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2025年人教版数学中考一轮复习29个单元核心素养检测试卷(全国通)
22 二次函数单元素重点难点必考点养达标检测试卷
(答题时间90分钟,试卷满分120分)
一、选择题(本大题有10个小题,每小题3分,共30分)
1. 抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据二次函数的顶点式可得顶点坐标为即可得到结果.
∵二次函数解析式为 ,
∴顶点坐标为.
【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解,准确理解是解题的关键.
2. (2023浙江台州)抛物线与直线交于,两点,若,则直线一定经过( )
A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限
【答案】D
【解析】根据已知条件可得出,再利用根与系数的关系,分情况讨论即可求出答案.
抛物线与直线交于,两点,
,
.
,
∵,
.
当,时,直线经过第一、三、四象限,
当,时,直线经过第一、二、四象限,
综上所述,一定经过一、四象限.
故选:D.
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系,解题的关键在于熟练掌握根与系数关系公式.
3. (2023浙江杭州)设二次函数是实数,则( )
A. 当时,函数的最小值为 B. 当时,函数的最小值为
C. 当时,函数的最小值为 D. 当时,函数的最小值为
【答案】A
【解析】令,则,解得:,,从而求得抛物线对称轴为直线,再分别求出当或时函数y的最小值即可求解.
【详解】令,则,
解得:,,
∴抛物线对称轴为直线
当时, 抛物线对称轴为直线,
把代入,得,
∵
∴当,时,y有最小值,最小值为.
故A正确,B错误;
当时, 抛物线对称轴为直线,
把代入,得,
∵
∴当,时,y有最小值,最小值为,
故C、D错误,
故选:A.
【点睛】本题考查抛物线的最值,抛物线对称轴.利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键.
4. (2024黑龙江齐齐哈尔)如图,在等腰中,,,动点E,F同时从点A出发,分别沿射线和射线的方向匀速运动,且速度大小相同,当点E停止运动时,点F也随之停止运动,连接,以为边向下做正方形,设点E运动的路程为,正方形和等腰重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查动态问题与函数图象,能够明确y与x分别表示的意义,并找到几何图形与函数图象之间的关系,以及对应点是解题的关键,根据题意并结合选项分析当与重合时,及当时图象的走势,和当时图象的走势即可得到答案.
【详解】当与重合时,设,由题可得:
∴,,
在中,由勾股定理可得:,
∴,
∴,
∴当时,,
∵,
∴图象为开口向上的抛物线的一部分,
当在下方时,设,由题可得:
∴,,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴当时,,
∵,
∴图象为开口向下的抛物线的一部分,
综上所述:A正确,
故选:A.
5.(2024福建省)已知二次函数的图象经过,两点,则下列判断正确的是( )
A. 可以找到一个实数,使得 B. 无论实数取什么值,都有
C. 可以找到一个实数,使得 D. 无论实数取什么值,都有
【答案】C
【解析】本题考查二次函数的图象和性质,根据题意得到二次函数开口向上,且对称轴为,顶点坐标为,再分情况讨论,当时,当时,, 的大小情况,即可解题.
【详解】二次函数解析式为,
二次函数开口向上,且对称轴为,顶点坐标为,
当时,,
当时,,
,
当时,,
,
故A、B错误,不符合题意;
当时,,
由二次函数对称性可知,,
当时,,由二次函数对称性可知,,不一定大于,
故C正确符合题意;D错误,不符合题意;
故选:C.
6.(2023湖北黄冈) 已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为,对称轴为直线,下列论中:①;②若点均在该二次函数图象上,则;③若m为任意实数,则;④方程的两实数根为,且,则.正确结论的序号为( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①④
【答案】B
【解析】将代入,可判断①;根据抛物线的对称轴及增减性可判断②;根据抛物线的顶点坐标可判断③;根据的图象与x轴的交点的位置可判断④.
