高考数学基础知识自查手册 第四部分 离散型随机变量（数理统计与概率）（PDF版）

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第四部分 离散型随机变量
离散型随机变量
1、离散型随机变量
(1)随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做
随机变量,随机变量常用字母X,Y,ξ,η等表示.
(2)离散型随机变量 :对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样
的随机变量叫做离散型随机变量.
(3)连续型随机变量 : 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这
样的变量就叫做连续型随机变量.
(4)离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系 : 离散型随机变量与连续型
随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次
序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出.
(5)传递性： 若X是随机变量，Y = aX + b(a,b是常数 )则Y也是随机变量并且不
改变其属性 (离散型、连续型 ).
★ 2、离散型随机变量的分布列
(1)概率分布 (分布列 )：设离散型随机变量X可能取的不同值为 x1,x2，…，xi，…，xn，
X的每一个值 xi(i= 1,2,…,n)的概率P(X= xi) = pi，则称表：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
为随机变量X的概率分布，简称X的分布列.
n
(2)性质：① pi≥ 0,i= 1,2,...n; ② pi= 1.
i=1
(3) ①期望：Eξ= x1P1+ x2P2+ +xnPn+
②方差：Dξ= x1-Eξ 2 p + x -Eξ 21 2 p2+ + x 2n-Eξ pn+
③方差与期望的关系：Dξ=Eξ2- Eξ 2.
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概率分布
★ 1、两点分布（伯努利分布）
（1）概念：若随机变量X只取 0和 1两个值，则称随机变量X服从参数为 p的伯努利分布
(2)随机变量X的分布列为：
X 0 1
P 1- p p
(3)两点分布记为：B(1,P).期望E(Χ) = p 方差D(Χ) = p(1 P)
★ 2、二项分布
(1)独立重复试验（n重伯努利试验）
①定义 : 一般地，在相同条件下重复做的n次随机试验称为n次独立重复试验.
②独立重复试验的概率公式在 1次试验中某事件发生的概率是 p，那么在n次独立重
复试验中这个试验恰好发生 k次的概率：
Pn(k) =C knpk(1- p)n-k k= 0,1,2, n .
(2)二项分布
一般地，在n次独立重复试验中，ξ表示事件A发生的次数.如果事件A发生的概率是
p，则不发生的概率 q= 1- p，n次独立重复试验中，事件A发生 k次的概率是：P(ξ= k) =
C knpk(1- p)n-k (k= 0,1,2,3…n），那么就说 ξ服从参数 p的二项分布，其中 p称为成功概
率.记作：ξ~B(n,p).期望E(Χ) =np,方差D(Χ) =np(1 P)
于是得到随机变量X的概率分布如下：
ξ 0 1 … k … n
P C 0p0qn C 1p1qn-1 … C kpkqn-kn n n … Cnnpnq
0
(3)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：
①对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；
②重复性：即试验是独立重复地进行了n次;是有放回抽样.
③等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等.
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★ 3、超几何分布
(1)定义：一般地, 在含有M 件次品的N 件产品中，任取n件,其中恰有X件次品数,则事
C kCn-k
件 X=k 发生的概率为P X= k = M N - Mn k= 0,1,2,3 m ,此时我们称随机变量CN
X服从超几何分布，记作：H(N ,M ,n)：E(Χ) =n M ,D(Χ) =n M (1 M ) N nN N N N 1
于是得到随机变量X的概率分布如下：
X 0 1 … m
C 0 Cn-0 1 n-1 m n-m
P M N - M C MC N - M … C MC N - M
Cn n nN CN CN
(2)注 :①超几何分布的模型是不放回抽样；
②超几何分布中的参数是M ,N ,n.其意义分别是：总体中的个体总数、N 中一类
的总数、样本容量.
★ 4、正态分布（高斯分布）
(1)定义：若随机变量X服从一个位置参数为 μ、尺度参数为 σ的概率分布，且其概率
(x-μ)2
密度函数为：f(x) = 1 -

e 2σ2 ,x∈ (-∞,+∞),则这个随机变量就称为正态随机
2πσ
变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作X~N (μ,σ2) .
(2)性质：①曲线是单峰的，它关于直线 x= μ对称；曲线与 x轴之间的面积为 1；
②曲线在 x= μ时达到峰值 1 ；
2πσ
③当 x< μ时，曲线上升；当 x> μ时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边
无限延伸时，以 x轴为渐近线，向它无限靠近.
(3)期望、方差： E(Χ) = μ,D(X) = σ2
(4)正态分布在三个特殊区间的概率值：
P(μ- σP(μ- 2σP(μ- 3σ·87·