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2025年人教版数学中考一轮复习29个单元核心素养检测试卷（全国通）
11 三角形单元重点难点必考点素养达标检测试卷
（答题时间90分钟，试卷满分120分）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
【答案】B
【解析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
根据三角形的三边关系，知
A、1+2＝3，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；
B、3+4＞5，能够组成三角形，故选项正确，符合题意；
C、5+4＜10，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；
D、2+6＜9，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的三边关系．解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
2. 如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】延长交于点，延长交于点，过点作的平行线，根据平行线的性质即可解答．
如图，延长交于点，延长交于点，过点作的平行线，
，
，，
，
，
，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，三角形外角的定义和性质，作出正确的辅助线是解题的关键．
3. （2024黑龙江齐齐哈尔）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求解．
如图所示，
由题意得，，，
∴，
故选：B．
4. 如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义进而判断即可．
，，分别是的中线、角平分线、高线，
，故选项A正确，不合题意；
，故选项B正确，不合题意；
，故选项C正确，不合题意；
与不一定相等，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，掌握定义是解题的关键．
5. 下列说法中，正确的个数是（ ）
①三角形的三条高线交于一点；②三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点；③直角三角形只有一条高；④三角形三个内角的角平分线交于一点．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】根据三角形的高、中线、角平分线的性质进行判断即可．
三角形的三条高所在直线交于一点，故①错误，三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点，故②正确，直角三角形有三条高，故③错误，三角形三个内角的角平分线交于一点，故④正确，
正确的是②④，共2个，故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的高、中线、角平分线的性质，熟练掌握三角形的高、中线、角平分线的性质是解题的关键．
6. 如图，中，，G为的中点，延长交于点E，F为上一点，且于点H，下列判断中，正确的个数是（ ）
①是的边上的中线；
②既是的角平分线，也是的角平分线；
③既是的边上的高，也是的边上的高．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据三角形中线的定义、三角形角平分线的定义和三角形高的定义逐一判断即可．
【详解】解：因为G为的中点，
所以是的边上的中线，故①正确；
因为，
所以是的角平分线，是的角平分线，故②错误；
因为于点H，
所以既是的边边上的高，也是的边上的高，故③正确，
综上正确的有2个
故选：C．
【点睛】此题考查的是三角形中线、角平分线和高的识别，掌握三角形中线的定义、三角形角平分线的定义和三角形高的定义是解决此题的关键．
7. 在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是180°”的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①．由，则，．由，得，故符合题意．
②．由，则，．由，得，故符合题意．
③．由于，则，无法证得三角形内角和是，故不符合题意．
④．由，得，．由，得，，那么．由，得，故符合题意，
共有：①②④符合条件，故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．
8. 如图，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，，垂足为C．若，
则（ ）
A. 52° B. 45° C. 38° D. 26°
【答案】C
【解析】根据平行线的性质可得∠ABC=52°，根据垂直定义可得∠ACB=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．
∵ab，
∴∠1=∠ABC=52°，
∵AC⊥b，
∴∠ACB=90°，
∴∠2=90°-∠ABC=38°，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
9.四边形的内角和的度数为（ ）
A. 180° B. 270° C. 360° D. 540°
【答案】C
【解析】根据多边形内角和定理：（n≥3且n为整数）直接计算出答案：．
故选C．
10. （2023湖南岳阳）已知，点在直线上，点在直线上，于点，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余分析计算求解．
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余，掌握两直线平行，内错角相等以及直角三角形两锐角互余是解题关键．
二、填空题（本大题有10个小题，每空3分，共30分）
1. （2023江苏徐州）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为________（写出一个即可）．
【答案】4