【详解】将代入,可得,
故①正确;
二次函数图象的对称轴为直线,
点到对称轴的距离分别为:4,1,3,
,
图象开口向下,离对称轴越远,函数值越小,
,
故②错误;
二次函数图象的对称轴为直线,
,
又,
,
,
当时,y取最大值,最大值为,
即二次函数的图象的顶点坐标为,
若m为任意实数,则
故③正确;
二次函数图象的对称轴为直线,与x轴的一个交点坐标为,
与x轴的另一个交点坐标为,
的图象向上平移一个单位长度,即为的图象,
的图象与x轴的两个交点一个在的左侧,另一个在的右侧,
若方程的两实数根为,且,则,
故④正确;
综上可知,正确的有①③④,
故选B.
【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子符号,二次函数的图象与性质,解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系,熟练运用数形结合思想.
7.(2023广东省) 如图,抛物线经过正方形的三个顶点A,B,C,点B在轴上,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连接,交y轴于点D,根据正方形的性质可知,然后可得点,进而代入求解即可.
【详解】连接,交y轴于点D,如图所示:
当时,则,即,
∵四边形是正方形,
∴,,
∴点,
∴,
解得:,
故选B.
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质,熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键.
8. (2023浙江宁波)已知二次函数,下列说法正确的是( )
A. 点在该函数的图象上
B. 当且时,
C. 该函数的图象与x轴一定有交点
D. 当时,该函数图象对称轴一定在直线的左侧
【答案】C
【解析】根据二次函数的图象和性质,逐一进行判断即可.
【详解】∵,
当时:,
∵,
∴,
即:点不在该函数的图象上,故A选项错误;
当时,,
∴抛物线的开口向上,对称轴为,
∴抛物线上的点离对称轴越远,函数值越大,
∵,,
∴当时,有最大值为,
当时,有最小值为,
∴,故B选项错误;
∵,
∴该函数的图象与x轴一定有交点,故选项C正确;
当时,抛物线的对称轴为:,
∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧,故选项D错误;
故选C.
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质.熟练掌握二次函数的性质,是解题的关键.
9. (2023江苏扬州)已知二次函数(a为常数,且),下列结论:
①函数图像一定经过第一、二、四象限;②函数图像一定不经过第三象限;③当时,y随x的增大而减小;④当时,y随x的增大而增大.其中所有正确结论的序号是( )
A. ①② B. ②③ C. ② D. ③④
【答案】B
【解析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可.
∵抛物线对称轴,,
∴二次函数图象必经过第一、二象限,
又∵,
∵,
∴,
当时,抛物线与x轴无交点,二次函数图象只经过第一、二象限,
当时,抛物线与x轴有两个交点,二次函数图象经过第一、二、四象限,
故①错误;②正确;
∵抛物线对称轴为,,
∴抛物线开口向上,
∴当时,y随x的增大而减小,故③正确;
∴当时,y随x的增大而增大,故④错误,
故选:B.
【点睛】考查二次函数的图象与性质,熟练掌握二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关键.
10. (2024贵州省)如图,二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是,顶点坐标为,则下列说法正确的是( )
A. 二次函数图象的对称轴是直线
B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C. 当时,y随x的增大而减小
D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
【答案】D
【解析】本题考查了二次函数的性质,待定系数法求二次函数解析式,利用二次函数的性质,对称性,增减性判断选项A、B、C,利用待定系数法求出二次函数的解析式,再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D.
∵二次函数的顶点坐标为,
∴二次函数图象的对称轴是直线,故选项A错误;
∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是,对称轴是直线,
∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1,故选项B错误;
∵抛物线开口向下, 对称轴是直线,
∴当时,y随x的增大而增大,故选项C错误;
设二次函数解析式为,
把代入,得,
解得,
∴,
当时,,
∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3,故选项D正确,
故选D.
二、填空题(本大题有10个小题,每空3分,共30分)
1. (2023湖南郴州) 抛物线与轴只有一个交点,则________.
