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2025年人教版数学中考一轮复习29个单元核心素养检测试卷（全国通）
15 分式单元重点难点必考点素养达标检测试卷
（答题时间90分钟，试卷满分120分）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
2. 方程的解是（ ）
A. B. C. D.
3. 判断一个方程是否为分式方程，下列观点正确的是（ ）
A. 主要看分式中分母是否含有字母；
B. 主要看分式中分母是否含有未知数；
C. 主要看分式中分母是否含有字母和未知数；
D. 主要看分式中分母是否含有未知数，同时未知数次数必须是1.
4. （2024黑龙江齐齐哈尔）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ）
A. 且 B. C. D. 且
5．小明解分式方程的过程下．
解：去分母，得 ．①
去括号，得 ．②
移项、合并同类项，得 ．③
化系数为1，得 ．④
以上步骤中，开始出错的一步是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
6．已知关于x的分式方程4的解为非正数，则k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣12 B．k≥﹣12 C．k＞﹣12 D．k＜﹣12
7．已知是分式方程的解，那么实数的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8. 某校学生去距离学校的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是（ ）．
A. B. C. D.
9. （2024甘肃临夏）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题有10个小题，每空3分，共30分）
1. 已知，且，则的值为___________．
2.（2024湖北省）计算：______．
3.（2024北京市）方程的解为___________.
4. 方程的解是________．
5. 若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____．
6．若关于x的方程无解，则m的值为_________．
7. 3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有________人．
8．分式方程+＝3的解是 ．
9. 若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是_________．
10．某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程为 ．
三、解答题（6个小题，共60分）
1.（8分）（2024福建省）解方程：．
2. （8分）（2024北京市）已知，求代数式值.
3. （12分）（2023湖北天门）（1）计算：；
（2）解分式方程：．
4. （10分）（2024深圳）先化简，再求值： ，其中
5.（10分）（2023广东省） 某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的倍，结果甲比乙早到，求乙同学骑自行车的速度．
6. （12分）（2023龙东）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？
（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
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2025年人教版数学中考一轮复习29个单元核心素养检测试卷（全国通）
15 分式单元重点难点必考点素养达标检测试卷
（答题时间90分钟，试卷满分120分）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据分式的加法运算可进行求解．
原式；
故选C．
【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键．
2. 方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得解．
去分母得：，
解得，
经检验是分式方程的解．
故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
3. 判断一个方程是否为分式方程，下列观点正确的是（ ）
A. 主要看分式中分母是否含有字母；
B. 主要看分式中分母是否含有未知数；
C. 主要看分式中分母是否含有字母和未知数；
D. 主要看分式中分母是否含有未知数，同时未知数次数必须是1.
【答案】B
【解析】判断一个方程是否为分式方程的方法，只看方程中分式的分母含有字母不行，主要是看分母中是否含有未知数．未知数次数没有限制。
4. （2024黑龙江齐齐哈尔）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围
是（ ）
A. 且 B. C. D. 且
【答案】A
【解析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的解是负数得到，并结合分式方程的解满足最简公分母不为，求出的取值范围即可，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【详解】方程两边同时乘以得，，
解得，
∵分式方程的解是负数，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴且，
故选：．
5．小明解分式方程的过程下．
解：去分母，得 ．①
去括号，得 ．②
移项、合并同类项，得 ．③
化系数为1，得 ．④
以上步骤中，开始出错的一步是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】B
【解析】写出分式方程的正确解题过程即可作出判断．
，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得，
合并同类项，得 ，
∴以上步骤中，开始出错一步是②．
故选：B
【点睛】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
6．已知关于x的分式方程4的解为非正数，则k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣12 B．k≥﹣12 C．k＞﹣12 D．k＜﹣12
【答案】A
【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k的不等式，解出k的范围即可．
【解析】方程4两边同时乘以（x﹣3）得：
x﹣4（x﹣3）＝﹣k，
∴x﹣4x+12＝﹣k，
∴﹣3x＝﹣k﹣12，
∴x4，
∵解为非正数，
∴4≤0，
∴k≤﹣12．
7．已知是分式方程的解，那么实数的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】将代入原方程，即可求出值．
将代入方程中，得解得： ．故选：B．
【点睛】本题考查了方程解的概念．使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解．“有根必代”是这类题的解题通法．
8. 某校学生去距离学校的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设骑车学生的速度为，则汽车的速度为，根据题意可得，乘坐汽车比骑自行车少用,据此列分式方程求解．
【详解】设骑车学生的速度为，则汽车的速度为，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
所以，骑车学生的速度为．
∴汽车的速度为
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
9. （2024甘肃临夏）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程．
【详解】由题意可得，
，
故选：C．
10. 近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】若设路线a时的平均速度为x千米/小时，则走路线b时的平均速度为千米/小时，根据路线b的全程比路线a少用10分钟可列出方程．
【详解】由题意可得走路线b时的平均速度为千米/小时，
∴，
故选：A．
【点睛】考查由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
二、填空题（本大题有10个小题，每空3分，共30分）
1. 已知，且，则的值为___________．
【答案】1
【解析】根据可得，即，然后将整体代入计算即可．
∵
∴，
∴，即．
∴．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则得到是解答本题的关键．
2.（2024湖北省）计算：______．
【答案】1
【解析】本题主要考查了分式的加减运算．直接按同分母分式加减运算法则计算即可．
．
故选：1．
3.（2024北京市）方程的解为___________.
