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2025年人教版数学中考一轮复习29个单元核心素养检测试卷（全国通）
21 一元二次方程单元重点难点必考点素养达标检测试卷
（答题时间90分钟，试卷满分120分）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1.下列说法中，错误的有（ ）
①方程是一元二次方程
②方程是一元二次方程
③方程是一元二次方程
④方程是一元二次方程的一般形式．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. （2024贵州省）一元二次方程的解是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
4. （2024黑龙江绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( )
A. B.
C. D.
5. （2023四川广元）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
6.一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是（ ）
A．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2 B．x1＝2+2，x2＝2﹣2
C．x1＝2+2，x2＝2﹣2 D．x1＝2，x2＝﹣2
7. （2024北京市）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. 4 D. 16
8. （2022山东滨州）一元二次方程的根的情况为（ ）
A. 无实数根 B. 有两个不等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 不能判定
9. 已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（ ）
A. 7 B. C. 6 D.
10.（2023龙东） 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ）
A. B. C. 或 D.
二、填空题（本大题有10个小题，每空3分，共30分）
1.方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化为一般形式是 ．
2.若n＞0，且x取任意实数时，9x2+mx+36＝（3x+n）2恒成立，则m﹣n＝ ．
3. （2023江苏扬州）关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
4. （2024河南省）若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为___________．
5.（2024甘肃临夏）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为______．
6. （2023湖北宜昌）已知、是方程的两根，则代数式的值为_________．
7. （2023湖南岳阳）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数_________．
8. （2023湖北黄冈）已知一元二次方程两个实数根为，若，则实数_____．
9. （2023内蒙古包头）若是一元二次方程的两个实数根，则________．
10.（2023湖北黄冈） 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，若与的面积相等，则______．
三、解答题（6个小题，共60分）
1.（6分）（2023齐齐哈尔） 解方程：．
2. （10分）（2023浙江杭州）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①；②；③；④．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
3. （10分）（2023湖北天门）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．
4. （10分）（2023内蒙古通辽）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________；
（2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
（3）提升：已知实数s，t满足且，求的值．
5.（12分） （2023大连）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率．
6. （12分） （2024湖北省）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为．
（1）求与与的关系式．
（2）围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值．
（3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值．
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2025年人教版数学中考一轮复习29个单元核心素养检测试卷（全国通）
21 一元二次方程单元重点难点必考点素养达标检测试卷
（答题时间90分钟，试卷满分120分）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1.下列说法中，错误的有（ ）
①方程是一元二次方程
②方程是一元二次方程
③方程是一元二次方程
④方程是一元二次方程的一般形式．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①方程是一元二次方程，故①正确，②方程是一元一次方程，故②错误，③方程是分式方程，故③错误，④方程，a≠0时，是一元二次方程的一般形式，故④错误.
2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解．
移项得，
两边同时加上，即
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
3. （2024贵州省）一元二次方程的解是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】B
【解析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．
【详解】 ，
∴，
∴或，
∴，，
故选∶B．
4. （2024黑龙江绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解．
∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和；
∴，
又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．
∴
A. 中，，，故该选项不符合题意；
B. 中，，，故该选项符合题意；
C. 中，，，故该选项不符合题意；
D. 中，，，故该选项不符合题意；
故选：B．
5. （2023四川广元）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
【答案】C
【解析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．
，
其中，，，
∴，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
6.一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是（ ）
A．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2 B．x1＝2+2，x2＝2﹣2
C．x1＝2+2，x2＝2﹣2 D．x1＝2，x2＝﹣2
【答案】B
【解析】方程利用配方法求出解即可．
一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0，
移项得：x2﹣4x＝8，
配方得：x2﹣4x+4＝12，即（x﹣2）2＝12，
开方得：x﹣2＝±2，
解得：x1＝2+2，x2＝2﹣2．
7. （2024北京市）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. 4 D. 16
【答案】C
【解析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
【详解】∵方程有两个相等的实数根，，
∴，
∴，
解得．故选C．
8. （2022山东滨州）一元二次方程的根的情况为（ ）
A. 无实数根 B. 有两个不等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 不能判定
【答案】A
【解析】先计算判别式值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
∵Δ＝（ 5）2 4×2×6＝-23＜0，
∴方程无实数根．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2 4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