【答案】9
【解析】根据抛物线与轴只有一个交点,则判别式为0进行解答即可.
∵抛物线与轴只有一个交点,
∴
解得c=9.
故答案为:9.
【点睛】本题考查二次函数与x轴交点问题,解题关键是理解抛物线与x轴有两个交点,则判别式;抛物线与x轴有一个交点,则判别式;抛物线与x轴没有交点,则判别式.
2. 把抛物线y=x2向上平移3个单位,平移后抛物线的表达式是________。
【答案】y=+3
【解析】根据二次函数图像平移规律:上加下减,可得到平移后的函数解析式.
∵抛物线y=x2向上平移3个单位,
∴平移后的抛物线的解析式为:y=x2+3.
【点睛】本题考查二次函数的平移,熟记平移规律是解题的关键.
3. 已知抛物线与x轴交于A,B两点,抛物线与x轴交于C,D两点,其中n>0,若AD=2BC,则n的值为______.
【答案】8
【解析】先求出抛物线与x轴的交点,抛物线与x轴的交点,然后根据,得出,列出关于n的方程,解方程即可。
把y=0代入得:,
解得:,,
把y=0代入得:,
解得:,,
∵,
∴,
∴,
即,
,
令,则,
解得:,,
当时,,解得:,
∵,
∴不符合题意舍去;
当时,,解得:,
∵,
∴符合题意;
综上分析可知,n的值为8.
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题,根据题意用n表示出,列出关于n的方程是解题的关键.
4.(2023湖北宜昌) 如图,一名学生推铅球,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是,则铅球推出的距离_________m.
【答案】10
【解析】令,则,再解方程,结合函数图象可得答案.
【详解】令,则,
解得:,,
∴
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用,理解题意令求解方程的解是解本题的关键.
5. 已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点,则实数m的值为_______.
【答案】1或
【解析】函数图象与坐标轴恰有两个公共点,则分两种情况:第一种情况,函数图象过原点;第二种情况,函数图象与x轴只有一个交点,分别计算即可
当函数图象过原点时,函数的图象与坐标轴恰有两个公共点,
此时满足,解得;
当函数图象与x轴只有一个交点且与坐标轴y轴也有一个交点时,
此时满足,解得或,
当是,函数变为与y轴只有一个交点,不合题意;
综上可得,或时,函数图象与坐标轴恰有两个公共点.
故答案为:1或
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用一元二次方程根的判别式,二次函数的图象和性质.
6.(2023内蒙古赤峰) 如图,抛物线与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点在抛物线上,点E在直线上,若,则点E的坐标是____________.
【答案】和
【解析】先根据题意画出图形,先求出点坐标,当点在线段上时:是△DCE的外角,,而,所以此时,有,可求出所在直线的解析式,设点坐标,再根据两点距离公式,,得到关于的方程,求解的值,即可求出点坐标;当点在线段的延长线上时,根据题中条件,可以证明,得到为直角三角形,延长至,取,此时,,从而证明是要找的点,应为,为等腰直角三角形, 点和关于点对称,可以根据点坐标求出点坐标.
【详解】在中,当时,,则有,
令,则有,
解得:,
∴,
根据点坐标,有
所以点坐标
设所在直线解析式为,其过点、
有,
解得
∴所在直线的解析式为:
当点在线段上时,设
而
∴
∴
因为:,,
有
解得:,
所以点的坐标为:
当在的延长线上时,
在中,,,
∴
∴
如图延长至,取,
则有为等腰三角形,,
∴
又∵
∴
则为符合题意的点,
∵
∴
的横坐标:,纵坐标为;
综上E点的坐标为:或,
故答案为:或
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合应用,熟练掌握一次函数根二次函数的图象和性质,分情况找到点的位置,是求解此题的关键.
7. 已知二次函数,当函数值y随x值的增大而增大时,x的取值范围是_______。
A. B. C. D.
【答案】
【解析】先将函数表达式写成顶点式,根据开口方向和对称轴即可判断.
