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2025年人教版数学中考一轮复习29个单元核心素养检测试卷（全国通）
18 平行四边形单元重点难点必考点素养达标检测试卷
（答题时间90分钟，试卷满分120分）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1.依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A B C D
【答案】D
【解析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可；
平行四边形对角相等，故A错误；
一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误；
三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确；故选：D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键．
2. （2024贵州省）如图，平行四边形ABCD的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．
∵是平行四边形，
∴，故选B．
3. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，，，则（ ）
A. 4 B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】根据菱形的性质得出，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出．利用菱形性质、直角三角形边长公式求出，进而求出．
是菱形，E为AD的中点，
，．
是直角三角形，．
，，
，．
，即，
，．
故选：C．
【点睛】本题主要考查菱形、直角三角形的性质的理解与应用能力．解题关键是得出并求得．求解本题时应恰当理解并运用菱形对角线互相垂直且平分、对角相等，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质．
4. （2023浙江杭州）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据矩形性质得出，推出则有等边三角形，即，然后运用余切函数即可解答．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定、矩形的性质、余切的定义等知识点，求出是解答本题的关键．
5．如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】C
【解析】由三角形中位线定理可求AB＝10，由菱形的性质即可求解．
∵E，F分别是AD，BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EFAB＝5，
∴AB＝10，
∵四边形ABD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40
6. （2024河南省）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】B
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故选：B．
7.下列命题，其中是真命题的是（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形
【答案】D
【解析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可．
对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意；
有三个角是直角的四边形是矩形，故B错误，不符合题意；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C错误，不符合题意；
对角线互相垂直的矩形是正方形，故D正确，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
8. 如图，菱形中，点E是边的中点，垂直交的延长线于点F，若，则菱形的边长是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D.
【答案】B
【解析】过C作CM⊥AB延长线于M，根据设，由菱形的性质表示出BC=4x，BM=3x，根据勾股定理列方程计算即可．
【详解】过C作CM⊥AB延长线于M，
∵
∴设
∵点E是边的中点
∴
∵菱形
∴，CE∥AB
∵⊥，CM⊥AB
∴四边形EFMC是矩形
∴，
∴BM=3x
在Rt△BCM中，
∴，解得或（舍去）
∴
故选：B．
【点睛】考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．
9. 如图，四边形是菱形，，点是中点，是对角线上一点，且，则的值是（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】D
【解析】取AC的中点M，连接EM设由中位线性质可得再根据，可得出从而得到FC的长，即可得到的结果．
【详解】如图所示：取AC的中点M，连接EM，DM ，设
∵点是中点，
∴EM是的中位线，
四边形菱形，
，∠AMD=90°，
，
∴DM=，
∴AM=
故选：D．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和中位线的性质，熟练掌握这些性质是解此题的关键．
10. （2024甘肃临夏）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键．
根据函数的图象与坐标的关系确定的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解．
由图象得：，当时，，此时点P在边上，
设此时，则，，
在中，，
即：，
解得：，
，
故选：B．
二、填空题（本大题有10个小题，每空3分，共30分）
1. （2023湖北荆州）如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则___________．
【答案】3
【解析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出，然后利用勾股定理即可得出，最后利用三角形中位线定理即可求解．
【详解】∵在中，为斜边上的中线，，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，三角形中位线定理，掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
2. （2024广西）如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为______．
【答案】
【解析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的周长，过点作于，于，由题意易得四边形是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得，即可得到四边形是菱形，再解可得，即可求解，得出四边形是菱形是解题的关键．
【详解】过点作于，于，则，
∵两张纸条的对边平行，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
又∵两张纸条的宽度相等，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
在中，，，
∴，
∴四边形的周长为，
故答案为：．
3. （2024贵州省）如图，在菱形中，点E，F分别是，的中点，连接，．若，，则的长为______．
【答案】##
【解析】延长，交于点M，根据菱形的性质和中点性质证明，，过E点作交N点，根据三角函数求出，，，，在中利用勾股定理求出，根据菱形的性质即可得出答案．
【详解】延长，交于点M，
在菱形中，点E，F分别是，的中点，
，，，，
在和中
，
，
，
在和中
，
，
，，
，
，
过E点作于N点，
，，
，，
，
，
在中
，
即，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，运用三角函数解直角三角形，勾股定理等，正确添加辅助线构造直角三角形是解本题的关键．
4. （2023湖南怀化）如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为__________．
【答案】
【解析】过点作于，证明四边形四边形是正方形，即可求解．