9. 已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值
为（ ）
A. 7 B. C. 6 D.
【答案】B
【解析】根据根与系数关系求出=3，a=3，再求代数式的值即．
∵一元二次方程的两根分别记为，，
∴+=2，
∵，
∴=3，
∴·=-a=-3，
∴a=3，
∴．故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键．
10.（2023龙东） 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】A
【解析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，
依题意得：
解得：，（不合题意，舍去），
∴小路宽为．故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题（本大题有10个小题，每空3分，共30分）
1.方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化为一般形式是 ．
【答案】6x2﹣5x﹣11＝0
【解析】一元二次方程的一般式：ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）．ax2叫二次项，a叫二次项系数；bx叫一次项，b叫一次项系数；c叫常数项．把方程（3x+2）（2x﹣3）＝5先去括号，再移项，最后合并即可．
解：（3x+2）（2x﹣3）＝5，
去括号：6x2﹣9x+4x﹣6＝5，
移项：6x2﹣9x+4x﹣6﹣5＝0，
合并同类项：6x2﹣5x﹣11＝0．
故一般形式为：6x2﹣5x﹣11＝0
2.若n＞0，且x取任意实数时，9x2+mx+36＝（3x+n）2恒成立，则m﹣n＝ ．
【答案】30
【解析】将9x2+mx+36＝（3x+n）2右边展开得：
9x2+mx+36＝9x2+6nx+n2
，∴m＝6n，n2＝36
∵n＞0，∴n＝6，m＝36，∴m﹣n＝30.
3. （2023江苏扬州）关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
【答案】k＜1．
【解析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△=，
解得：，
故答案为.
【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．熟知“在一元二次方程中，若方程有两个不相等的实数根，则△=”是解答本题的关键.
4. （2024河南省）若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为___________．
【答案】##
【解析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：，再求解即可．
【详解】∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
5.（2024甘肃临夏）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为______．
【答案】-1
【解析】根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0，求出m的取值即可．
【详解】解：由已知得△=0，即4+4m=0，解得m=-1．
故答案为-1.
【点睛】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
6. （2023湖北宜昌）已知、是方程的两根，则代数式的值为_________．
【答案】
【解析】
根据、是一元二次方程的两个根，则有，求解即可．
由题意得
，
原式．
故答案：．
【点睛】本题考查了韦达定理，掌握定理是解题的关键．
7. （2023湖南岳阳）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数_________．
【答案】3
【解析】利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可．
【详解】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∵，，
∴，
解得（不合题意，舍去），
∴
故答案为：3
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．
8. （2023湖北黄冈）已知一元二次方程两个实数根为，若，则实数_____．
【答案】
【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得出，代入已知等式，即可求解．
∵一元二次方程的两个实数根为，
∴
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
9. （2023内蒙古包头）若是一元二次方程的两个实数根，则________．
【答案】##
【解析】由一元二次方程的根与系数的关系得，，，然后代入求解即可．
由一元二次方程的根与系数的关系得，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程的两个实数根，满足，．
10.（2023湖北黄冈） 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，若与的面积相等，则______．
【答案】
【解析】根据题意得出，即，解方程得出（负值舍去）代入进行计算即可求解．
∵图中，，
∴
∵与的面积相等，
∴
∴
∴
∴
∴
解得：（负值舍去）
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，弦图的计算，根据题意列出关于的方程是解题的关键．
三、解答题（6个小题，共60分）
1.（6分）（2023齐齐哈尔） 解方程：．
【答案】，
【解析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解．
∴或
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解方程．
2. （10分）（2023浙江杭州）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①；②；③；④．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
【答案】选②，，；选③，，
【解析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况，再利用公式法解一元二次方程即可．
中，
①时，，方程有两个相等的实数根；
②时，，方程有两个不相等的实数根；
③时，，方程有两个不相等的实数根；
④时，，方程没有实数根；
因此可选择②或③．
选择②时，
，
，
，
，；
选择③时，
，
，
，
，．
【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解一元二次方程，解题的关键是掌握：对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程没有实数根．
3. （10分）（2023湖北天门）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．
【答案】（1）证明见解析 （2）的值为1或
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）∵的两个实数根为，
∴．
∵，
∴，．
∴．
即．
解得或．
∴的值为1或．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
4. （10分）（2023内蒙古通辽）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________；
（2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
（3）提升：已知实数s，t满足且，求的值．
【答案】（1）， （2） （3）的值为或．
【解析】【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可；
（3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可．
【详解】
（1）解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，．
故答案为：，；
（2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n，
∴，，
∴
；
（3）解：∵实数s、t满足，
∴s、t可以看作方程的两个根，
∴，，
∵
，
∴或，
当时，
，
当时，
，
综上分析可知，的值为或．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
5.（12分） （2023大连）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率．
【答案】
【解析】【分析】设年买书资金的平均增长率为，根据2022年买书资金2020年买书资金建立方程，解方程即可得．
【详解】设年买书资金的平均增长率为，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：年买书资金的平均增长率为．
【点睛】本题考查了一元二次方程应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
6. （12分） （2024湖北省）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为．
（1）求与与的关系式．
（2）围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值．
（3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值．
【答案】（1）；
（2）能，
（3）的最大值为800，此时
【解析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用：
（1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式；
（2）令，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ；
（3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可．
【小问1详解】
解：∵篱笆长，
∴，
∵
∴
∴
∵墙长42m，
∴，
解得，，
∴；
又矩形面积
；
【小问2详解】
解：令，则，
整理得：，
此时，，
所以，一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴围成的矩形花圃面积能为；
∴
∴
∵，
∴；
【小问3详解】
解：
∵
∴有最大值，
又，
∴当时，取得最大值，此时，
即当时，的最大值为800
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