∵
∵开口向上,对称轴为x=1,
∴x>1时,函数值y随x的增大而增大.
【点睛】本题考查是二次函数的图像与性质,比较简单,需要熟练掌握二次函数的图像与性质.
8. 已知抛物线, 抛物线的对称轴为________.
【答案】
【解析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解.
由解析式得,对称轴为直线,因此B选项正确,不符合题意;
【点睛】本题主要考查二次函数的性质,掌握二次函数的顶点式是解题的关键,即在中,对称轴为,顶点坐标为.
9. (2024广西)如图,壮壮同学投掷实心球,出手(点P处)的高度是,出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是,高度是.若实心球落地点为M,则______.
【答案】
【解析】本题考查的是二次函数的实际应用,设抛物线为,把点,代入即可求出解析式;当时,求得x的值,即为实心球被推出的水平距离.
【详解】以点O为坐标原点,射线方向为x轴正半轴,射线方向为y轴正半轴,建立平面直角坐标系,
∵出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是,高度是.
设抛物线解析式为:,
把点代入得:,
解得:,
∴抛物线解析式为:;
当时,,
解得,(舍去),,
即此次实心球被推出的水平距离为.
故答案为:
10. 在平面直角坐标系中,点和点的坐标分别为和,抛物线与线段只有一个公共点,则的取值范围是______.
【答案】或
【解析】抛物线的对称轴为:,当时,,故抛物线与轴的交点坐标为,顶点坐标为,直线CD的表达式,
当时,且抛物线过点时,
,解得(舍去),
当,抛物线与线段只有一个公共点时,
即顶点在直线CD上,则,解得,
当时,且抛物线过点时,
,解得,
由抛物线的性质可知,当越大,则抛物线的开口越小,且抛物线与线段只有一个公共点,
∴,且,
解得,
综上所述,的取值范围为或,
故答案为或.
【点睛】本题考查了二次函数的性质,理解对称轴的含义,熟练掌握二次函数的性质,巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键.
三、解答题(6个小题,共60分)
1.(8分)(2024北京市)在平面直角坐标系中,已知抛物线.
(1)当时,求抛物线的顶点坐标;
(2)已知和是抛物线上的两点.若对于,,都有,求的取值范围.
【答案】(1); (2)或
【解析】()把代入,转化成顶点式即可求解;
()分和两种情况,画出图形结合二次函数的性质即可求解;
本题考查了求二次函数的顶点式,二次函数的性质,运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键.
【小问1详解】
解:把代入得,,
∴抛物线的顶点坐标为;
【小问2详解】
解:分两种情况:抛物线的对称轴是直线;
当时,如图,此时,
∴,
又∵,
∴;
当时,如图,此时,
解得,
又∵,
∴;
综上,当或,都有.
2.(12分)(2023贵州省)如图①,是一座抛物线型拱桥,小星学习二次函数后,受到该图启示设计了一建筑物造型,它的截面图是抛物线的一部分(如图②所示),抛物线的顶点在处,对称轴与水平线垂直,,点在抛物线上,且点到对称轴的距离,点在抛物线上,点到对称轴的距离是1.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图②,为更加稳固,小星想在上找一点,加装拉杆,同时使拉杆的长度之和最短,请你帮小星找到点的位置并求出坐标;
(3)为了造型更加美观,小星重新设计抛物线,其表达式为,当时,函数的值总大于等于9.求的取值范围.
【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)
【解析】【分析】(1)设抛物线的解析式为,将,代入即可求解;
(2)点B关于y轴的对称点,则,求出直线与y轴的交点坐标即可;
(3)分和两种情况,根据最小值大于等于9列不等式,即可求解.
