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2025年人教版数学中考一轮复习29个单元核心素养检测试卷（全国通）
28 锐角三角函数单元重点难点必考点素养达标检测试卷
（答题时间90分钟，试卷满分120分）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 的值等于（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解．
作一个直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如图：
∴∠B=90°-45°=45°，
∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，
∴根据正切定义，，
∵∠A=45°，
∴．
【点睛】本题考查了三角函数，熟练理解三角函数的定义是解题关键．
2. （2024甘肃临夏）如图，在中，，，则的长是（ ）
A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出．根据，可求出，最后根据勾股定理可求出，即得出．
【详解】如图，过点A作于点D．
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴．
故选B．
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠A的度数．
∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，
∴∠A=90°-∠B=90°-56°=34°．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
4. （2023内蒙古包头）如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，再接着利用勾股定理得到关于的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出的值即可.
【详解】∵小正方形的面积为，大正方形的面积为25，
∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，
设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，其中，
∴，其中，
解得：，，
∴，
故选：D
【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
5. （2023浙江温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点D，E，F分别在边，，上，过点E作于点H．当，，时，的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据菱形性质和解直角三角形求出，，继而求出再根据，即可求．
【详解】∵在菱形中，，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
∵，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形、菱形的性质，根据菱形性质和解直角三角形求出、、是解题关键．
6. （2023长春）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成角（即）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则彩旗绳的长度为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】D
【解析】根据余弦值的概念即邻边与斜边之比，即可求出答案.
表示的是地面，表示是图书馆，
，
为直角三角形，
（米）.
故选：D.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的概念.
7. 如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（ ）
A. 北偏东70° B. 北偏东75° C. 南偏西70° D. 南偏西20°
【答案】A
【解析】根据题意可得∠ABC＝75°，AD∥BE，AB＝AC，再根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝75°，从而求出∠BAC的度数，然后利用平行线的性质可得∠DAB＝∠ABE＝40°，从而求出∠DAC的度数，即可解答．
如图：由题意得：
∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+35°＝75°，AD∥BE，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，
∵AD∥BE，
∴∠DAB＝∠ABE＝40°，
∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝40°+30°＝70°，
∴小岛C相对于小岛A的方向是北偏东70°．
．
【点睛】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
8. （2024深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得的仰角为，则电子厂的高度为（ ）（参考数据：，，）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了与仰角有关的解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先证明四边形、、是矩形，再设，表示，然后在以及运用线段和差关系，即，再求出，即可作答．
【详解】如图：延长交于一点，
∵
∴四边形是矩形
∵
∴四边形是矩形
同理得四边形是矩形
依题意，得，
∴，
∴
∴设，则
在
∴
即
在
∴
即
∴
∴
∴
∴
故选：A
9. 如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（ ）
A．的值越大，梯子越陡
B．的值越大，梯子越陡
C．的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与的函数值无关
【答案】A
【解析】根据锐角三角函数值的变化规律，正弦值和正切值随着角的增大而增大，余弦值随着角增大而减小，逐一判断即可．
根据锐角三角函数的变化规律，知的值越大，梯子越陡，故A符合题意；
的值越小，梯子越陡，故B不符合题意；
的值越大，梯子越陡，故C不符合题意；
陡缓程度与的函数值有关，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数值的变化规律是解题的关键．
10.如图，一只正方体箱子沿着斜面CG向上运动，，箱高米，当米时，点A离地面CE的距离是（ ）米．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】过B作BH⊥AD于点H，然后可以用α的三角函数表示AH，HD，再根据AD=AH+HD可以得到解答．
如图，过B作BH⊥AD于点H，
由题意可得：∠HAB=∠C=α，
∴AH=AB cosα=cosα，DH=BE=BC sinα=2sinα，
∴AD=AH+HD=cosα+2sinα，
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握正弦函数和余弦函数的定义是解题关键．
二、填空题（本大题有10个小题，每空3分，共30分）
1. 如图，在正方形网格中，的顶点、、都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则_________．
【答案】
【解析】如图所示，过点C作CE⊥AB于E，先求出CE，AE的长，从而利用勾股定理求出AC的长，由此求解即可．
【详解】如图所示，过点C作CE⊥AB于E，
由题意得，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求正弦值，勾股定理与网格问题正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
2.（2023四川广元） 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点坐标为 _____．
【答案】
【解析】根据已知条件得出，根据等面积法得出，设，则，进而即可求解．
∵点，点，
∴，
，
∵，
∴，
过点作于点，
∵，是的角平分线，
∴
∵
∴
设，则，
∴
解得：或（舍去）
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了正切的定义，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则sinA=______.
