高考数学基础知识自查手册 第二部分 解三角形（几何）（PDF版）

小 课 堂 第二部分 解三角形
A
★ 1、正弦定理
a b c c b
sinA = sinB = sinC = 2R. (R为外接圆半径 ) O
B a C
★ 2、余弦定理
2 2 2
a2= b2+ c2- 2bccosA cosA= b + c a 2bc A
2
b2= c2+ a2- 2cacosB cosB= a + c
2 b 2
2ac c b
2 2
c2= a2+ b2- 2abcosC cosC = a + b c
2
2ab B a C
★ 3、面积定理
直接求解式： S= 1 1 1 12 ×底× h= 2 aha= 2 bhb= 2 chc
坐标运算式： S= 12 ×水平宽×铅锤高
三角运算式： S= 1 absinC = 1 bcsinA= 12 2 2 casinB.
海伦公式： S= p(p a) (p b) (p c)p= a + b + c2

向量运算式： AB= a= (x1,y1)，AC = b= (x2,y2)
S= 1

2 a
2 b 2 (a b)2= 12 x1y2 x2y1
※ 4、三角形内角和定理
C = π- (A+B)
在ΔABC中，有A+B+C = π

C π
A + B
2 = 2 - 2 .
2C = 2π- 2(A+B)
互补关系：sin(A+B) = sin(π-C) = sinC cos(A+B) = cos(π-C) =-cosC
互余关系：sin A + B 2 = sin(
π
2 -
C
2 ) = cos
C
2 cos
A + B = cos( π - C ) = sin C2 2 2 2
※ 5、两个重要模型
（1）三角形周长的求解：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化。
周长= a+ b+ c= (a+ b) + c= a+ (b+ c) = (a+ c) + b
2 2 2
a = b + c 2bccosA 模型： (b+ c)2= a2+ 2bc+ 2bccosA(b+ c)2= b2+ 2bc+ c2
(2)三角形面积最值：均值不等式求面积：均值不等式结合完全平方公式运算
2 2 2
a = b + c - 2bccosA 模型： b
2+c2= a2+ 2bccosA
c2+ b2≥ 2bc
2
等量代换：a2+ 2bccosA≥ 2bc bc≤ a 2- 2cosA
S= 1
2
bcsinA ∴S = 1 × a 2 max 2 2- 2cosA × sinA
6、射影定理：在ΔABC中，a= bcosC + ccosB，
b= ccosA+ acosC，
c= acosB+ bcosA.
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A
N
7、米勒定理：已知点M，N 是∠AOB的边OA上的两个 小 课 堂
定点，点P是边OB上的一动点，则当且仅当三角形
M
MPN 的外接圆与边OB相切于点P时，∠MPN 最大． C
B
8、张角定理：如图，在ΔABC O P中，D为BC边上的一点，连
A
接AD，
设AD= l，∠BAD= α，∠CAD= β， α βc b
si n α+ β
l

则有： = si n α + si n βl b c ．
B D C
托勒密定理：在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．
设四边形ABCD内接于圆O，则有AB CD+AD BC =AC BD，
广义托勒密定理：在四边形ABCD中，有AB CD+AD BC≥AC BD，
当且仅当四边形ABCD四点共圆时，等号成立.
第二部分 复 数
复数概念与计算
1、概念
复数：把形如 z= a+ bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中 a称为实部，b称为虚部，i称
为虚数单位.当 z的虚部等于零时，常称 z为实数；当 z的虚部不等于零时，实部等于零

时，常称 z为纯虚数.称复数 z= a bi为 Z的共轭复数. 共轭复数的性质:
(1) x+ yi = x- yi
复平面：记复数 z= a+ bi对应的坐标为（a,b).用水平的实 (2) x+ yi x- yi = x2+ y2
y
轴与垂直的虚轴建立起来的坐标系称为复平面.复数 z= a+ bi可以 z= a+ bi
b Z
表示为向量OZ = (a,b).复平面上的点与复数一一对应.
模运算：将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数 O a x
的模，记作 z .
即对于复数 z= a+ bi，它的模： z = a2+ b2
★ 2、复数运算
加减法则： a+ bi ± c+ di = a± c + b± d i；
乘法法则： a+ bi c+ di = ac- bd + bc+ ad i；
a + b i = a + b i c- di 除法法则： = a c + b d + b c - a d ic+ di c+ di c- di c2+ d2
乘方法则：i2= 1，in= i4k+r= ir
幂运算：zm zn= zm+n; (zm)n= zmn; (z1 z2)m= zmzm1 2 (m,n∈N );
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3、几个重要的结论：
(1) (1± i)2=± 2i 1 + i1 i = i
1 i
1+ i = i;
(2) i性质：T = 4；i4n= 1,i4n+1= i,i4n+2= 1,i4n+3= i；i4n+ i4n+1+ i4+2+ i4n+3= 0;
复数的三角表示
1、概念 -般地，任何一个复数 x = a + bi都可以表示成 r(cosθ +
y
isinθ)的形式.其中，r是复数的模;θ是以 x轴的非负半轴为始边，向量 Z = a+ bi
b
OZ 所在射线 (射线 OZ )为终边的角，叫做复数 z = a +bi的辐角. r
r
(cosθ+ isinθ)叫做复数 z= a+ bi的三角表示式，简称三角形式.为了
与三角形式区分开来，a+ bi θ叫做复数的代数表示式，简称代数形式.
O a x
※ 2、棣莫佛定理
对于复数Z = r(cosθ+ isinθ)有 z的n次幂：Z = rn cos nθ + isin nθ （ n∈N+）
Z = r(cosθ+ isinθ) = reiθ 若：Z1= r1 (cosθ1+ isinθ1) Z2= r2 (cosθ2+ isinθ2)
ZZ 1 r1则 1 Z2= r1r2 cos θ1+ θ2 + isin θ1+ θ2 = cos θ1- θ2 + isin θZ r 1- θ2 2 2
※ 3、复数的开方运算
1
( 1- 1 ± 3 1)

若：n z= r(cosθ+ isinθ) n,则：ω = r n cos θ + 2 k π θ + 2 k π1 1 i k n + isin n

的三次方根： 、 2 2
2kπ(2)1的n次方根：1的n次方根在复数域内是 e n i
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