【解析】根据三角形三边关系可进行求解．
设第三边的长为x，则有，即，
∵该三角形的边长均为整数，
∴第三边的长可以为3、4、5、6、7，
故答案为4（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
2. （2024湖南省）一个等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是________度．
【答案】
【解析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和，解答时根据等腰三角形两底角相等，求出顶角度数即可．
【详解】因为其底角为40°，所以其顶角．
故答案为：100．
3.（2024甘肃临夏）“香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂．”图1窗棂的外边框为正六边形（如图2），则该正六边形的每个内角为______．
【答案】120
【解析】本题考查多边形内角和，正多边形的性质．掌握n边形内角和为和正多边形的每个内角都相等是解题关键．根据多边形内角和公式求出正六边形的内角和为，再除以6即可．
【详解】∵正六边形的内角和为，
∴正六边形的每个内角为．
故答案为：120．
4. （2023浙江杭州）如图，点分别在的边上，且，点在线段的延长线上．若，，则_________．
【答案】##90度
【解析】首先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角的性质求解即可．
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
5. （2023江苏扬州）如果一个多边形每一个外角都是，那么这个多边形的边数为________．
【答案】
【解析】根据题意知道这个多边形每一个外角都是，所以确定这是一个正多边形，根据多边形的外角和等于，就可求出这个多边形的边数．
因为这个多边形每一个外角都是，所以这个多边形是一个正多边形，
设正多边形的边数为，
根据正多边形外角和：，
得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形外角和，熟练掌握多边形外角和等于是解题的关键，注意正多边形的每一个外角都相等．
6. 若一个三角形的两边长是4和9，且周长是偶数，则第三边长为_______．
【答案】7或9或11
【解析】设第三边为a，根据三角形的三边关系可得：，然后再根据第三边是偶数，确定a的值即可．
设第三边为a，根据三角形的三边关系可得：．
即：，
∵周长是偶数，
∴第三边的长为奇数，即：或或．
∴第三边长为7或9或11．
故答案为：7或9或11．
【点睛】主要考查三角形的三边关系，关键是掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
7. （2024湖南省）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则________．
【答案】6
【解析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，．
详解】作图可知平分，
∵是边上的高，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：6．
8. （2023江苏徐州）如图，在中，若，则________°．
【答案】##55度
【解析】先由邻补角求得，，进而由平行线的性质求得，，最后利用三角形的内角和定理即可得解．
∵，，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了邻补角，平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
9.（2023吉林省） 如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是__________．
【答案】三角形具有稳定性
【解析】根据三角形结构具有稳定性作答即可．
其数学道理是三角形结构具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响．
10.（2024湖南省）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为________分米（结果用含根号的式子表示）．
【答案】##
【解析】题目主要考查解三角形及利用三角形等面积法求解，延长交l于点H，连接，根据题意及解三角形确定，，再由等面积法即可求解，作出辅助线是解题关键．
【详解】解：延长交l于点H，连接，如图所示：
在中，，
，
即，
解得：．
故答案为：．
三、解答题（6个小题，共60分）
1. （6分）下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由．
(1)．
(2)．
(3)．
【答案】(1)这三条线段能组成三角形，理由见解析
(2)这三条线段不能组成三角形，理由见解析
(3)这三条线段不能组成三角形，理由见解析
【解析】根据构成三角形的条件进行逐一判断即可．
（1）解；这三条线段能组成三角形，理由如下：
∵，
∴这三条线段能组成三角形；
（2）解；这三条线段不能组成三角形，理由如下：
∵，
∴这三条线段不能组成三角形；
（3）解；这三条线段不能组成三角形，理由如下：
∵，
∴这三条线段不能组成三角形．
【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
2. （10分）已知是的三边长．
（1）若满足，，试判断的形状；
（2）化简：
【答案】（1）是等边三角形；（2）
【分析】（1）由性质可得a=b，b=c，故为等边三角形．
（2）根据三角形任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边判定正负，再由绝对值性质去绝对值计算即可．
【详解】（1）∵
∴且
∴
∴是等边三角形．
（2）∵是的三边长
∴b-c-a<0,a-b+c>0,a-b-c<0
原式=
=
=
【点睛】本题考查了三角形三条边的关系以及绝对值化简，根据三角形任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边判定绝对值内数值正负是解题的关键．
