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2025年人教版数学中考一轮复习29个单元核心素养检测试卷（全国通）
17 勾股定理单元重点难点必考点素养达标检测试卷
（答题时间90分钟，试卷满分120分）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A．8，15，17 B．4，5，6
C．5，8，10 D．8，39，40
2．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是cm，则另一条直角边的长是（ ）
A．4cm B． cm C．6cm D． cm
3.△ABC中，a、b、c是三角形的三条边，若（a+b）2﹣c2=2ab，则此三角形应是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．下列说法正确的是（ ）
A．若a、b、c是△ABC的三边，则a2+b2=c2
B．若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2+b2=c2
C．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则a2+b2=c2
D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C=90°，则a2+b2=c2
5.一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为5 B．三角形的周长为25
C．斜边长为25 D．三角形的面积为20
6.△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（ ）
A．42 B．32 C．42或32 D．37或33
7.如图，在中，，是三角形角平分线，其，，，则点D到边的距离为（ ）
A． B． C． D．
8. 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是( )
A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5
9. 如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若的面积是24，，则PE的长是（ ）
A. 2.5 B. 2 C. 3.5 D. 3
10. （2023湖北天门）如图，在中，，点在边上，且平分的周长，则的长是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题有10个小题，每空3分，共30分）
1.(1)7,24,25；（2）8,15,19；（3）0.6,0.8,1.0；(4)3n,4n,5n(n＞1，且为自然数)．上面各组数中，勾股数有_____组．
2．已知两条线段的长为和，当第三条线段的长为_________时，这三条线段能组成一个直角三角形.3. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E的面积是________．
4. （2023大连）如图，在数轴上，，过作直线于点，在直线上截取，且在上方．连接，以点为圆心，为半径作弧交直线于点，则点的横坐标为______．
5. 如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工．取，，，则，两点的距离是_________．
6．如图，三个正方形中的两个的面积S1=25，S2=144，则另一个的面积S3为 ．
7. 勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）．
8.如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC＝ ．
9. 在△ABC中，，，，则________．
10．正方形的边长是6，是的中点，连接，将沿折叠，点的对应点是，连接，则的长是 ．
三、解答题（6个小题，共60分）
1.（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：
(1)AC的长； (2)S△ABC； (3)CD的长．
2.（10分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26，求四边形ABCD的面积．
3.（10分）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE．
（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
4. （8分）如图，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB.
5. （10分）如图，在长方形中，将长方形沿折叠，使点的对应点与点重合，点的对应点为点．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
6. （13分）综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：
（1）直接写出纸板上与纸盒上的大小关系；
（2）证明（1）中你发现的结论．
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2025年人教版数学中考一轮复习29个单元核心素养检测试卷（全国通）
17 勾股定理单元重点难点必考点素养达标检测试卷
（答题时间90分钟，试卷满分120分）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A．8，15，17 B．4，5，6
C．5，8，10 D．8，39，40
【答案】A
【解析】此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形：
b2=c2－a2=（c－a）（c+a）来判断。例如：对于选择支D，∵82≠（40+39）×（40－39），
∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。
2．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是cm，则另一条直角边的长是（ ）
A．4cm B． cm C．6cm D． cm
【答案】C
【解析】根据含30度角的直角三角形求出AB，根据勾股定理求出BC即可．
∵∠C=90°，∠B=30°，AC=2cm，
∴AB=2AC=4cm，
由勾股定理得：BC==6cm
3.△ABC中，a、b、c是三角形的三条边，若（a+b）2﹣c2=2ab，则此三角形应是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【解析】先对已知进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定．
∵（a+b）2﹣c2=2ab，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形．
4．下列说法正确的是（ ）
A．若a、b、c是△ABC的三边，则a2+b2=c2
B．若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2+b2=c2
C．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则a2+b2=c2
D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C=90°，则a2+b2=c2
【答案】D
【解析】利用勾股定理时，一定要找准直角边和斜边．根据勾股定理的内容，即可解答．
A．勾股定理只限于在直角三角形里应用，故A可排除；
B．虽然给出的是直角三角形，但没有给出哪一个是直角，故B可排除；
C．在Rt△ABC中，直角所对的边是斜边，C中的斜边应为a，得出的表达式应为b2+c2=a2，故C也排除；
D．符合勾股定理，正确．
5.一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为5 B．三角形的周长为25
C．斜边长为25 D．三角形的面积为20
【答案】A．
解析：此题较简单关键是熟知勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．利用勾股定理求出后直接选取答案．
两直角边长分别为a=3和b=4，
∴斜边c==5
6.△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（ ）
A．42 B．32 C．42或32 D．37或33
【答案】C．
【解析】此题应分两种情况说明：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，
BD===9，
在Rt△ACD中，
CD===5
∴BC=5+9=14
∴△ABC的周长为：15+13+14=42；
（2）当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，BD===9，
在Rt△ACD中，CD===5，
∴BC=9﹣5=4．
∴△ABC的周长为：15+13+4=32
∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．
7.如图，在中，，是三角形角平分线，其，，，则点D到边的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查角平分线的性质，勾股定理，过D作于E，先根据角平分线的性质得出，证明，得出，求出，设，则，在中，，求解即可得出答案．
【详解】过D作于E，
∵，，是三角形角平分线，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
在中，，
解得：，即，
故选：D．
8. 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是( )
A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5
【答案】B
【解析】连接BM，MB′.设AM＝x，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2.∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2，即AM＝2.故选B.