【详解】(1)抛物线的对称轴与y轴重合,
设抛物线的解析式为,
,,
,,
将,代入,得:
,
解得,
抛物线的解析式为;
(2) 抛物线的解析式为,点到对称轴的距离是1,
当时,,
,
作点B关于y轴的对称点,
则,,
,
当,,A共线时,拉杆长度之和最短,
设直线解析式为,
将,代入,得,
解得,
直线的解析式为,
当时,,
点坐标为,位置如下图所示:
(3)中,
抛物线开口向下,
当时,
在范围内,当时,y取最小值,最小值为:
则,
解得,
;
当时,
在范围内,当时,y取最小值,最小值为:
则,
解得,
;
综上可知,或,
的取值范围为.
【点睛】考查二次函数的实际应用,涉及求二次函数解析式,求一次函数解析式,根据对称性求线段的最值,抛物线的增减性等知识点,解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质,第3问注意分情况讨论.
3. (8分)(2024福建省)如图,已知二次函数的图象与轴交于两点,与轴交于点,其中.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若是二次函数图象上的一点,且点在第二象限,线段交轴于点的面积是的面积的2倍,求点的坐标.
【答案】(1) (2)
【解析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识,考查运算能力、推理能力、几何直观等.
(1)根据待定系数法求解即可;
(2)设,因为点在第二象限,所以.依题意,得,即可得出,求出,由,求出,即可求出点的坐标.
【小问1详解】
解:将代入,
得,
解得,
所以,二次函数的表达式为.
【小问2详解】
设,因为点在第二象限,所以.
依题意,得,即,所以.
由已知,得,
所以.
由,
解得(舍去),
所以点坐标为.
4. (10分)(2024广西)课堂上,数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究.
【经典回顾】二次函数求最值的方法.
(1)老师给出,求二次函数的最小值.
①请你写出对应的函数解析式;
②求当x取何值时,函数y有最小值,并写出此时的y值;
【举一反三】老师给出更多a的值,同学们即求出对应的函数在x取何值时,y的最小值.记录结果,并整理成下表:
a … 0 2 4 …
x … * 2 0 …
y的最小值 … * …
注:*为②的计算结果.
【探究发现】老师:“请同学们结合学过函数知识,观察表格,谈谈你的发现.”
甲同学:“我发现,老师给了a值后,我们只要取,就能得到y的最小值.”
乙同学:“我发现,y的最小值随a值的变化而变化,当a由小变大时,y的最小值先增大后减小,所以我猜想y的最小值中存在最大值.”
(2)请结合函数解析式,解释甲同学的说法是否合理?
(3)你认为乙同学的猜想是否正确?若正确,请求出此最大值;若不正确,说明理由.
【答案】(1)①;②当时,有最小值为(2)见解析(3)正确,
【解析】【分析】本题考查二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质,是解题的关键:
(1)①把代入解析式,写出函数解析式即可;②将一般式转化为顶点式,进行求解即可;
(2)将一般式转化为顶点式,根据二次函数的性质进行解释即可;
(3)将一般式转化为顶点式,表示出的最大值,再利用二次函数求最值即可.
【详解】解:(1)①把代入,得:
;
∴;
②∵,
∴当时,有最小值为;
(2)∵,
∵抛物线的开口向上,
∴当时,有最小值;
∴甲的说法合理;
(3)正确;
∵,
∴当时,有最小值为,
即:,
∴当时,有最大值,为.
5. (10分)(2024甘肃临夏)在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,作直线.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图1,点是线段上方的抛物线上一动点,过点作,垂足为,请问线段是否存在最大值?若存在,请求出最大值及此时点的坐标;若不存在请说明理由.
(3)如图2,点是直线上一动点,过点作线段(点在直线下方),已知,若线段与抛物线有交点,请直接写出点的横坐标的取值范围.
【答案】(1)
(2)存在,最大值是,
(3)或
【解析】【分析】本题考查二次函数的综合应用,正确的求出函数解析式,利用数形结合和分类讨论的思想进行求解,是解题的关键.
