，判断和之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．
6.（12分） （2023湖南郴州） 已知是等边三角形，点是射线上的一个动点，延长至点，使，连接交射线于点．
（1）如图1，当点在线段上时，猜测线段与的数量关系并说明理由；
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，
①线段与的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接．设，若，求四边形的面积．
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