【答案】
【解析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．
如图所示：
∵∠C=90°，AC=5，BC=12，
∴AB==13，
∴sinA=．
故答案为：．
【点睛】在直角三角形中求正弦函数值是本题的考点，根据勾股定理求出AB的长是解题的关键．
4. 如图，直角三角形纸片中，，点是边上的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有．若，那么______．
【答案】
【解析】根据D为AB中点，得到AD=CD=BD，即有∠A=∠DCA，根据翻折的性质有∠DCA=∠DCE，CE=AC，再根据CE⊥AB，求得∠A=∠BCE，即有∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°，则有∠A=30°，在Rt△ACB中，即可求出AC，则问题得解．
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵D为AB中点，
∴在直角三角形中有AD=CD=BD，
∴∠A=∠DCA，
根据翻折的性质有∠DCA=∠DCE，CE=AC，
∵CE⊥AB，
∴∠B+∠BCE=90°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠BCE，
∴∠BCE=∠ECD=∠DCA，
∵∠BCE+∠ECD+∠DCA=∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°
∴∠A=30°，
∴在Rt△ACB中，BC=1，
则有，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折的性质、直角三角形斜边中线的性质、等边对等角以及解直角三角形的知识，求出∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°是解答本题的关键．
5. （2023湖南岳阳）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得赛场一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离为20米，且距地面高度为1.5米，则气球顶部离地面的高度是_____米（结果精确到0.1米，）．
【答案】9.5
【解析】通过解直角三角形，求出，再根据求出结论即可．
根据题意得，四边形是矩形，
∴
在中，
∴,
∴
故答案为：9.5
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
6. （2023湖北黄冈）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，己知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为________米．（结果保留根号）
【答案】##
【解析】过点E作于点M，过点F作于点N，首先证明出四边形是矩形，得到，然后根据等腰直角三角形的性质得到，进而得到，然后利用角直角三角形的性质和勾股定理求出，即可求解．
【详解】如图所示，过点E作于点M，过点F作于点N，
由题意可得，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵博雅楼顶部E的俯角为，
∴，
∴，
∴，
∵点A是的中点，
∴，
由题意可得四边形是矩形，
∴，
∵尚美楼顶部F俯角为，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．
7. （2023湖北荆州）如图，无人机在空中处测得某校旗杆顶部的仰角为，底部的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为______．（，结果精确到0.1）
【答案】13.8####
【解析】解直角三角形，求得和的长，即可解答．
根据题意可得，
在中，，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用-俯角仰角，含有30度角的直角三角形的边长特征，熟练解直角三角形是解题的关键．
8. （2024福建省）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则______．（单位：）（参考数据：）
【答案】128
【解析】此题考查了解直角三角形的应用，求出，，由得到，求出，求出在中，根据即可求出答案．
【详解】如图，
∵帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
由题意可知， ，
∴，
∴
在中，，
∴，
故答案为：
9. 在中，，，垂足为点，如果，，那么 ．
【答案】
【解析】本题考查了根据余弦及同角的余角相等，由，得到，则，通过同角的余角相等得出即可求解，掌握三角函数的定义是解题的关键．
如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
10. 如图，在正方形中，，点分别在上，且与交于点为的中点，连接，作交于点M，连接，则的值为 ．
【答案】
【解析】此题主要考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，求出是解本题的关键．
根据正方形性质，证明，得出，进而求出 ，再判断出，求出 ，再判断出，求出，即可求出答案．
∵四边形是正方形，
，
，，
∵点N是的中点，
在中，
三、解答题（6个小题，共60分）
1.（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sin A=.求BC的长和tan B的值．
【答案】见解析。
【解析】用正弦的定义即可求得BC，而要求tan B则先要用勾股定理求得AC．
∵sin A==，AB=10，∴BC=4．
∵AC=，
∴tan B==．
2. （10分）22. （2024甘肃临夏）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度的实践活动．为乾元塔的顶端，，点，在点的正东方向，在点用高度为1.6米的测角仪（即米）测得点仰角为，向西平移14.5米至点，测得点仰角为，请根据测量数据，求乾元塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，）
【答案】乾元塔的高度约为米
【解析】本题考查解直角三角形的应用，设平移后得到，延长交于点，设，分别解，表示出的长，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设平移后得到，延长交于点，则：，，，
设，则：，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴；
答：乾元塔的高度约为米．
3.（10分） （2023湖北宜昌）2023年5月30日，“神舟十六号”航天飞船成功发射．如图，飞船在离地球大约的圆形轨道上，当运行到地球表面P点的正上方F点时，从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q．在中，．
（参考数据：）
（1）求的值（精确到）；
（2）在中，求的长（结果取整数）．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）在中，利用余弦函数即可求解；
（2）先求得的度数，再利用弧长公式即可求解．
【详解】（1）由题意可知，，
，
，
在中，；
（2），
，
的长为
．
【点睛】本题考查了求余弦函数的值，弧长公式的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
4. （12分）（2024贵州省）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求的长；
（2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：，，）