(1)两点式直接求出函数解析式即可;
(2)过点作轴,交于点,设,根据三角函数得到,得到当最大时,的值最大,转化为二次函数求最值即可;
(3)设,得到,求出点恰好在抛物线上且时的值,即可得出结果.
【小问1详解】
解:∵抛物线与轴交于,两点,
∴,
∴;
【小问2详解】
存在;
∵,
∴当时,,
∴,
∵,
∴,
∴,
设直线的解析式为:,把代入,得:,
∴,
过点作轴,交于点,设,则:,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴当最大时,最大,
∵,
∴当时,的最大值为,此时最大,为,
∴;
【小问3详解】
设,则:,
当点恰好在抛物线上时,则:,
∴,
当时,则:,
解得:或,
∵线段与抛物线有交点,
∴点M的横坐标的取值范围是或.
6.(10分)(2023齐齐哈尔) 综合与探究
如图,抛物线上的点A,C坐标分别为,,抛物线与x轴负半轴交于点B,点M为y轴负半轴上一点,且,连接,.
(1)求点M的坐标及抛物线的解析式;
(2)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点,连接,,当时,求点P的坐标;
(3)点D是线段(包含点B,C)上的动点,过点D作x轴的垂线,交抛物线于点Q,交直线于点N,若以点Q,N,C为顶点的三角形与相似,请直接写出点Q的坐标;
(4)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线,点A的对应点为点,点C的对应点为点,在抛物线平移过程中,当的值最小时,新抛物线的顶点坐标为______,的最小值为______.
【答案】(1),
(2)
(3),
(4),
【解析】【分析】(1)根据点M在y轴负半轴且可得点M的坐标为,利用待定系数法可得抛物线的解析式为;
(2)过点P作轴于点F,交线段AC于点E,用待定系数法求得直线AC的解析式为,设点P的横坐标为,则,,故,先求得,从而得到,解出p的值,从而得出点P的坐标;
(3)由可知,要使点Q,N,C为顶点的三角形与相似,则以点Q,N,C为顶点的三角形也是直角三角形,从而分和两种情况讨论,①当,可推导B与点Q重合,,即此时符合题意,利用求抛物线与x轴交点的方法可求出点Q的坐标;②当时,可推导,即此时符合题意,再证明,从而得到,再设点的横坐标为q,则,,从而得到,解得q的值,从而得到点Q的坐标,最后综合①②即可;
(4)设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线,将点M右平移m个单位长度得到点,由平移的性质可知,,的值最小就是最小值,作出点C关于直线对称的对称点,连接交直线于点,连接则此时取得最小值,即为的长度,利用两点间的距离公式求这个长度,用待定系数法求出直线的解析式,从而确定的坐标,继而确定平移距离,将原抛物线的解析式化为顶点式,从而得到其顶点,继而确定新抛物线的顶点.
【详解】(1)∵点M在y轴负半轴且,
∴
将,代入,得
解得
∴抛物线的解析式为
(2)过点P作轴于点F,交线段AC于点E,
设直线的解析式为,
将,代入,得
,解得,
∴直线AC的解析式为
设点P的横坐标为
则,,
∴
∵,∴,解得,
∴
(3),,
补充求解过程如下:
∵在中,,以点Q,N,C为顶点的三角形与相似,
∴以点Q,N,C为顶点的三角形也是直角三角形,
又∵轴,直线交直线于点N,
∴,即点N不与点O是对应点.
故分为和两种情况讨论:
①当时,由于轴,
∴轴,即在x轴上,
又∵点Q在抛物线上,
∴此时点B与点Q重合,
作出图形如下:
此时,
又∵
∴,即此时符合题意,
令,
解得:(舍去)
∴点Q的坐标,也即点B的坐标是.