如图所示，过点作于，
∵点是正方形的对角线上的一点，于点
∴四边形是矩形，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴四边形是正方形，
∴，
即点到直线的距离为
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，点到直线的距离，熟练掌握正方形的性质与判定是解题的关键．
5. （2023湖北宜昌）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为_________．
【答案】
【解析】可证，从而可得，再证四边形是平行四边形，可得，即可求解．
四边形是平行四边形，
，
，
由折叠得：，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
故答案：．
【点睛】本题考查了平行四边形判定及性质，折叠的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键
6．菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的边长为 ．
【答案】5
【解析】首先根据题意画出图形，由菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，即可得AC⊥BD，OAAC＝3，OBBD＝4，然后利用勾股定理求得这个菱形的边长．
∵菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，
∴AC⊥BD，OAAC＝3，OBBD＝4，
∴AB5．
即这个菱形的边长为：5．
7. （2023浙江台州）如图，矩形中，，．在边上取一点E，使，过点C作，垂足为点F，则的长为________．
【答案】
【解析】利用矩形的性质、勾股定理求出，利用证明，根据全等三角形的性质求解即可．
∵矩形中，，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
8. （2024福建省）如图，正方形的面积为4，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为______．
【答案】2
【解析】本题考查正方形性质，线段中点的性质，根据正方形性质和线段中点的性质得到，进而得到，同理可得，最后利用四边形的面积正方形的面积个小三角形面积求解，即可解题．
【详解】正方形的面积为4，
，，
点，，，分别为边，，，的中点，
，
，
同理可得，
四边形的面积为．
故答案为：2．
9. （2024北京市）如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为___________．
【答案】
【解析】根据正方形的性质，得，，得到，结合，得到,，，求得的长，解答即可.
本题考查了正方形的性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键.
【详解】根据正方形的性质，得，，
∴，
∵，
∴,
，
，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为；
故答案为：．
10. （2023江苏扬州）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为________．
【答案】
【解析】【分析】连接，过点作于点，设，则，则，根据已知条件，分别表示出，证明，得出，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】如图所示，连接，过点作于点，
∵正方形的边长为1，四边形与四边形的面积比为3∶5，
∴，
设，则，则
∴
即
∴
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∵，
∴，
又,
∴，
∴
在中，
即
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（6个小题，共60分）
1. （8分）（2024福建省）如图，在菱形中，点分别在边上，，求证：．
【答案】见解析
【解析】本题考查菱形性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．根据菱形的性质证得，，再根据全等三角形的判定证明即可．
【详解】证明：四边形是菱形，
，，
，
，
．
2. （8分） （2024北京市）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，.
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长.
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】（1）根据三角形的中位线定理得到，而，即可求证；
（2）解求得，由三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到，最后对运用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：∵是的中点，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴在中，由勾股定理得．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
3.（8分） （2024贵州省）如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件：
①，②．
（1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形；
（2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】本题考查矩形的判定，勾股定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键．
（1）先根据条件利用两组对边平行或一组对边平行且相等证明是平行四边形，然后根据矩形的定义得到结论即可；
（2）利用勾股定理得到长，然后利用矩形的面积公式计算即可．
【小问1详解】
选择①，
证明：∵，，
∴是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
选择②，
证明：∵，，
∴是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴矩形的面积为．
4. （12分） （2023湖北天门）如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】【分析】（1）由折叠和正方形的性质得到，则，进而证明，再由平行线的性质证明即可证明；
（2）如图，延长交于点．证明得到，，
设，则，．由，得到．则．由勾股定理建立方程，解方程即可得到．
【详解】（1）证明：由翻折和正方形的性质可得，．
∴．
∴，即，
∵四边形是正方形，
∴．
∴．
∴．
（2）如图，延长交于点．
∵，
∴．
又∵，正方形边长为3，
∴
∴，
∴，，
设，则，
∴．
∵，即，
∴．
∴．
在中，，
∴．
解得：（舍），．
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
5. （12分） （2024深圳）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．
（1）如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________；
（2）如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由；
（3）①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；
②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值．
【答案】（1），
（2），理由见解析
（3）①见解析；②或．
【解析】【分析】（1）根据题意可推出，得到，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得；
（2）根据题意可推出，得到，设，则，，再利用勾股定理得到，从而推出、，即可求得答案；
（3）①分情况讨论，第一种情况，作的平行线，使，连接，延长交于点；第二种情况，作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接；第三种情况，作，交的延长线于点，连接，作的垂直平分线；
在延长线上取点F，使，连接；
②根据①中的三种情况讨论：
