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2025年人教版数学中考一轮复习29个单元核心素养检测试卷（全国通）
14 整式的乘法与因式分解单元重点难点必考点素养达标检测试卷
（答题时间90分钟，试卷满分120分）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. （2024甘肃临夏）下列各式运算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘除法，掌握运算法则是解题的关键．根据相关运算法则对选项进行运算，并判断，即可解题．
A、与不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：B．
2. （2024福建省）下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项运算法则．
利用同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项计算后判断正误．
【详解】，A选项错误；
，B选项正确；
，C选项错误；
，D选项错误；
故选：B．
3. （2023浙江温州）化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据积的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可求解．
，
故选：D．
【点睛】本题考查了积的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握积的乘方以及同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
4.（2023浙江杭州） 分解因式：（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】利用平方差公式分解即可．
．
故选：A．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
5. 下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）
A．x2 ＋1 B．x2＋2x－1
C．x2＋x＋1 D．x2＋4x＋4
【答案】D
【解析】A．不符合完全平方公式的结构，不能用完全平方公式分解因式；
B．不符合完全平方公式的结构，不能用完全平方公式分解因式；
C．不符合完全平方公式的结构，不能完全平方公式分解因式；
D．符合完全平方公式的结构，能用完全平方公式分解因式；故选D．
6．（2024广西）如果，，那么的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 4 D. 9
【答案】D
【解析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可．
【详解】∵，，
∴
；
故选D．
7．设a，b，c是的三条边，且，则这个三角形是
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为整理成多项式的乘积等于0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状.
∵a3-b3=a2b-ab2+ac2-bc2，∴a3-b3-a2b+ab2-ac2+bc2=0，
（a3-a2b）+（ab2-b3）-（ac2-bc2）=0，a2（a-b）+b2（a-b）-c2（a-b）=0，（a-b）（a2+b2-c2）=0，
所以a-b=0或a2+b2-c2=0．所以a=b或a2+b2=c2．故选：D.
8.运用乘法公式计算(x＋3)2的结果是（ ）
A．x2＋9 B．x2－6x＋9 C．x2＋6x＋9 D．x2＋3x＋9
【答案】C
【解析】运用完全平方公式，(x＋3)2＝x2＋2×3x＋32＝x2＋6x＋9．
9． （2024河南省）计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法则可得答案．
【详解】，
故选D
10. （2023湖北随州）设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】计算出长为，宽为的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张．
【详解】长为，宽为的大长方形的面积为：
；
需要6张A卡片，2张B卡片和8张C卡片．
故选：C．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式与图形面积，解题的关键是理解结果中项的系数即为需要C类卡片的张数．
二、填空题（本大题有10个小题，每空3分，共30分）
1. （2023吉林省）计算：_________．
【答案】
【解析】根据单项式乘多项式的运算法则求解．
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式的运算法则，掌握单项式乘多项式的运算法则是解答关键．
2. （2024北京市）分解因式：___________.
【答案】
【解析】先提取公因式，再套用公式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．
【详解】．
故答案为：．
3.已知，，则______．
【答案】24
【解析】根据平方差公式计算即可．
∵，，
∴，故答案：24．
【点睛】本题考查因式分解的应用，先根据平方差公式进行因式分解再整体代入求值是解题的关键．
4. 已知代数式是一个完全平方式，则实数t的值为 ．
【答案】或
【解析】直接利用完全平方公式求解．
∵代数式是一个完全平方式，
∴，
∴，
解得或.
【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键．
5. （2024江苏扬州）分解因式：_____．
【答案】
【解析】先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：
原式，
故答案为：．
6. （2023山东临沂）观察下列式子
；
；
；
……
按照上述规律，____________．
【答案】
【解析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．
∵；
；
；
……
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．
7. 当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下：
YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：等于；
JXND（觉醒年代）：的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大．
其中对的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．
【答案】DDDD
【解析】根据乘方含义即可判断YYDS（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将化为，再与比较，即可判断DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断JXND（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得，即可判断QGYW（强国有我）的理解是正确的．
【详解】是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的；
，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；
，
2的乘方的个位数字4个一循环，
，
的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的；
，，且
，故QGYW（强国有我）的理解是正确的；
故答案为：DDDD．
【点睛】考查乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的关键．
8.将二次三项式x2+4x+5化成（x+p）2+q的形式应为 ．
【答案】（x+2）2+1．
【解析】此题主要考查了配方法的应用，正确应用完全平方公式是解题关键．
直接利用完全平方公式将原式进行配方得出答案．
x2+4x+5
=x2+4x+4+1
=（x+2）2+1．
9.已知，则代数式的值为_______．
【答案】５
【解析】先根据，得出，将变形为，最后代入求值即可．
∵，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，单项式乘多项式，将变形为，是解题的关键．
10. 已知一个等腰三角形的两边长分别为a和b，且a、b满足，则这个三角形的周长为 。
【答案】7或8．
【解析】∵，
∴，解得，
当a=2为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；
当b=3为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；
综上所述此等腰三角形的周长为7或8．
三、解答题（6个小题，共60分）
1. （6分）先化简，再求值，其中．
【答案】x3-2xy+x，1
【解析】首先运用平方差公式计算，再运用单项式乘以多项式计算，最后合并同类项，即可化简，然后把x、y值代入计算即可．
【详解】
=x(x2-y2)+xy2-2xy+x
=x3-xy2+xy2-2xy+x
=x3-2xy+x，
当x=1，y=时，原式=13-2×1×+1=1．