方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．
9. 如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若的面积是24，，则PE的长是（ ）
A. 2.5 B. 2 C. 3.5 D. 3
【答案】A
【解析】连接DE，取AD的中点G，连接EG，先由等腰三角形“三线合一“性质，证得AD⊥BC，BD=CD，再由E是AB的中点，G是AD的中点，求出S△EGD=3，然后证△EGP≌△FDP（AAS），得GP=CP=1.5，从而得DG=3，即可由三角形面积公式求出EG长，由勾股定理即可求出PE长．
如图，连接DE，取AD的中点G，连接EG，
∵AB=AC，AD平分与BC相交于点D，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴S△ABD==12，
∵E是AB的中点，
∴S△AED==6，
∵G是AD的中点，
∴S△EGD==3，
∵E是AB的中点，G是AD的中点，
∴EGBC，EG=BD=CD，
∴∠EGP=∠FDP=90°，
∵F是CD的中点，
∴DF=CD，
∴EG=DF，
∵∠EPG=∠FPD，
∴△EGP≌△FDP（AAS），
∴GP=PD=1.5，
∴GD=3，
∵S△EGD==3，即，
∴EG=2，
在Rt△EGP中，由勾股定理，得
PE==2.5，故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形面积，全等三角形判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键．
10. （2023湖北天门）如图，在中，，点在边上，且平分的周长，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】如图所示，过点B作于E，利用勾股定理求出，进而利用等面积法求出，则可求出，再由平分的周长，求出，进而得到，则由勾股定理得．
【详解】如图所示，过点B作于E，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分的周长，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
二、填空题（本大题有10个小题，每空3分，共30分）
1.(1)7,24,25；（2）8,15,19；（3）0.6,0.8,1.0；(4)3n,4n,5n(n＞1，且为自然数)．上面各组数中，勾股数有_____组．
【答案】2
【解析】判断勾股数要看两个条件，一看能否满足a2＋b2＝c2，二看是否都是正整数．这两者缺一不可．
（1）∵72＋242＝252，且7,24,25都是正整数，∴7,24,25是勾股数．
（2）∵82＋152≠192，∴8,15,19不是勾股数．
（3）∵0.6,0.8,1.0不是正整数，∴0.6，0.8，1.0不是勾股数．
（4）∵(3n)2＋(4n)2＝25n2＝(5n)2 (n＞1，且为自然数)，且它们都是正整数，∴3n,4n,5n(n＞1，且为自然数)是勾股数.
2．已知两条线段的长为和，当第三条线段的长为_________时，这三条线段能组成一个直角三角形.
【答案】13或
【解析】已知直角三角形的二边求第三边时，一定区分所求边是直角三角形的斜边和直角边二种情况下的结果，然后根据勾股定理解答．
根据勾股定理，当12为直角边时，第三条线段长为=13；
当12为斜边时，第三条线段长为=；
故答案为13或．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握并正确运用勾股定理逆定理是解题的关键，注意要分两种情况讨论．
3. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E的面积是________．
【答案】13或
【解析】根据勾股定理的几何意义，可得正方形A、B的面积和为S1，正方形C、D的面积和为S2，S1＋S2＝S3，即S3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案为10.