②当时,作图如下:
∵轴,
∴,
∴,
∵ ,,
∴,即此时符合题意,
∵,
∴,即
∵,,
∴
∴,
设点的横坐标为q,则,,
∴,
∴,
解得:(舍去),
∴,
∴点Q的坐标是
综上所述:点Q的坐标是,;
(4),,
补充求解过程如下:
设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线,
将点M向右平移m个单位长度得到点,作出图形如下:
由平移的性质可知,,
∴的值最小就是最小值,
显然点在直线上运用,
作出点C关于直线对称的对称点,连接交直线于点,连接则此时取得最小值,即为的长度,
∵点C关于直线对称的对称的点是点,
∴,
∴,
设直线的解析式是:
将点,代入得:
解得:
直线的解析式是:
令,解得:,
∴,
∴平移的距离是
又∵,
∴平移前的抛物线的坐标是
∴新抛物线的顶点坐标为即
故答案是:,.
【点睛】本题考查求二次函数的解析式,二次函数的图象与性质,二次函数与几何变换综合,二次函数与相似三角形综合,最短路径问题,三角形面积公式等知识,难度较大,综合性大,作出辅助线和掌握转换思想是解题的关键,第二问的解题技巧是使用铅锤公式计算面积,第三问的技巧是转化成直角三角形的讨论问题,如果直接按相似讨论,则有四种情况,可以降低分类讨论的种类,第四问的技巧,是将点M向反方向移动,从而将两个动点转化成一个动点来解决.
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22 二次函数单元素重点难点必考点养达标检测试卷
(答题时间90分钟,试卷满分120分)
一、选择题(本大题有10个小题,每小题3分,共30分)
1. 抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
2. (2023浙江台州)抛物线与直线交于,两点,若,则直线一定经过( )
A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限
3. (2023浙江杭州)设二次函数是实数,则( )
A. 当时,函数的最小值为 B. 当时,函数的最小值为
C. 当时,函数的最小值为 D. 当时,函数的最小值为
4. (2024黑龙江齐齐哈尔)如图,在等腰中,,,动点E,F同时从点A出发,分别沿射线和射线的方向匀速运动,且速度大小相同,当点E停止运动时,点F也随之停止运动,连接,以为边向下做正方形,设点E运动的路程为,正方形和等腰重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是( )
A. B. C. D.
5.(2024福建省)已知二次函数的图象经过,两点,则下列判断正确的是( )
A. 可以找到一个实数,使得 B. 无论实数取什么值,都有
C. 可以找到一个实数,使得 D. 无论实数取什么值,都有
6.(2023湖北黄冈) 已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为,对称轴为直线,下列论中:①;②若点均在该二次函数图象上,则;③若m为任意实数,则;④方程的两实数根为,且,则.正确结论的序号为( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①④
7.(2023广东省) 如图,抛物线经过正方形的三个顶点A,B,C,点B在轴上,则的值为( )
A. B. C. D.
8. (2023浙江宁波)已知二次函数,下列说法正确的是( )
A. 点在该函数的图象上
B. 当且时,
C. 该函数的图象与x轴一定有交点
D. 当时,该函数图象对称轴一定在直线的左侧
9. (2023江苏扬州)已知二次函数(a为常数,且),下列结论:
①函数图像一定经过第一、二、四象限;②函数图像一定不经过第三象限;③当时,y随x的增大而减小;④当时,y随x的增大而增大.其中所有正确结论的序号是( )
A. ①② B. ②③ C. ② D. ③④
10. (2024贵州省)如图,二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是,顶点坐标为,则下列说法正确的是( )
A. 二次函数图象的对称轴是直线
B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C. 当时,y随x的增大而减小
D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
二、填空题(本大题有10个小题,每空3分,共30分)
1. (2023湖南郴州) 抛物线与轴只有一个交点,则________.
2. 把抛物线y=x2向上平移3个单位,平移后抛物线的表达式是________。
y=+33. 已知抛物线与x轴交于A,B两点,抛物线与x轴交于C,D两点,其中n>0,若AD=2BC,则n的值为______.
4.(2023湖北宜昌) 如图,一名学生推铅球,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是,则铅球推出的距离_________m.