第一种情况，根据题意可证得是等腰三角形，作，则，可推出，从而推出，计算可得，最后利用勾股定理即可求得；
第二种情况，延长、交于点，同理可得是等腰三角形，连接，可由，结合三线合一推出，从而推出，同第一种情况即可求得；
第三种情况无交点，不符合题意．
【小问1详解】
解：，为的中点，，，，
，，
，即，解得，
，
；
故答案为：1；；
【小问2详解】
解：，理由如下：
根据题意，在垂中四边形中，，且为的中点，
，；
又，
，
；
设，则，
，
，
，，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：①第一种情况：
作的平行线，使，连接，
则四边形为平行四边形；
延长交于点，
，
，
，
，，
，即，
为的中点；
故如图1所示，四边形即为所求的垂中平行四边形：
第二种情况：
作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接，
故为的中点；
同理可证明：，
则，
则四边形是平行四边形；
故如图2所示，四边形即为所求的垂中平行四边形：
第三种情况：
作，交的延长线于点，连接，作的垂直平分线；
在延长线上取点F，使，连接，
则为的中点，
同理可证明，从而，
故四边形是平行四边形；
故如图3所示，四边形即为所求的垂中平行四边形：
②若按照图1作图，
由题意可知，，
四边形是平行四边形，
，
，
是等腰三角形；
过P作于H，则，
，，
，，
，
；
,，
，
，即
∴
若按照图2作图，
延长、交于点，
同理可得：是等腰三角形，
连接，
，
，
，
，
；
同理，，
，，，
，即，
，
若按照图3作图，则：没有交点，不存在PE（不符合题意）
故答案为：或．
【点睛】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，读懂题意并作出合适的辅助线是解题的关键．
6. （12分） （2024甘肃临夏）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且．
【模型建立】
（1）求证：；
【模型应用】
（2）若，，，求的长；
【模型迁移】
（3）如图2，若矩形是正方形，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】【分析】本题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，构造相似三角形，是解题的关键：
（1）根据矩形的性质，结合同角的余角，求出，即可得证；
（2）延长交于点，证明，得到，再证明，求出的长，进而求出的长；
（3）设正方形的边长为，延长交于点，证明，得到，进而得到，勾股定理求出，进而求出的长，即可得出结果．
【详解】解：（1）∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）延长交于点，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）设正方形的边长为，则：，
延长交于点，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
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18 平行四边形单元重点难点必考点素养达标检测试卷
（答题时间90分钟，试卷满分120分）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1.依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A B C D
2. （2024贵州省）如图，平行四边形ABCD的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，，，则（ ）
A. 4 B. C. 2 D.
4. （2023浙江杭州）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（ ）
A. B. C. D.
5．如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
. （2024河南省）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
7.下列命题，其中是真命题的是（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形
8. 如图，菱形中，点E是边的中点，垂直交的延长线于点F，若，则菱形的边长是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D.
9. 如图，四边形是菱形，，点是中点，是对角线上一点，且，则的值是（ ）
A. 3 B. C. D.
10. （2024甘肃临夏）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题有10个小题，每空3分，共30分）
1. （2023湖北荆州）如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则___________．
2. （2024广西）如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为______．
3. （2024贵州省）如图，在菱形中，点E，F分别是，的中点，连接，．若，，则的长为______．
4. （2023湖南怀化）如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为__________．
5. （2023湖北宜昌）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为_________．
6．菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的边长为 ．
023浙江台州）如图，矩形中，，．在边上取一点E，使，过点C作，垂足为点F，则的长为________．
8. （2024福建省）如图，正方形的面积为4，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为______．
9. （2024北京市）如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为___________．
10. （2023江苏扬州）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为________．
三、解答题（6个小题，共60分）
1. （8分）（2024福建省）如图，在菱形中，点分别在边上，，求证：．
2. （8分） （2024北京市）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，.
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长.
3.（8分） （2024贵州省）如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件：
①，②．
（1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形；
（2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积．
4. （12分） （2023湖北天门）如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
5. （12分） （2024深圳）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．
（1）如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________；
（2）如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由；
（3）①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；
②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值．
6. （12分） （2024甘肃临夏）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且．
【模型建立】
（1）求证：；
【模型应用】
（2）若，，，求的长；
【模型迁移】
（3）如图2，若矩形是正方形，，求的值．
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