方法总结：能够发现正方形A、B、C、D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A、B、C、D的面积和即是最大正方形的面积．
4. （2023大连）如图，在数轴上，，过作直线于点，在直线上截取，且在上方．连接，以点为圆心，为半径作弧交直线于点，则点的横坐标为______．
【答案】##
【解析】根据勾股定理求得，根据题意可得，进而即可求解．
∵，，，
在中，，
∴，
∴，
为原点，为正方向，则点的横坐标为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5. 如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工．取，，，则，两点的距离是_________．
【答案】
【解析】如图所示：过点作于点，先求出，再根据勾股定理即可求出的长．
如图所示：过点作于点，则∠BEC=∠DEC=90°，
，
，
∴∠BCE=90°-30°=60°，
又，
，
∴∠ECD=45°=∠D，
∴，
，
，
，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质及勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关内容并能灵活运用．
6．如图，三个正方形中的两个的面积S1=25，S2=144，则另一个的面积S3为 ．
【答案】169
【解析】注意能够根据勾股定理以及正方形的面积公式证明：S1+S2=S3．
根据直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式，不难发现：S1+S2=S3．则S3为169．
由题可知，在直角三角形中两直角边的平方分别为25和144，所以斜边的平方为144+25=169，
即面积S3为169．
7. 勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）．
【答案】m2-1
【解析】2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
∵2m为偶数，
∴设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，
解得a=m2-1，故答案为：m2-1．
【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8.如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC＝ ．
【答案】1
【解析】设AE＝ED＝x，CD＝y，根据勾股定理即可求出答案．
设AE＝ED＝x，CD＝y，
∴BD＝2y，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，
∴AB2＝4x2+4y2，
∴x2+y2＝1，
在Rt△CDE中，
∴EC2＝x2+y2＝1，
∴EC＝1
9. 在△ABC中，，，，则________．
【答案】或
【解析】画出图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可．
情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示：
过A点作AH⊥BC于H，
∵∠B=45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴,
在Rt△ACH中，由勾股定理可知：，
∴．
情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示：
由情况一知：，，
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将△ABC分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论．
10．正方形的边长是6，是的中点，连接，将沿折叠，点的对应点是，连接，则的长是 ．
【答案】．
【分析】延长，交于点，由线段中点定义可得，由折叠可知，，，于是得到，，以此通过证明，得到，设，则，，在中，利用勾股定理间建立方程，求得，再利用勾股定理求出，根据三角形全等可知，于是（对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的一半），代入计算即可求解．
【解析】如图，延长，交于点，
四边形是边长为6的正方形，
，，
为的中点，
，
根据折叠的性质可得，，，，
，，
在和中，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
，
在中，，
，
，
，即，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，正确作出辅助线，构造全等三角形和直角三角形解决问题是解题关键．
三、解答题（6个小题，共60分）
1.（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：
(1)AC的长； (2)S△ABC； (3)CD的长．
【答案】（1）12cm（2）30(cm2)（3）cm
【解析】(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.
解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，
∴AC＝＝12cm；
(2)S△ABC＝CB·AC＝×5×12＝30(cm2)；
(3)∵S△ABC＝AC·BC＝CD·AB，
∴CD＝＝cm.
方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．
2.（10分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26，求四边形ABCD的面积．
【答案】见解析
【解析】连接AC，根据已知条件可求出AC，再运用勾股定理可证△ACD为直角三角形，然后可分别求出两个直角三角形的面积，两者面积相加即为四边形ABCD的面积．
连接AC.∵∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，∴AC2＝AB2＋BC2＝82＋62＝102，∴AC＝10.在△ACD中，∵AC2＋CD2＝100＋576＝676，AD2＝262＝676，∴AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×6×8＋×10×24＝144.
方法总结：将求四边形面积的问题可转化为求两个直角三角形面积和的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角度，三边长度等．
3.（10分）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE．
（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
【答案】见解析。
【解析】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠BAC＝∠D，
又∵∠B＝∠DCE＝90°，AC＝DE，
∴△ABC≌△DCE（AAS）；
（2）∵△ABC≌△DCE，
∴CE＝BC＝5，
∵∠ACE＝90°，
∴AE13．
4. （8分）如图，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB.
【答案】见解析。
【解析】在Rt△ABC中，∠B＝90°，则满足AB2＋BC2＝AC2.设BC＝am，AC＝bm，AD＝xm，根据两只猴子经过的路程一样可列方程组，从而求出x的值，即可计算树高．
在Rt△ABC中，∠B＝90°，设BC＝am，AC＝bm，AD＝xm.
∵两猴子所经过的路程都是15m，则10＋a＝x＋b＝15m.
∴a＝5，b＝15－x.
又∵在Rt△ABC中，由勾股定理得(10＋x)2＋a2＝b2，
∴(10＋x)2＋52＝(15－x)2，解得x＝2，即AD＝2米．
∴AB＝AD＋DB＝2＋10＝12(米)．
答：树高AB为12米．
方法总结：勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个己知量，通常需要巧设未知数，灵活地寻找题中的等量关系，然后利用勾股定理列方程求解．
5. （10分）如图，在长方形中，将长方形沿折叠，使点的对应点与点重合，点的对应点为点．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
【分析】（1）解法一：根据矩形的性质得到，进而得到，根据折叠的性质得，以此得的，最后根据等角对等边即可证明；
解法二：根据矩形的性质和折叠的性质可得，，由同角的余角相等得，以此可通过证明，以此即可证明；
（2）设，则，在中，根据勾股定理列出方程，求得的长，再根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】（1）证明：解法一：四边形为矩形，
，
，
根据折叠可知，，
，
；
解法二：四边形为矩形，
，，
根据折叠可知，，，，
，，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：根据折叠可知，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
6. （13分）综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：
（1）直接写出纸板上与纸盒上的大小关系；
（2）证明（1）中你发现的结论．
【答案】（1） （2）证明见解析.
【解析】【分析】（1）和均是等腰直角三角形，；
（2）证明是等腰直角三角形即可.
【详解】（1）解：
（2）证明：连接，
设小正方形边长为1，则，，
，
为等腰直角三角形，
∵，
∴为等腰直角三角形，
，
故
【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用和等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解答此题的关键．
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