【答案】
【解析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键．
先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根．
【详解】
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
所以，原方程的解为，
故答案为：．
4. 方程的解是________．
【答案】
【解析】先去分母，左右两边同时乘以，再根据解一元一次方程的方法和步骤进行解答，最后进行检验即可．
【详解】去分母，得：，
化系数为1，得：．
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，正确找出最简公分母，注意解分式方程要进行检验．
5. 若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____．
【答案】1或
【解析】去分母得：x-3a=2a（x-3），整理得：（1-2a）x=-3a，当1-2a=0时，方程无解，故a=；
当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解，则a=1，
故关于x的分式方程=2a无解，则a的值为：1或．故答案为1或．
点睛：此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
6．若关于x的方程无解，则m的值为_________．
【答案】-1或5或
【解析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案.
去分母得：，可得：，
当时，一元一次方程无解，此时，当时，则，
解得：或.故答案为：或或.
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键.
7. 3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有________人．
【答案】3
【解析】审题确定等量关系：第一组平均每人植树棵数＝第二组平均每人植树棵数，列方程求解，注意检验．
设第一组有x人，则第二组有人，根据题意，得
去分母，得
解得，
经检验，是原方程的根．
故答案为：3
【点睛】本题考查分式方程的应用，审题明确等量关系是解题的关键，注意分式方程的验根．
8．分式方程+＝3的解是 ．
【答案】x＝3．
【解析】先将方程的左边进行计算后，再利用去分母的方法将原方程化为整式方程，求出这个整式方程的根，检验后得出答案即可．
原方程可变为+＝3，
所以＝3，
两边都乘以（x﹣2）得，
x＝3（x﹣2），
解得，x＝3，
检验：把x＝3代入（x﹣2）≠0，
所以x＝3是原方程的根．
9. 若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是_________．
【答案】且
【解析】先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
方程两边同时乘以得：
，
解得：，
∵x为正数，
∴，解得，
∵，
∴，即，
∴m的取值范围是且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数，可以正确用m表示出x的值是解题的关键．
10．某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程为 ．
【答案】﹣＝30．
【解析】设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积为（1+25%）x万平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前30天完成了任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积为（1+25%）x万平方米，
依题意得：﹣＝30．
三、解答题（6个小题，共60分）
1.（8分）（2024福建省）解方程：．
【答案】．
【解析】本题考查解分式方程,掌握解分式方程的步骤和方法，将分式方程化为整式方程求解，即可解题．
【详解】解：，
方程两边都乘，得．
去括号得：，
解得．
经检验，是原方程的根．
2. （8分）（2024北京市）已知，求代数式值.
【答案】3
【解析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先利用完全平方公式和整式的加法，乘法对分母分子化简，再对化简得到，再整体代入求值即可．
【详解】原式
，
∵，
∴，
∴原式．
3. （12分）（2023湖北天门）（1）计算：；
（2）解分式方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】【分析】（1）根据多项式除以单项式及单项式乘以多项式可进行求解；
（2）根据分式方程的解法可进行求解．
【详解】（1）原式
；
（2）两边乘以，得．
解得：．
检验，将代入．
∴是原分式方程的解．
【点睛】本题主要考查多项式除以单项式、单项式乘以多项式及分式方程的解法，熟练掌握各个运算是解题的关键．
4. （10分）（2024深圳）先化简，再求值： ，其中
【答案】，
【解析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则是解题关键．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
=
=
=，
当时，原式=．
5.（10分）（2023广东省） 某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的倍，结果甲比乙早到，求乙同学骑自行车的速度．
【答案】乙同学骑自行车的速度为千米/分钟．
【解析】设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为千米/分钟，根据时间=路程÷速度结合甲车比乙车提前10分钟到达，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论．
【详解】设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为千米/分钟，
根据题意得：，
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：乙同学骑自行车的速度为千米/分钟．
【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出分式方程是解题的关键．
6. （12分）（2023龙东）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？
（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
【答案】（1）A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元，（2）一共有六种购买方案 （3）
【解析】【分析】（1）设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件元，然后根据用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同列出方程求解即可；
（2）设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件，然后根据，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫列出不等式组求解即可；
（3）设购买资金为W元，购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件，求出，根据（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，可得W的取值与a的值无关，由此即可求出．
【详解】（1）解：设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件元，
由题意得，，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解，
∴，
∴A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元，
答：A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元；
（2）解：设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件，
由题意得，，
解得，
∵a是正整数，
∴a的取值可以为275，276，277，278，279，280，
∴一共有六种购买方案；
（3）设购买资金为W元，购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件，
由题意得，
，
∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，
∴W的取值与a的值无关，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，分式方程的实际应用，整式的加减的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式组是解题的关键．
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