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据等腰三角形的性质计算出的值；
（2）利用锐角三角函数求出长，然后根据计算即可．
【小问1详解】
解：在中，，
∴，
∴，
【小问2详解】
解：由题可知，
∴，
又∵，
∴，
∴．
5.（10分） （2024四川成都市）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，）
【答案】9.2尺
【解析】本题主要考查解直角三角形和求平均数，利用正切分别求得和，结合题意利用平均数即可求得春分和秋分时日影长度．
【详解】∵，杆子垂直于地面，长8尺．
∴，即，
∵，
∴，即，
∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．
∴春分和秋分时日影长度为．
答：春分和秋分时日影长度9.2尺．
6.（10分） （2024安徽省）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）．
【答案】
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角函数，过点于，则，，由题意可得，，，，
解求出、，可求出，再由勾股定理可得，进而得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点于，则，，由题意可得，，，，
在中，，，
∴，，
∴，
∴在，，
∴，
∴．
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28 锐角三角函数单元重点难点必考点素养达标检测试卷
（答题时间90分钟，试卷满分120分）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 的值等于（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
2. （2024甘肃临夏）如图，在中，，，则的长是（ ）
A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. （2023内蒙古包头）如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. （2023浙江温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点D，E，F分别在边，，上，过点E作于点H．当，，时，的长为（ ）
A. B. C. D.
6. （2023长春）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成角（即）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则彩旗绳的长度为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7. 如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（ ）
A. 北偏东70° B. 北偏东75° C. 南偏西70° D. 南偏西20°
8. （2024深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得的仰角为，则电子厂的高度为（ ）（参考数据：，，）
A. B. C. D.
9. 如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（ ）
A．的值越大，梯子越陡
B．的值越大，梯子越陡
C．的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与的函数值无关
10.如图，一只正方体箱子沿着斜面CG向上运动，，箱高米，当米时，点A离地面CE的距离是（ ）米．
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题有10个小题，每空3分，共30分）
1. 如图，在正方形网格中，的顶点、、都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则_________．
2.（2023四川广元） 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点坐标为 _____．
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则sinA=______.
4. 如图，直角三角形纸片中，，点是边上的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有．若，那么______．
5. （2023湖南岳阳）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得赛场一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离为20米，且距地面高度为1.5米，则气球顶部离地面的高度是_____米（结果精确到0.1米，）．
6. （2023湖北黄冈）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，己知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为________米．（结果保留根号）
7. （2023湖北荆州）如图，无人机在空中处测得某校旗杆顶部的仰角为，底部的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为______．（，结果精确到0.1）
8. （2024福建省）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则______．（单位：）（参考数据：）
9. 在中，，，垂足为点，如果，，那么 ．
10. 如图，在正方形中，，点分别在上，且与交于点为的中点，连接，作交于点M，连接，则的值为 ．
三、解答题（6个小题，共60分）
1.（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sin A=.求BC的长和tan B的值．
2. （10分）22. （2024甘肃临夏）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度的实践活动．为乾元塔的顶端，，点，在点的正东方向，在点用高度为1.6米的测角仪（即米）测得点仰角为，向西平移14.5米至点，测得点仰角为，请根据测量数据，求乾元塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，）
3.（10分） （2023湖北宜昌）2023年5月30日，“神舟十六号”航天飞船成功发射．如图，飞船在离地球大约的圆形轨道上，当运行到地球表面P点的正上方F点时，从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q．在中，．
（参考数据：）
（1）求的值（精确到）；
（2）在中，求的长（结果取整数）．
4. （12分）（2024贵州省）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求的长；
（2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：，，）
5.（10分） （2024四川成都市）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，）
6.（10分） （2024安徽省）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）．
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