5. 已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点,则实数m的值为_______.
6.(2023内蒙古赤峰) 如图,抛物线与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点在抛物线上,点E在直线上,若,则点E的坐标是____________.
7. 已知二次函数,当函数值y随x值的增大而增大时,x的取值范围是_______。
A. B. C. D.
8. 已知抛物线, 抛物线的对称轴为________.
9. (2024广西)如图,壮壮同学投掷实心球,出手(点P处)的高度是,出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是,高度是.若实心球落地点为M,则______.
10. 在平面直角坐标系中,点和点的坐标分别为和,抛物线与线段只有一个公共点,则的取值范围是______.
三、解答题(6个小题,共60分)
1.(8分)(2024北京市)在平面直角坐标系中,已知抛物线.
(1)当时,求抛物线的顶点坐标;
(2)已知和是抛物线上的两点.若对于,,都有,求的取值范围.
2.(12分)(2023贵州省)如图①,是一座抛物线型拱桥,小星学习二次函数后,受到该图启示设计了一建筑物造型,它的截面图是抛物线的一部分(如图②所示),抛物线的顶点在处,对称轴与水平线垂直,,点在抛物线上,且点到对称轴的距离,点在抛物线上,点到对称轴的距离是1.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图②,为更加稳固,小星想在上找一点,加装拉杆,同时使拉杆的长度之和最短,请你帮小星找到点的位置并求出坐标;
(3)为了造型更加美观,小星重新设计抛物线,其表达式为,当时,函数的值总大于等于9.求的取值范围.
3. (8分)(2024福建省)如图,已知二次函数的图象与轴交于两点,与轴交于点,其中.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若是二次函数图象上的一点,且点在第二象限,线段交轴于点的面积是的面积的2倍,求点的坐标.
4. (10分)(2024广西)课堂上,数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究.
【经典回顾】二次函数求最值的方法.
(1)老师给出,求二次函数的最小值.
①请你写出对应的函数解析式;
②求当x取何值时,函数y有最小值,并写出此时的y值;
【举一反三】老师给出更多a的值,同学们即求出对应的函数在x取何值时,y的最小值.记录结果,并整理成下表:
a … 0 2 4 …
x … * 2 0 …
y的最小值 … * …
注:*为②的计算结果.
【探究发现】老师:“请同学们结合学过函数知识,观察表格,谈谈你的发现.”
甲同学:“我发现,老师给了a值后,我们只要取,就能得到y的最小值.”
乙同学:“我发现,y的最小值随a值的变化而变化,当a由小变大时,y的最小值先增大后减小,所以我猜想y的最小值中存在最大值.”
(2)请结合函数解析式,解释甲同学的说法是否合理?
(3)你认为乙同学的猜想是否正确?若正确,请求出此最大值;若不正确,说明理由.
5. (10分)(2024甘肃临夏)在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,作直线.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图1,点是线段上方的抛物线上一动点,过点作,垂足为,请问线段是否存在最大值?若存在,请求出最大值及此时点的坐标;若不存在请说明理由.
(3)如图2,点是直线上一动点,过点作线段(点在直线下方),已知,若线段与抛物线有交点,请直接写出点的横坐标的取值范围.
6.(10分)(2023齐齐哈尔) 综合与探究
如图,抛物线上的点A,C坐标分别为,,抛物线与x轴负半轴交于点B,点M为y轴负半轴上一点,且,连接,.
(1)求点M的坐标及抛物线的解析式;
(2)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点,连接,,当时,求点P的坐标;
(3)点D是线段(包含点B,C)上的动点,过点D作x轴的垂线,交抛物线于点Q,交直线于点N,若以点Q,N,C为顶点的三角形与相似,请直接写出点Q的坐标;
(4)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线,点A的对应点为点,点C的对应点为点,在抛物线平移过程中,当的值最小时,新抛物线的顶点坐标为______,的最小值为______.
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