【点睛】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．
2.（6分）（2023齐齐哈尔）分解因式：．
【答案】．
【解析】先提取公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可．
【详解】原式
．
【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，二次根式的化简，实数的运算，特殊角的三角函数值，提公因式法与公式法的综合运用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3. （10分） （2024福建省）已知实数满足．
（1）求证：为非负数；
（2）若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由．
【答案】（1）证明见解析； （2）不可能都为整数，理由见解析．
【解析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力．
（1）根据题意得出，进而计算，根据非负数的性质，即可求解；
（2）分情况讨论，①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性质结合已知条件分析即可．
【小问1详解】
解：因为，
所以．
则
．
因为是实数，所以，
所以为非负数．
【小问2详解】
不可能都为整数．
理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数．
①当都为奇数时，则必为偶数．
又，所以．
因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．
②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数．
又因为，所以．
因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．
综上所述，不可能都为整数．
4.（10分）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律．解决下列问题：
（1）写出第5个等式：________；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；
（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．
【详解】（1）观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：，
故答案为：；
（2）第n个等式为，
证明如下：
等式左边：，
等式右边：
，
故等式成立．
【点睛】考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
5. （14分）已知△ABC的三条边分别是a、b、c．（1）判断（a﹣c）2﹣b2的值的正负．（2）若a、b、c满足a2+c2+2b（b﹣a﹣c）＝0，判断△ABC的形状．
【答案】等边三角形
【解析】运用因式分解法将（a﹣c）2﹣b2转化为（a﹣c+b）（a﹣c﹣b），借助三角形的三边关系问题即可解决．运用配方法，将所给等式的左边变形、配方，利用非负数的性质问题即可解决．
（1）（a﹣c）2﹣b2＝（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）；
∵△ABC的三条边分别是a、b、c．∴a+b﹣c＞0，a﹣c﹣b＜0，∴（a﹣c）2﹣b2的值的为负．
（2）∵a2+c2+2b（b﹣a﹣c）＝0，∴a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc＝0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0；
又∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，△ABC为等边三角形．
6.（14分） （2023湖南张家界）阅读下面材料：
将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，．
则
例如：当，时，
根据以上材料解答下列问题：
（1）当，时，______，______；
（2）当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）当，时，令，，，…，，且，求T的值．
【答案】（1），
（2）猜想结论：，证明见解析
（3）
【解析】【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可；
（2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可；
（3）结合题意利用（2）中结论求解即可．
【详解】（1）解：
当，时，
原式；
当，时，
原式；
（2）猜想结论：
证明：
；
（3）
．
【点睛】题目主要考查利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律是解题关键．
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14 整式的乘法与因式分解单元重点难点必考点素养达标检测试卷
（答题时间90分钟，试卷满分120分）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. （2024甘肃临夏）下列各式运算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024福建省）下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. （2023浙江温州）化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
4.（2023浙江杭州） 分解因式：（ ）
A. B. C. D.
5. 下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）
A．x2 ＋1 B．x2＋2x－1
C．x2＋x＋1 D．x2＋4x＋4
6．（2024广西）如果，，那么的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 4 D. 9
7．设a，b，c是的三条边，且，则这个三角形是
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
8.运用乘法公式计算(x＋3)2的结果是（ ）
A．x2＋9 B．x2－6x＋9 C．x2＋6x＋9 D．x2＋3x＋9
9． （2024河南省）计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
10. （2023湖北随州）设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
二、填空题（本大题有10个小题，每空3分，共30分）
1. （2023吉林省）计算：_________．
2. （2024北京市）分解因式：___________.
3.已知，，则______．
4. 已知代数式是一个完全平方式，则实数t的值为 ．
5. （2024江苏扬州）分解因式：_____．
6. （2023山东临沂）观察下列式子
；
；
；
……
按照上述规律，____________．
7. 当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下：
YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：等于；
JXND（觉醒年代）：的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大．
其中对的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．
8.将二次三项式x2+4x+5化成（x+p）2+q的形式应为 ．
9.已知，则代数式的值为_______．
10. 已知一个等腰三角形的两边长分别为a和b，且a、b满足，则这个三角形的周长为 。
三、解答题（6个小题，共60分）
1. （6分）先化简，再求值，其中．
2.（6分）（2023齐齐哈尔）分解因式：．
3. （10分） （2024福建省）已知实数满足．
（1）求证：为非负数；
（2）若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由．
4.（10分）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律．解决下列问题：
（1）写出第5个等式：________；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
5. （14分）已知△ABC的三条边分别是a、b、c．（1）判断（a﹣c）2﹣b2的值的正负．（2）若a、b、c满足a2+c2+2b（b﹣a﹣c）＝0，判断△ABC的形状．
6.（14分） （2023湖南张家界）阅读下面材料：
将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，．
则
例如：当，时，
根据以上材料解答下列问题：
（1）当，时，______，______；
（2）当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）当，时，令，，，…，，且，求T的值．
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