3. （10分）如图，已知点O为内任意一点，证明：．
【答案】见解析
【分析】延长BO交AC于点D，根据三角形三边关系进行求解即可；
【详解】如图，延长BO交AC于点D．
在中，，①
在中，，②
①+②，得．
，
，
，③
同理可证，④ ，⑤
③+④+⑤，得，即．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的应用，准确理解是解题的关键．
4.（10分） 如图，已知是的一个外角．请用尺规作图法，求作射线，使．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】作的角平分线即可．
如图，射线即为所求作．
【点睛】本题考查了角平分线、三角形外角的性质、平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理．
5. （12分）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°， 已知：如图，, 求证：
方法一 证明：如图，过点A作 方法二 证明：如图，过点C作
【答案】见解析
【解析】选择方法一，过点作，依据平行线的性质，即可得到，，再根据平角的定义，即可得到三角形的内角和为．
证明：过点作，
则，． 两直线平行，内错角相等）
点，，在同一条直线上，
．（平角的定义）
．
即三角形的内角和为．
6. （12分）如图，在中，是的角平分线，，．求和的度数．
【答案】
【解析】利用三角形外角性质求出，根据角平分线的性质求出，再根据三角形内角和定理求出的度数．
∵
∴
∵是角平分线
∴
在中，．
【点睛】此题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形的知识是解题的关键．
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11 三角形单元重点难点必考点素养达标检测试卷
（答题时间90分钟，试卷满分120分）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
2. 如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（ ）
A. B. C. D.
3. （2024黑龙江齐齐哈尔）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5. 下列说法中，正确的个数是（ ）
①三角形的三条高线交于一点；②三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点；③直角三角形只有一条高；④三角形三个内角的角平分线交于一点．
A．1 B．2 C．3 D．4
6. 如图，中，，G为的中点，延长交于点E，F为上一点，且于点H，下列判断中，正确的个数是（ ）
①是的边上的中线；
②既是的角平分线，也是的角平分线；
③既是的边上的高，也是的边上的高．
A．0 B．1 C．2 D．3
7. 在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是180°”的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8. 如图，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，，垂足为C．若，
则（ ）
A. 52° B. 45° C. 38° D. 26°
9.四边形的内角和的度数为（ ）
A. 180° B. 270° C. 360° D. 540°
10. （2023湖南岳阳）已知，点在直线上，点在直线上，于点，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题有10个小题，每空3分，共30分）
1. （2023江苏徐州）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为________（写出一个即可）．
2. （2024湖南省）一个等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是________度．
3.（2024甘肃临夏）“香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂．”图1窗棂的外边框为正六边形（如图2），则该正六边形的每个内角为______．
4. （2023浙江杭州）如图，点分别在的边上，且，点在线段的延长线上．若，，则_________．
5. （2023江苏扬州）如果一个多边形每一个外角都是，那么这个多边形的边数为________．
6. 若一个三角形的两边长是4和9，且周长是偶数，则第三边长为_______．
7. （2024湖南省）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则________．
8. （2023江苏徐州）如图，在中，若，则________°．
9.（2023吉林省） 如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是__________．
10.（2024湖南省）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为________分米（结果用含根号的式子表示）．
三、解答题（6个小题，共60分）
1. （6分）下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由．
(1)．
(2)．
(3)．
2. （10分）已知是的三边长．
（1）若满足，，试判断的形状；
（2）化简：
3. （10分）如图，已知点O为内任意一点，证明：．
4.（10分） 如图，已知是的一个外角．请用尺规作图法，求作射线，使．（保留作图痕迹，不写作法）
5. （12分）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°， 已知：如图，, 求证：
方法一 证明：如图，过点A作 方法二 证明：如图，过点C作
6. （12分）如图，在中，是的角平分线，，．求和的度数．
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