高考数学基础知识自查手册 第四部分 直线与圆（几何）（PDF版）

第四部分 直线与圆
小 课 堂
直线与直线方程
★ 1、倾斜角与斜率
倾斜角：直线向上方向与x轴正方向所成的最小正角，范围 0,π
斜 率：直倾斜角的正切值记为直线的斜率.
△y y - y
k= tanα= △x =
2 1
x (P(x1,y1)、Q(x2,y2)).2- x1
y Q k
△yP

△x o π
α 2
π α
x
★ 2、直线方程
点斜式 : y- y1= k(x- x1) (直线 l过点P1(x1,y1)，且斜率为 k)．
斜截式 : y= kx+ b(b为直线 l在 y轴上的截距 ).
y - y 两点式 : 1 = x - x 1y - y x - x (y1≠ y2) (P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1≠ x2)).2 1 2 1
y
截距式 : x + a b = 1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b≠ 0)
一般式 :Ax+By+C = 0(其中A、B不同时为 0).
※ 3、两直线的平行和垂直
(1)若 l1 : y= k1x+ b1，l2 : y= k2x+ b2
① l1 l2 k1= k2,b1≠ b2; ② l1⊥ l2 k1k2=-1.
(2)若 l1 :A1x+B1y+C1= 0,l2 :A2x+B2y+C2= 0,且A1、A2、B1、B2都不为零,
① l l A1 = B1 C11 2 A B ≠ C ； ② l1⊥ l2 A1A2+B1B2= 0；2 2 2
★ 4、直角坐标公式
两点间距离： AB = (x1 x2)2+ (y1 y2)2
|Ax0+By
点到直线距离： d= 0
+ C | (点P(x0,y
A2+B2 0
),直线 l：Ax+By+C = 0).
两平行线间的距离公式：l1：Ax+By+C1= 0，l2Ax+By+C2= 0
= C 1 l l d C 2 则 1与 2的距离为
A2+B2
= k 2 k 两直线夹角公式：tanα 11+ k k k1、k2都存在，1+ k1k2≠ 02 1
x= x1 + x 22
中点坐标公式：A(x1,y1)、B(x2,y2)的中点坐标为： y (λ= 1)y= 1 + y 22
·57·
小 课 堂 直线与圆的位置关系
1、圆的定义：平面上一动点P(x,y)到一定点A(a,b)的距离是常数 r的动点轨迹为圆.
★ 2、圆方程
(1)标准方程 : (x- a)2+ (y- b)2= r2. y P(x,y)
(2)一般方程 : x2+ y2+Dx+Ey+F = 0(D2+E2- r4F> 0).
2
圆心 - D , - E 半径 r= D + E
2- 4F A(a,b)
2 2 2
(3)直径式方程 : (x- x1) (x- x2) + (y- y1) (y- y2) = 0 o x
圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2).
※ 3、点P(x ,y )与圆 (x a)2+ (y b)2= r20 0 的位置关系
(1)代数法：若 d= (a- x0)2+ (b- y 20) ，则
d> r 点P在圆外;
P
d= r 点P在圆上;
d< r 点P在圆内.
(2)向量法：取圆直径端点为A,B平面上一点为P，
A O B
则有：AP BP< 0 P在圆内

AP BP= 0 P在圆上

AP BP> 0 P在圆外
★ 4、直线与圆的位置关系
位置关系 相 离 相 切 相 交
d
图 示 d d r O rr O
O
通过比较圆心O到直线 l的距离来 d判断位置关系的方法。
几何方法 = A a + B b+ Cd 其中 .
A2+B2
d> r d= r d< r
通过联立圆方程和直线方程得到一元二次方程，用一元二次方程的
判别式判断位置关系的方法。
代数方法
y= kx+ b联立： 得：ax2+ bx+ c= 0,判别式：Δ= b2 4acF(x,y) = 0
Δ< 0 Δ= 0 Δ> 0
5、圆的切线方程 (已知圆 x2+ y2= r2)
（1）过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为 x0x+ y y= r20 ;
（2）斜率为 k的圆的切线方程为 y= kx± r 1+ k2.
·58·
※ 6、阿氏圆： y
给定两定点A、B,动点P满足AP= λBP λ> 0,λ≠ 1 P 小 课 堂
的关系，则P点的轨迹为圆，称为阿氏圆.
A B O x
证明：
以AB中点为原点，建立如图直角坐标系，记定点A t,0 、B t,0 ，设P x,y
则： PA = x+ t 2+ y2、 PB = x t 2+ y2
由 AP = λ BP ，可得： AP 2= λ2 BP 2，即 x+ t 2+ y2= λ2 x t 2+ y2
变形可得： x λ
2+ 1 2t + y2= 2λ t
2
λ2 1 λ2 1
显然， 2λ t
2 2
> 0，上述方程表示以 λ + 12 2 t,0 为圆心，λ 1 λ 1
2λ t
2 为半径的圆方程.λ 1
若AB= a， A P = λ,AB与圆交于P、P，则圆直径PP = 2 a λ = 2 a PB 1 2 1 2 ， λ2 1 λ 1λ
r= 2 a
λ 1λ
线性规划与最优解
1相关概念：
（1）线性约束条件：如果两个变量 x、y满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量
x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
（2）线性目标函数：关于 x、y的一次式 z= f(x,y)是欲达到最大值或最小值所涉及
的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
（3）线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最值的问题，统称为线性规划
问题．
（4）可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解 (x,y)叫可行解；由所有可行解组
成的集合叫做可行域；使目标函数取得最大或最小值的可行解叫 线
y 可行域
性规划问题的最优解.
B
C
O
※ 2、常见的目标函数的类型：
A x
“截距”型：z=Ax+By+C 线性约束
“斜率”型：z= y bx a
“距离”型：z= (x a)2+ (y b)2或 z= (x a)2+ (y b)2
在求目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.
·59·